第六章导数及其应用测评 课件+练习

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名称 第六章导数及其应用测评 课件+练习
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文件大小 5.6MB
资源类型 试卷
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-10-14 10:21:36

文档简介

(共46张PPT)
第六章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一 导数的几何意义
1.导数的几何意义是高考的高频考点,主要考查切线方程及切点的求解,考查与切线平行或垂直的问题,难度为中低档.
2.通过求切线方程,培养数学运算、直观想象的核心素养.
【例1】 已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线 垂直,求切点坐标与切线的方程.
解 (1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即13x-y-32=0.
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).
(方法二)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
解得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).
即切点为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即4x-y-18=0或4x-y-14=0.
规律方法 导数的几何意义的解题策略
(1)利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程
y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.
(2)围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程.
变式训练1[2023浙江杭州上城校级期末]设直线y= x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为       .
ln 2-1
专题二 函数的单调性、极值、最值与导数
1.利用导数研究函数的性质,以指数型函数、对数型函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题,是最近几年高考的重点内容,难度中高档.
2.通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
【例2】 (1)若函数f(x)=2sin xcos x-4x-msin x在[0,2π]上单调递减,则实数m的取值范围为(  )
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-1,1) D.[-1,1]
B
解析 依题意,f(x)=2sin xcos x-4x-msin x=sin 2x-4x-msin x,
所以f'(x)=2(2cos2x-1)-4-mcos x=4cos2x-mcos x-6≤0对任意x∈[0,2π]恒成立.
设t=cos x∈[-1,1],g(t)=4t2-mt-6,则g(t)≤0在[-1,1]上恒成立,
(2)[2023四川成都青羊校级期中]函数f(x)=ex(x2-ax-a).
①若x=1是函数f(x)的极值点,求a的值,并判断x=1是极大值点还是极小值点;
②求函数f(x)的单调区间.
解 ①∵f'(x)=ex(x2-ax-a+2x-a)=ex(x+2)(x-a),
∵x=1是函数f(x)的极值点,
∴f'(1)=e(1+2)(1-a)=0,解得a=1.
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-2,1)内单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,
∴x=1是函数f(x)的极小值点.
②由①知f'(x)=ex(x+2)(x-a).
a.当a=-2时,f'(x)=ex(x+2)2≥0在R上恒成立,
∴函数f(x)在R上单调递增.
b.当a<-2时,令f'(x)>0,解得x-2,令f'(x)<0,解得a∴函数f(x)在(-∞,a)内单调递增,在(a,-2)内单调递减,在(-2,+∞)内单调递增.
c.当a>-2时,令f'(x)>0,解得x<-2或x>a,令f'(x)<0,解得-2∴函数f(x)在(-∞,-2)内单调递增,在(-2,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.
综上,当a=-2时,函数f(x)在R上单调递增;
当a<-2时,函数f(x)在(-∞,a)和(-2,+∞)内单调递增,在(a,-2)内单调递减;
当a>-2时,函数f(x)在(-∞,-2)和(a,+∞)内单调递增,在(-2,a)内单调递减.
规律方法 利用导数求解参数范围的步骤
(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f'(x).
(2)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则f'(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围.
(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.
变式训练2设函数f(x)= x3-x2-mx.
(1)若f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,求m的取值范围;
(2)若x=-1是函数的极值点,求函数f(x)在[0,5]上的最小值.
解 (1)f'(x)=x2-2x-m,
由题意可知,f'(x)=x2-2x-m<0在(0,+∞)内有解,
所以存在x∈(0,+∞),使得m>x2-2x,则m>-1,即m的取值范围为(-1,+∞).
(2)因为f'(-1)=1+2-m=0,所以m=3.
所以f'(x)=x2-2x-3,
令f'(x)=0,解得x=-1或x=3.
所以当x∈(0,3)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(3,5)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
所以函数f(x)在[0,5]上的最小值为f(3)=9-9-9=-9.
专题三 导数的综合应用
1.利用导数研究函数是高考的必考内容,其实质是以导数为工具研究函数的图象和性质.解决此类问题通常是构造一个函数,研究其单调性.常见考点有不等式的证明、不等式恒成立、函数零点的确定等,难度中高档,常以压轴题出现.
2.借助导数研究函数的性质和图象,考查逻辑推理、直观想象等数学素养.
角度1.利用导数证明简单的不等式
【例3】 证明不等式:ln x≤x-1.
证明由题意知x>0,令f(x)=x-1-ln x,
所以当f'(x)>0时,x>1;
当f'(x)<0时,0故f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以f(x)有最小值f(1)=0,故有f(x)=x-1-ln x≥f(1)=0,即ln x≤x-1成立.
变式探究(1)证明不等式:ln(x+1)≤x.
证明 由题意知x>-1,
令f(x)=ln(x+1)-x,
所以当f'(x)>0时,-1当f'(x)<0时,x>0,故f(x)在(-1,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以f(x)有最大值f(0)=0,故有f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0,即ln(x+1)≤x成立.
规律方法 1.证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性.
2.与ln x,ex有关的常用不等式
(1)ln x≤x-1(x>0,当且仅当x=1时,等号成立)及变形ln(x+1)≤x.
(2)ln x≤ (x>0,当且仅当x=e时,等号成立).
(3)ex≥x+1及变形ex-1≥x.
变式训练3证明不等式:ex≥ex.
证明 设f(x)=ex-ex,x∈R,则f'(x)=ex-e.当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(1)=0,即ex-ex≥0,所以ex≥ex.
角度2.不等式恒成立问题
【例4】 [2023湖北武汉江汉校级期中]设函数f(x)=ln x+1,g(x)=ax+2,a∈R,记F(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数F(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)=ln x+1的图象恒在函数g(x)=ax+2的图象的下方,求实数a的取值范围.
(2)函数f(x)=ln x+1的图象恒在g(x)=ax+2的图象的下方,
即F(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax-1<0恒成立;
由(1)知,当a≤0时,则F(x)在(0,+∞)上为增函数,
此时F(x)无最大值,并且F(e)=-ae≥0,不合题意;
规律方法 1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.
2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.
变式训练4已知函数f(x)=ln x+ax2+(a+2)x,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,若关于x的不等式 恒成立,求实数b的取值范围.
当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内是增函数;
当a<0时,
当t∈(0,1)时,g'(t)>0,g(t)单调递增;
当t∈(1,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.
所以g(t)的最大值为g(1)=-1,得b≥-1,所以实数b的取值范围是[-1,+∞).
角度3.利用导数解决函数零点问题
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a≤1时,求函数f(x)在区间(0,e]上零点的个数.
令f'(x)=0,得x=e1-a,f'(x)及f(x)随x的变化情况如表所示:
x (0,e1-a) e1-a (e1-a,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以f(x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为(e1-a,+∞).
①当a=1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,e]上单调递减.
又f(1)=0,故f(x)在区间(0,e]上只有一个零点.
②当a<1时,1-a>0,e1-a>1,则f(e1-a)= <0,所以f(x)在区间(0,e]上无零点.
综上,当a=1时,f(x)在区间(0,e]上只有一个零点;当a<1时,f(x)在区间(0,e]上无零点.
规律方法 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性,极值(最值),通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.
变式训练5[2023天津河北期中]已知函数f(x)= .
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出函数f(x)的极值;
(2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
(2)由(1)知,在区间(-∞,1)内,f(x)为增函数,在区间(1,+∞)内,f(x)为减函数,
当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→0,且f(x)>0.函数f(x)的草图如图所示.
当a≤0时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有1个交点,方程f(x)=a有1个解,
专题四 生活中的优化问题
1.对于生活中的最优化问题一般转化为函数的最值问题,其关键是要审清题意,建立正确的函数模型,然后借助导数研究函数的单调性求解.
2.解决最优化问题,提升数学建模和数学运算的核心素养.
【例6】 某超市销售某种商品,据统计,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,其中4≤x≤15)满足:当4≤x≤9时,y=a(x-9)2+
(a,b为常数);当9≤x≤15时,y=-5x+85.已知当销售价格为6元/千克时,每日售出该商品170千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该商品的销售成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.
解 (1)因为x=6时,y=170;又x=9时,y=-5×9+85=40,
(2)由(1)知,当4≤x<9时,每日销售利润f(x)=[10(x-9)2+ ](x-3)
=10(x-9)2(x-3)+240=10(x3-21x2+135x-243)+240,
∴f'(x)=30(x-5)(x-9).
当4≤x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当5∴x=5是函数f(x)在(4,9)内的唯一极大值点,
∴f(x)max=f(5)=10×42×2+240=560.
当9≤x≤15时,每日销售利润f(x)=(-5x+85)·(x-3)=-5(x-10)2+245, ∴f(x)max=f(10)=245.
∵560>245,∴销售价格为5元/千克时,每日利润最大.
规律方法 解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
变式训练6如图,某小区内有两条相互垂直的道路l1与l2,平面直角坐标系的第一象限有块空地OAB,其边界OAB是函数y=f(x)的图象.前一段OA是函数
图象的一部分,后一段AB是一条线段,测得A到l1的距离为8米、到l2的距离为16米,OB长为32米.现要在此地建一个社区活动中心,平面图为直角梯形PQBD(其中PQ,DB为两个底边).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设梯形的高为t米,则当t为何值时,社区活动中心的占地面积最大.第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023天津河东校级期末]已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=(  )
A.e B.3-2e C.2-3e D.2+3e
3.曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(  )
A.(1,0)
B.(2,8)
C.(1,0)或(-1,-4)
D.(2,8)或(-1,-4)
4.[2023河南长垣月考]已知函数f(x)满足f(x)=2f'(1)ln x+(f'(x)为f(x)的导函数),则f(e)=(  )
A.e-1 B.+1
C.1 D.-+1
5.[2023重庆永川校级月考]函数f(x)=x3-ax在区间[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是(  )
A.(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
6.已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在,3上的最大值是(  )
A.2ln 3- B.-
C.-2ln 3- D.2ln 2-4
7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),若满足f(x)+xf'(x)>1,则下列结论:①f(-1)>0;②f(1)<0;③2f(-2)>f(-1);④2f(1)>f.其中正确的个数是(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,其中f'(x)是f(x)的导函数.若f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是(  )
A.(0,] B.(0,)
C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.[2023重庆永川校级月考]下列求导运算错误的是(  )
A.(3x)'=3xln 3
B.x+'=1+
C.(cos x)'=sin x
D.(e2x)'=e2x
10.如果函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下述结论正确的是(  )
A.函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增
B.当x=-时,函数y=f(x)有极大值
C.函数y=f(x)在区间(1,2)内单调递增
D.当x=2时,函数y=f(x)有极大值
11.已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则(  )
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
12.[2023湖北模拟]设函数f(x)=,则下列说法正确的是(  )
A.f(x)没有零点
B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有两个极值点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.[2023广西北海一模]函数y=ex-e2x的单调递增区间为     .
14.某产品的销售收入y1(单位:万元)与产量x(单位:千台)的函数关系是y1=17x2,生产成本y2(单位:万元)与产量x(单位:千台)的函数关系是y2=2x3-x2,已知x>0,为使利润最大,应生产     千台.
15.根据函数f(x)=sin 2x在原点(0,0)处的切线方程,请你写出与函数f(x)=sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数:        .
16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是        .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
18.(12分)设函数f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
19.(12分)[2023江苏常熟期中]已知函数f(x)=xln x-ax+1在x=e2处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)<2c2-c在x∈[1,e3]上恒成立,求实数c的取值范围.
20.(12分)[2023浙江宁波期中]已知函数f(x)=ex-ax.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
21.(12分)[2023江苏南京鼓楼校级期中]现有一块不规则的场地,其平面图形如图1所示,AC=8(百米),建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数f(x)=k图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分,在此场地上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2).
图1
图2
(1)求折线ABC的函数关系式;
(2)求图书馆CDEF占地面积的最大值.
22.(12分)[2023河北唐山古冶校级月考]已知函数f(x)=aln x-x(a∈R).
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)在其定义域内有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
第六章测评
1.A ∵f(3)=11,f(1)=3,
∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为=4.
故选A.
2.C 由题意f'(x)=2+3f'(0)·ex,
所以f'(0)=2+3f'(0),
所以f'(0)=-1,
所以f'(x)=2-3ex,
所以f'(1)=2-3e.
故选C.
3.C 依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.
4.D f'(x)=,
∴f'(1)=2f'(1)+,
∴f'(1)=-,f(x)=-lnx+,
∴f(e)=-+1.
故选D.
5.B 因为函数f(x)=x3-ax在区间[0,1]上单调递减,所以f'(x)=3x2-a≤0在区间[0,1]上恒成立,
故a≥3x2在区间[0,1]上恒成立,
所以a≥3.
故选B.
6.A 由题意f'(x)=+2ax-3且f'(2)=0,
解得a=,则f'(x)=+x-3=.
∴当1当x<1或x>2时,f'(x)>0.
∴在区间,1,(2,3]上,f(x)单调递增;在区间(1,2)内,f(x)单调递减.
∵f(3)=2ln3->f(1)=-,∴f(x)在,3上的最大值是2ln3-.
故选A.
7.B 令h(x)=xf(x)-x,
则h'(x)=xf'(x)+f(x)-1.
因为函数f(x)满足f(x)+xf'(x)>1,
所以h'(x)>0,
所以h(x)在R上是增函数.
因为h(-1)=-f(-1)+1所以f(-1)>1>0,故①正确.
因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,
所以f(1)>1,故②错误.
因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.
因为h(1)=f(1)-1>h=f-,
所以2f(1)>f+1>f,故④正确.
故选B.
8.C 因为f'(x)=1+,故f(x)=x+lnx+C,其中C为常数.
因为f(1)=2,
所以C=1,
即f(x)=x+lnx+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为x+lnx+1≥(a+1)x+1,即≥a在(0,+∞)内有解.
令g(x)=,则g'(x)=,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)内单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)内单调递减.
故g(x)max=g(e)=,所以09.BCD 对于A,(3x)'=3xln3,故A正确;
对于B,x+'=1-,故B错误;
对于C,(cosx)'=-sinx,故C错误;
对于D,(e2x)'=2e2x,故D错误.
故选BCD.
10.CD 当x∈(-∞,-2)时,函数f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,函数f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,函数f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,函数f(x)单调递增.
因此当x=-2时,函数f(x)取极小值,当x=2时,函数f(x)取极大值;当x=4时,函数f(x)取极小值.结合选项易知,A,B错误,C,D正确,故选CD.
11.BC f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-(x3-1).
令f'(x)=(x3-1)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f'(x)变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值0 ↗
所以f(x)的极小值也是最小值,最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,
故C正确,A,D错误;
对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,得y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程y-0=0(x-1),即y=0,
故B正确.
故选BC.
12.BC 函数f(x)=的定义域为(0,+∞),f'(x)=.
令h(x)=-lnx,则h'(x)=-=-<0(x>0),
所以函数h(x)在(0,+∞)内单调递减.
又h(1)=1>0,h(e)=-1<0,
所以存在x0∈(1,e),使得h(x0)=0,即函数h(x)有唯一零点x0,且=lnx0.
当x∈(0,x0)时,h(x)>0,即f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故C正确;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)<0,即f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x0为函数f(x)的极大值点,无极小值点,
即f(x)有且仅有一个极值点,故D错误;
所以f(x)max=f(x0)=>0,
又f=<0,所以函数f(x)在,x0内存在一个零点,故A错误;
当x∈(0,1)时,lnx<0,ex>0,
所以f(x)=<0,
即当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方,故B正确.
故选BC.
13.[2,+∞) 由题得y'=ex-e2≥0,可得x≥2.
故函数的单调递增区间为[2,+∞).
14.6 由题意,利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0).
y'=36x-6x2,
由y'=36x-6x2=6x(6-x)=0,得x=6(x>0),
当x∈(0,6)时,y'>0,当x∈(6,+∞)时,y'<0.
∴函数在(0,6)内为增函数,在(6,+∞)内为减函数.则当x=6时,y有最大值为144.
故答案为6.
15.y=x2+2x(答案不唯一) 由f(x)=sin2x,得f'(x)=2cos2x,所以函数f(x)在原点(0,0)处的切线斜率为k=f'(0)=2.
因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程为y=2x.
与函数f(x)=sin2x在原点处具有相同切线的一个函数只需要满足函数过原点且在原点(0,0)处的导数值为2.
由于y=x2+2x,且y'=2x+2,所以函数y=x2+2x在原点(0,0)处的切线方程为y=2x(答案不唯一).
16. 当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,即x3+3ax2+3x+1≥0,
即x+≥-3a.
令g(x)=x+,
则g'(x)=.
令h(x)=x3-3x-2,则h'(x)=3x2-3=3(x+1)·(x-1),易知h'(x)≥0在x∈[2,+∞)内恒成立,
∴h(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,
∴h(x)≥h(2)=0,也就是x3-3x-2≥0在x∈[2,+∞)内恒成立,
∴g'(x)≥0在x∈[2,+∞)内恒成立,g(x)在x∈[2,+∞)内单调递增,
∴g(x)的最小值为g(2)=,-3a≤g(2)=,
解得a≥-.
17.解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=6x2+2ax+b.
从而f'(x)=6+b-,
即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.
又因为f'(1)=0,
即6+2a+b=0,
解得b=-12.
所以,实数a,b的值分别为3,-12.
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内是增函数;
当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内是增函数;
从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
18.解(1)因为f(x)=alnx+x+1,故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-lnx+x+1(x>0),f'(x)=-,
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定义域内,舍去,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,
故f(x)在(0,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
19.解(1)f'(x)=lnx+1-a,
由题意得f'(e2)=3-a=0,
所以a=3,此时f'(x)=lnx-2.
易得x>e2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,0故函数f(x)在x=e2处取得极小值,符合题意,
故函数f(x)的单调递增区间为[e2,+∞),单调递减区间为(0,e2).
(2)因为f(x)=xlnx-3x+1<2c2-c在x∈[1,e3]上恒成立,
所以xlnx-3x+1-2c2+c<0在x∈[1,e3]上恒成立,
令g(x)=xlnx-3x+1-2c2+c,x∈[1,e3],
则g'(x)=lnx-2,
当x>e2时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,当0故g(x)在[1,e2]上单调递减,在[e2,e3]上单调递增,
又g(1)=-2c2+c-2,g(e3)=-2c2+c+1,
故g(x)max=g(e3)=-2c2+c+1,
所以-2c2+c+1<0,
解得c>1或c<-,
故c的取值范围为.
20.解(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,
①当a≤0,f'(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
②当a>0时,令f'(x)>0,得x>lna,则f(x)的单调递增区间为(lna,+∞),
令f'(x)<0,得x则f(x)的单调递减区间为(-∞,lna).
综上所述,当a≤0,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调递增区间为(lna,+∞),f(x)的单调递减区间为(-∞,lna).
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,即x∈(0,+∞)时,a≤恒成立.
设g(x)=,
则g'(x)=,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
则g(x)min=g(1)=e,则a≤e,
即实数a的取值范围是(-∞,e].
21.解(1)由题图2可知,直线AB过点B(4,4),
所以4=k,解得k=2,
所以曲线AB的方程为f(x)=2(0≤x≤4).
设函数BC的解析式为y=ax+b,由直线过点B(4,4),C(8,0),得
解得
所以BC的解析式为y=-x+8(4(2)设D(t,0),
则0所以yE=2,
又yF=yE=2,
所以2=-xF+8,得xF=8-2,
则EF=8-2-t,又DC=8-t,DE=2,
所以S梯形CDEF=DE(EF+DC)=×2(8-2-t+8-t)=-2-2t+16,
设g(t)=-2-2t+16(0令g'(t)=0,得t=,当00,函数g(t)单调递增,
所以g(t)max=g=,即梯形CDEF的面积的最大值为平方米.
22.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f(x)=alnx-x(a∈R),
∴f'(x)=-1=.
①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)内恒成立,
即函数y=f(x)的单调递减区间为(0,+∞).
②当a>0时,f'(x)=0,
解得x=a,
当x∈(0,a)时,f'(x)>0,
∴函数y=f(x)的单调递增区间为(0,a),
当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,
∴函数y=f(x)的单调递减区间为(a,+∞).
综上可知:①当a≤0时,函数y=f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
②当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
(2)由(1)知,当a≤0时,函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递减,
∴函数y=f(x)至多有一个零点,不符合题意;
当a>0时,函数y=f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,+∞)内单调递减,
∴f(x)max=f(a)=alna-a.
又函数y=f(x)有两个零点,
∴f(a)=alna-a=a(lna-1)>0,
∴a>e.
又f(1)=-1<0,
∴ x1∈(1,a),使得f(x1)=0.
f(a2)=alna2-a2=a(2lna-a),
设g(a)=2lna-a,则g'(a)=-1=.
∵a>e,
∴g'(a)<0,
∴函数g(a)在(e,+∞)内单调递减,
∴g(a)即f(a2)<0.
∴ x2∈(a,a2),使得f(x2)=0.
综上可知,实数a的取值范围为(e,+∞).