第六章6.3 利用导数解决实际问题
A级 必备知识基础练
1.[探究点二]某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )
A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18
2.[探究点三]现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
3. [探究点三·2023山西高二月考]一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C.5 D.15
4.[探究点一]根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2(x-50)2,其中20A.8 600元 B.8 060元
C.6 870元 D.4 060元
5.[探究点三]已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是( )
A.1 B. C. D.2
6.[探究点二]已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以 千米/时的速度运行时,成本最省.
7.[探究点一]某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中38.[探究点二·北师大版教材习题]某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池能使总造价最低
B级 关键能力提升练
9.(2023四川宜宾高县校级期中)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万千克 B.6万千克
C.3万千克 D.5万千克
10. 如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=( )
A. m B. m
C.4 m D.4 m
11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为 元时利润最大,利润的最大值为 元.
12.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是 .
13.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为 千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本)
14.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为 .
15. [2023江苏盐城月考]某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三栋楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三栋楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路AE和防腐木路DE,如图,已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:元/千米,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值.
16.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3≈20)
C级 学科素养创新练
17.为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大
6.3 利用导数解决实际问题
1.A 要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L'=2-.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.
2.B 由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,底面半径为4,高为3的圆锥的体积为×π×42×3=16π,底面半径为r,高为h的圆柱的体积为πr2h,所以πr2h=16π,可得r2h=16,即h=,圆柱的表面积为S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·=2πr2+,S'=4πr-,令S'=>0可得r>2,令S'=<0可得03.A 设四棱锥为P-ABCD,如下图所示.
设四棱锥的高为PO,取边BC的中点M.
设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长PB==5-x,所以0所以PM2=(5-x)2-x2.
在直角三角形PMO中,OM=x,所以四棱锥的高PO=,
所以VP-ABCD=·(2x)2·.
设f(x)=-x6-10x5+25x4(0则f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),
令f'(x)=0,可得x=-10(舍去)或x=.
当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在内单调递增,在内单调递减,
所以当x=时,f(x)取到最大值,即当x=时,VP-ABCD取到最大值,此时VP-ABCD=.
故选A.
4.B 设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,200,得205.A 如图,
△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,
设OE=x(0则由AO2=OE2+AE2,得x2+a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,
V=S四边形ABCD·PE=(18-2x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27),
V'=(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当00,V单调递增,当1∴当x=1时,V取得极大值也是最大值,即Vmax=.
此时高PE=4,a==4,=1.故选A.
6. 由已知机车以速度v匀速运行,设甲、乙两站相距s千米,总成本为y元,
则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=,
∴y=(m+kv2)=skv+,
求导,得y'=sk-,令y'=0,得v=,
函数在0,内单调递减,在,+∞内单调递增,则v=为极小值点,∴当v=时,y有最小值.
7.4 21 设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3令L'>0,得3令L'<0,得4所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减,
所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.
8.解设池底的长为xm,则它的宽为m,水池总造价为y.不妨设建造池壁的单价为1,则建造池底的单价为1.5.则有y=1600×1.5+6x+6×=2400+6x+,
其中x>0.
所以y'=6-.令y'=0,得x=40,
所以当x∈(0,40)时,y'<0,当x∈(40,+∞)时,y'>0,
当x=40时,函数取得最小值,最小值为2880.
即当水池池底的长、宽均为40m时,总造价最低.
9.B 设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-x3+ax2+x-1-x,x∈(0,8],
即g(x)=-x3+ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+a-1=,解得a=2,故g(x)=-x3+x2-1,g'(x)=-x2+x=-x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在(0,6)内单调递增,在(6,8)内单调递减,
所以x=6时,利润最大,故选B.
10.B 如图,
设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.
由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.
在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tanθ,PE=,
所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=,下部主体的高度为h=10-4tanθ,
所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k·+80k.
设f(θ)=0<θ<,所以f'(θ)=.
令f'(θ)=0,得sinθ=,所以θ=.
则当0<θ<时,f'(θ)<0,f(θ)在0,内单调递减;
当<θ<时,f'(θ)>0,f(θ)在内单调递增;
所以当θ=时,f(θ)有最小值,此时总造价最低,PO=m.
11.30 23 000 设该商品的利润为y元,由题意知,
y=Q(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,
则y'=-3p2-300p+11700,
令y'=0得p=30或p=-130(舍),
当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,
因此当p=30时,y有最大值,ymax=23000.
12. 设CD=x,则点C的坐标为,
点B的坐标为,
∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·=-+x,x∈(0,2).由f'(x)=-x2+1=0,
得x1=-(舍),x2=,
∴x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=时,f(x)取最大值.
13.25 设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=
当0所以W(x)在(0,6)内单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6--5=9.4(万元).
当x>10时,W(x)=190--3x=190-+3x≤190-2=190-2×75=40,
当且仅当=3x,即x=25时,等号成立.
综上所述,当x=25千件时,年利润最大.
14.6 设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,
∴AB=a,SO=h.
∵SO⊥底面ABC,AB 底面ABC,
∴AB⊥SO,SO⊥OD.
又AB⊥OD,SO∩OD=O,
∴AB⊥平面SOD.
又SD 平面SOD,
∴AB⊥SD,
即SD为△SAB的高,三棱锥体积×a2×h,得a2h=12,
又O为底面中心,∴OD=ABsin60°=a,SD=,
三棱锥的表面积S=a2+3××a×a2+,将a2=代入得S==3.
∴S'=3,令S'=0,得h3-2-2=0,令=t(t>0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),
∴=3,得h=2.
当02时,S'>0,
故S在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3=6.
15.解(1)由题意知,在△BCD中,BC=2,∠BDC=,由余弦定理知BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos,整理得BD2+CD2+BD·CD=4,
则4=BD2+CD2+BD·CD≥3BD·CD,
即BD·CD≤,当且仅当BD=CD=时,等号成立.
所以△BCD的面积S△BCD=BD·CDsinBD·CD≤,即△BCD面积的最大值为.
设△ABC的面积是S△ABC.显然S△ABC=×22=.
因为四边形ABDC的面积S=S△ABC+S△BCD,
所以四边形ABDC的面积的最大值为.
答:四栋楼宇围成的四边形区域ABDC的面积的最大值为平方千米.
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,
由(1)知BD=DC=.
则∠DBC=∠DCB,又因为∠BDC=,
所以∠DBC=.
因为三角形ABC为等边三角形,
所以∠ABC=,所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=.
在直角三角形EBD中,∠BDE=θ,所以DE=.
BE=BDtan∠BDE=tanθ,则AE=AB-BE=2-tanθ.
所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用为f(θ)=a·AE+2a·DE=a+2a·.
f'
=
=.
令f'(θ)=0,得sinθ=,
因为θ∈,所以θ=.
当0≤θ<时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减,当<θ≤时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增.
所以当θ=时,f(θ)极小值=f=4a.
所以f(θ)的最小值为4a.
答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.
16.解(1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.
依题意,得当0当x≥7时,p(x)=6x-6x+lnx+-17-2=15-lnx-.∴p(x)=
(2)当0∴当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).
当x≥7时,p(x)=15-lnx-,
∴p'(x)=-,
∴当7≤x∵11>10,∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
17.解设三棱柱的底面边长为xcm,即A1C=x,
则A1A=27-x.
因为△ABC为等边三角形,
所以三棱柱的高为×(27-x)=(27-x).
(1)因为三棱柱的底面积为×x×x×x2,
侧面积为3×x×(27-x)=(27x-x2),
所以x2=(27x-x2),
解得x=18或x=0(舍去).
即三棱柱的底面边长为18cm.
(2)三棱柱的体积V=x2×(27-x)=(27x2-x3).因为x>0,(27-x)>0,所以0因为V'=(54x-3x2)=x(18-x),
所以当00,V单调递增;
当18所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,
Vmax=(27×182-183)=.
即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,最大值为cm3.(共43张PPT)
第五章
6.3 利用导数解决实际问题
A 级 必备知识基础练
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1.[探究点二]某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )
A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18
A
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2.[探究点三]现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
B
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3. [探究点三·2023山西高二月考]一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为
( )
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解析 设四棱锥为P-ABCD,如下图所示.
设四棱锥的高为PO,取边BC的中点M.
设四棱锥底面正方形边长的一半为x,则侧面等腰三角形的腰长PB= =5-x,所以0所以PM2=(5-x)2-x2.
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设f(x)=-x6-10x5+25x4(0则f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),
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4.[探究点一]根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y= +2(x-50)2,其中20( )
A.8 600元 B.8 060元
C.6 870元 D.4 060元
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解析 设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20) [ +2(x-50)2]=60+2(x-20)(x-50)2,200,得20f(30)=8 060.故选B.
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5.[探究点三]已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是( )
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解析 如图,
△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,
则AC= a,OA=OP=3,
设OE=x(01
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6.[探究点二]已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以 千米/时的速度运行时,成本最省.
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7.[探究点一]某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +5(x-6)2,其中34
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解析 设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,
则L=y(x-3)=[ +5(x-6)2](x-3)=5x3-75x2+360x-539(3则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-6),
令L'>0,得3令L'<0,得4所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减,
所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.
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8.[探究点二·北师大版教材习题]某体育馆要建造一个长方形游泳池,其容积为4 800 m3,深为3 m.如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍,怎样设计水池能使总造价最低
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所以当x∈(0,40)时,y'<0,当x∈(40,+∞)时,y'>0,
当x=40时,函数取得最小值,最小值为2 880.
即当水池池底的长、宽均为40 m时,总造价最低.
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9.(2023四川宜宾高县校级期中)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是 (x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )
A.8万千克 B.6万千克
C.3万千克 D.5万千克
B 级 关键能力提升练
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当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在(0,6)内单调递增,在(6,8)内单调递减,
所以x=6时,利润最大,故选B.
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10. 如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=( )
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解析 如图,
设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.
由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.
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11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则该商品零售价定为 元时利润最大,利润的最大值为 元.
30
23 000
解析 设该商品的利润为y元,由题意知,
y=Q(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,
则y'=-3p2-300p+11 700,
令y'=0得p=30或p=-130(舍),
当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,
因此当p=30时,y有最大值,ymax=23 000.
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12.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是 .
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13.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件
的销售收入为D(x)万元,且D(x)= 为使公司获得最大利润,则应将年产量定为 千件.(注:年利润=年销售收入-年总成本)
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解析 设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)
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14.已知正三棱锥的体积为 ,则其表面积的最小值为 .
解析 设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,
∴AB=a,SO=h.
∵SO⊥底面ABC,AB 底面ABC,
∴AB⊥SO,SO⊥OD.
又AB⊥OD,SO∩OD=O,
∴AB⊥平面SOD.
又SD 平面SOD,
∴AB⊥SD,
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当02时,S'>0,
故S在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时
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15. [2023江苏盐城月考]某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三栋楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三栋楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为 ,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计.
(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;
(2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路AE和防腐木路DE,如图,
已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:
元/千米,a为常数).记∠BDE=θ,求铺设此鹅卵石路和防
腐木路的总费用的最小值.
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所以f(θ)的最小值为4a.
答:铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.
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16.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本
商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (取e3≈20)
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解 (1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.
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∴当7≤x∵11>10,∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
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C 级 学科素养创新练
17.为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大
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解 设三棱柱的底面边长为x cm,即A1C=x,则A1A=27-x.
因为△ABC为等边三角形,
解得x=18或x=0(舍去).
即三棱柱的底面边长为18 cm.
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所以当00,V单调递增;
当18所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,(共34张PPT)
第六章
6.3 利用导数解决实际问题
课程标准
1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用;
2.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值).
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
基础落实·必备知识全过关
知识点
最优化问题
1.最优化问题的定义
生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.
2.利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.
(2)求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.
(4)还原到原实际问题中作答.
名师点睛
用导数解决实际问题的基本过程
解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:
(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.
(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.
过关自诊
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
C
解析 ∵y=- x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).
令y'<0,得x>9;令y'>0得0∴函数在(0,9)内单调递增,在(9,+∞)内单调递减,
∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.
2.[人教A版教材习题]将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
解 设弯成的两个小正方形的边长分别为x,y,
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利润最大、效率最高问题
【例1】 [北师大版教材例题]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.
(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式.
(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润 最大利润为多少
解 (1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,
所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),
即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).
(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得
w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).
解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.
当x≥15时,w'(x)≤0,所以w(x)≤w(15).
比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1 340,可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1 340,即该企业的产量为15 t时,可获得最大利润,最大利润为1 340万元.
规律方法 利润最大问题的求解方法
利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.
变式训练1某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小
所以f'(r)=0.8π(r2-2r).令f'(r)=0,解得r=2.
当r∈(0,2)时,f'(r)<0;当r∈(2,6)时,f'(r)>0.
因此,当半径r>2时,f'(r)>0,f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r<2
时,f'(r)<0,f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为6 cm时,利润最大.
(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
探究点二 费用最低(用料最省)问题
【例2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
规律方法 费用最低问题的求解策略
(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
变式训练2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少
解 设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,
于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为 小时,所以行
令q'=0,解得v=20.
当v<20时,q'<0;
当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.
即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.
探究点三 面积、体积最大问题
【例3】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.
解 设容器底面的宽为x m,
由题意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,∴0设容器的容积为V(x) m3,
则有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.
令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,
∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V(x)在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.6)时的最大值,即V(x)max=1.8,这时容器的高为1.2 m.
∴当高为1.2 m时,容器的容积最大,最大值为1.8 m3.
规律方法 面积、体积最大问题的求解策略
求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.
变式训练3
[2023广东高二期末]如图,在半径为3 m的 圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两条半径上.现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x m,圆柱的体积为V m3.
(1)写出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域.
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大
最大体积是多少
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1.(多选题)[2023河北邯郸武安第三中学高二校考阶段练习]若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则下列说法正确的是( )
ABC
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解析 由题意知:方盒的底面为边长为4-2x的正方形,高为x,其中0则方盒的容积为V(x)=x(4-2x)2(0∴V'(x)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6x-4)=4(x-2)(3x-2),
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2.做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为
( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8 cm
D
解析 设水箱的底面边长为x cm,容积为256 cm3,
令f'(x)=0,得x=8,所以当底面边长为8 cm时用料最省.
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3.已知某厂生产某种商品x(单位:百件)的总成本函数为
C(x)= x3-6x2+29x+15(单位:万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(单位:万元),则生产这种商品所获利润的最大值为 万元.
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所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当19时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.
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4.用长为24 cm的钢条围成一个长方体框架,要求长方体的长与宽之比为3∶1,则长方体的宽为 时,其体积最大.
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解析 设长方体的宽为x(x>0),高为h,则该长方体的长为3x,所以有4x+4·3x+4h=24,则h=6-4x>0,即0所以V'(x)=6(6x-6x2)=36x(1-x),
当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;
当x∈(1, )时,V'(x)<0,V(x)单调递减.
所以V(x)max=V(1)=6,
即长方体的宽为1时,其体积最大.
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5.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(单位:吨)与产品的价格P(单位:元/吨)之间的关系为P=24 200- x2,且生产x吨的成本为R=50 000 +200x(元).问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少 (利润=收入-成本)
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解每月生产x吨时的利润为
解得x1=200,x2=-200(舍去).
因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200,故它就是最大值点,
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.
