第六章综合训练
一、单项选择题
1.下列导数运算正确的是( )
A.()'= B.(log2x)'=
C.(sin 2x)'=cos 2x D.(2x)'=x·2x-1
2.[2023北京海淀校级期末]函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=( )
A. B.1 C.2 D.
3.[2023湖北期中]已知直线l是曲线f(x)=ex的切线,切点的横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为( )
A. B.1 C. D.
4.函数f(x)=exsin x在区间上的值域为( )
A.[0,] B.(0,) C.[0,) D.(0,]
5.[2023江苏南京鼓楼期中]已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a+b=( )
A.11或4 B.-4或-11
C.11 D.4
6.[2023河南洛阳月考]若函数f(x)=ln x-ax在区间(3,4)内有极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,) B.(,+∞) C.[] D.()
7.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式>0的解集为( )
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
二、多项选择题
9.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下面判断正确的有( )
A.在(-2,1)内f(x)是增函数
B.在(3,4)内f(x)是减函数
C.在x=-1处取得极小值
D.在x=1处取得极大值
10.[2023安徽模拟]已知函数f(x)=x3-x(x∈R),则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞)
C.f(x)的最大值为
D.f(x)的极值点为(-),(,-)
11.[2023湖北武汉青山校级月考]已知函数f(x)=-1+ln x,则( )
A.f(x)在点(1,0)处的切线为x轴
B.f(x)在(0,+∞)内单调递减
C.x=1为f(x)的极值点
D.f(x)的最小值为0
12.[2023山东菏泽鄄城校级月考]对于函数f(x)=,下列说法正确的有( )
A.f(x)在x=e处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)
D.若f(x)1
三、填空题
13.[2023江西丰城校级月考]函数f(x)=ln x+的极值点为 .
14.[2023河南周口项城月考]已知函数f(x)=asin x+cos x在区间[]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
15.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为 时,其体积最大.
16.若函数f(x)=mln x-x3+x2-4x+4在(2,+∞)内单调递减,则实数m的取值范围为 .
四、解答题
17.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
18.[2023山西太原期末]已知函数f(x)=(x-2)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在[-1,2]上的值域.
19.已知函数f(x)=x2-2ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.
20.甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.
(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶 并求此时全程运输成本的最小值.
21.已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
22.已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
第六章综合训练
1.B 对于A,'=2'=2×-·=-,故A错误;
对于B,(log2x)'=,故B正确;
对于C,(sin2x)'=2cos2x,故C错误;
对于D,(2x)'=2x·ln2,故D错误.
故选B.
2.B 函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于=2.
由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.
因为f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
故选B.
3.C 当x=-1时,f(-1)=e-1=,
而f'(x)=ex,f'(-1)=,
所以切线l:y-(x+1),即x-ey+2=0.
当y=0时,x=-2,即A(-2,0);当x=0时,y=,即B0,,
所以△OAB的面积是S△OAB=×2×.
故选C.
4.A f'(x)=ex(sinx+cosx).
∵x∈,f'(x)>0,
∴f(x)在上单调递增,
∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f.
5.C 根据题意,f'(x)=3x2+6ax+b.
∵函数f(x)在x=-1处有极值0,
∴f'(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,
∴a=1,b=3或a=2,b=9,当a=1,b=3时f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,此时函数无极值点,不符合题意.
当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x<-3或x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-3∴a=2,b=9,
∴a+b=11.
故选C.
6.D 由已知得f'(x)=,
若函数f(x)=lnx-ax在(3,4)内有极值点,
则关于x的方程1-ax=0在(3,4)内有解,即x=∈(3,4),解得故选D.
7.D f'(x)=,令f'(x)=0,得x=3,当00,f(e)=-1<0,f+1>0,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.
8.B 设函数g(x)=,则g'(x)=,
当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,所以此时g'(x)=<0,即函数g(x)单调递减.
又函数g(x)=为奇函数,
所以函数g(x)在x>0时单调递减,且f(3)=0.
画出函数g(x)=的草图(只体现单调性),
则不等式>0的解集为0即不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
9.BC 根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得,当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (-3, -1) -1 (-1, 2) 2 (2,4) 4 (4, +∞)
f'(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
在(3,4)内f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.
正确的有B,C.
10.AB 对于A,因为对 x∈R,f(-x)=-x3+x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A正确;
对于B,由f'(x)=3x2-1>0得x<-或x>,所以f(x)的单调递增区间为-∞,-和,+∞,故B正确;
对于C,因为x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)无最大值,故C错误;
对于D,由f'(x)=3x2-1=0得x=±,经检验x=-是函数f(x)的极大值点,x=是函数f(x)的极小值点,极值点是实数,故D错误.
故选AB.
11.ACD 由题意知f(x)=-1+lnx(x>0),故f'(x)=-.
故f(x)在点(1,0)处的切线的斜率为f'(1)=0,而f(1)=1-1+ln1=0,
故f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,
所以f(x)在点(1,0)处的切线为x轴,A正确;
当01时,f'(x)>0,
故f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,B错误;
由此可得x=1为f(x)的极小值点,C正确;
由于在(0,+∞)上f(x)只有一个极小值点,故函数的极小值也为函数的最小值,最小值为f(1)=0,D正确,
故选ACD.
12.ACD f(x)=的定义域为(0,+∞),
f'(x)=.
令f'(x)=0得x=e,
所以在(0,e)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(e,+∞)内,f'(x)<0,f(x)单调递减.
对于A,由上可知f(x)在x=e处取得极大值,f(e)=,故A正确;
对于B,因为函数f(x)在(0,e)内单调递增,且f(1)=0,
所以函数f(x)在(0,e)内只有一个零点.
当x∈[e,+∞)时,f(x)>0恒成立,
所以函数f(x)在[e,+∞)内没有零点.
所以函数f(x)只有一个零点.
选项B也可以直接令f(x)=0,即=0,解得x=1,所以函数f(x)只有一个零点.故B错误;
对于C,因为f(x)=,
所以f(2)=f(4)=.
因为f(x)在(e,+∞)内单调递减,
所以f(3)>f(π)>f(4),
所以f(2)对于D,若f(x)则所以令g(x)=,x>0,
g'(x)=,
所以在(0,1)内,g'(x)>0,g(x)单调递增,
在(1,+∞)内,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)max=g(1)=1,
所以k>1,故D正确,
故选ACD.
13.1 由f(x)=lnx+,x∈(0,+∞),
得f'(x)=.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
∴1是函数f(x)的极小值点.
14. 因为f(x)=asinx+cosx在区间上单调递减,
所以f'(x)=acosx-sinx≤0在区间上恒成立,
故a≥tanx在区间上恒成立.
因为y=tanx在区间上单调递增,
所以y=tanx的最大值为tan=-,
故a≥-,
即实数a的取值范围是.
15.2 cm,1 cm, cm 设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=-3x,
∴V=2x·x·h=2x2=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=0(舍去).
∴x=1是函数V在(0,+∞)内唯一的极大值点,也是最大值点,
故当长、宽、高分别为2cm,1cm,cm时,体积最大.
16.(-∞,20] ∵f(x)=mlnx-x3+x2-4x+4(x>0),∴f'(x)=-3x2+3x-4.
由于f(x)在(2,+∞)内单调递减,
即f'(x)≤0在(2,+∞)内恒成立,
即-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)内恒成立,
设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),
则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)内恒成立,
即m≤g(x)min在(2,+∞)内恒成立,
g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,
∴x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,
∴m≤20,即实数m的取值范围为(-∞,20].
17.解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
∵f(x)在x=3处取得极值,
∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.
∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)A点在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,
∴切线方程为y=16.
18.解(1)函数f(x)=(x-2)ex,则f'(x)=(x-1)ex.
当x>1时,f'(x)>0,当x<1时,f'(x)<0,
故函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减.
(2)由(1)可得函数f(x)在(1,2]上单调递增,在[-1,1)内单调递减,
且f(-1)=-3e-1=-,f(2)=0,
则f(x)在[-1,2]上的最大值f(x)max=f(2)=0,最小值f(x)min=f(1)=-e,
故f(x)在[-1,2]上的值域为[-e,0].
19.解(1)依题意,知函数的定义域为{x|x>0},
∵f'(x)=2x-,
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为[0,1].
(2)设g(x)=f(x)-3x+4=x2-2lnx-3x+4,
∴g'(x)=2x--3=,
∵当x>2时,g'(x)>0,
∴g(x)在(2,+∞)内为增函数,
∴g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4=2-2ln2>0,
∴当x>2时,x2-2lnx>3x-4,
即当x>2时,f(x)>3x-4.得证.
20.解(1)Q=P·=v4-v3+15v·=v3-v2+15·400=v2+6000(0(2)Q'=-5v,
令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,
当0当800,
则当v=80时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且Qmin=Q(80)=.
故为使全程运输成本最少,汽车应从80千米/时的速度行驶,此时全程运输成本为元.
21.解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-.
(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为,2.
因此所求三角形的面积为.
(2)由题意a>0,当0当a=1时,f(x)=ex-1-lnx,f'(x)=ex-1-.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
22.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)内单调递增,故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).
①若0②若a>,则f(lna)<0.
由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,lna)内存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4且x>2ln(2a)时,
f(x)=-a(x+2)>eln(2a)·-a(x+2)=2a>0.
故f(x)在(lna,+∞)内存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)内有两个零点.
综上,a的取值范围是.(共40张PPT)
第六章综合训练
一、单项选择题
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20
1.下列导数运算正确的是( )
C.(sin 2x)'=cos 2x D.(2x)'=x·2x-1
B
对于C,(sin 2x)'=2cos 2x,故C错误;
对于D,(2x)'=2x·ln 2,故D错误.
故选B.
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2.[2023北京海淀校级期末]函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=( )
B
由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.
因为f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
故选B.
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3.[2023湖北期中]已知直线l是曲线f(x)=ex的切线,切点的横坐标为-1,直线l与x轴和y轴分别相交于A,B两点,则△OAB的面积为( )
C
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A
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5.[2023江苏南京鼓楼期中]已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a+b=( )
A.11或4 B.-4或-11
C.11 D.4
C
解析 根据题意,f'(x)=3x2+6ax+b.
∵函数f(x)在x=-1处有极值0,
∴f'(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,
∴a=1,b=3或a=2,b=9,当a=1,b=3时f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,此时函数无极值点,不符合题意.
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当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x<-3或x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-3∴a=2,b=9,
∴a+b=11.
故选C.
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6.[2023河南洛阳月考]若函数f(x)=ln x-ax在区间(3,4)内有极值点,则实数a的取值范围是( )
D
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8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
B
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即不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
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二、多项选择题
9.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下面判断正确的有( )
A.在(-2,1)内f(x)是增函数
B.在(3,4)内f(x)是减函数
C.在x=-1处取得极小值
D.在x=1处取得极大值
BC
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解析 根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得,当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,4) 4 (4,+∞)
f'(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
在(3,4)内f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.
正确的有B,C.
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10.[2023安徽模拟]已知函数f(x)=x3-x(x∈R),则( )
A.f(x)是奇函数
AB
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解析 对于A,因为对 x∈R,f(-x)=-x3+x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A正确;
是函数f(x)的极小值点,极值点是实数,故D错误.
故选AB.
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11.[2023湖北武汉青山校级月考]已知函数f(x)= -1+ln x,则( )
A.f(x)在点(1,0)处的切线为x轴
B.f(x)在(0,+∞)内单调递减
C.x=1为f(x)的极值点
D.f(x)的最小值为0
ACD
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故f(x)在点(1,0)处的切线的斜率为f'(1)=0,而f(1)=1-1+ln 1=0,
故f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,
所以f(x)在点(1,0)处的切线为x轴,A正确;
当01时,f'(x)>0,
故f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,B错误;
由此可得x=1为f(x)的极小值点,C正确;
由于在(0,+∞)上f(x)只有一个极小值点,故函数的极小值也为函数的最小值,最小值为f(1)=0,D正确,
故选ACD.
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令f'(x)=0得x=e,
所以在(0,e)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(e,+∞)内,f'(x)<0,f(x)单调递减.
对于A,由上可知f(x)在x=e处取得极大值,f(e)= ,故A正确;
对于B,因为函数f(x)在(0,e)内单调递增,且f(1)=0,
所以函数f(x)在(0,e)内只有一个零点.
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当x∈[e,+∞)时,f(x)>0恒成立,
所以函数f(x)在[e,+∞)内没有零点.
所以函数f(x)只有一个零点.
因为f(x)在(e,+∞)内单调递减,
所以f(3)>f(π)>f(4),
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所以在(0,1)内,g'(x)>0,g(x)单调递增,
在(1,+∞)内,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)max=g(1)=1,
所以k>1,故D正确,
故选ACD.
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13.[2023江西丰城校级月考]函数f(x)=ln x+ 的极值点为 .
三、填空题
1
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
∴1是函数f(x)的极小值点.
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14.[2023河南周口项城月考]已知函数f(x)=asin x+cos x在区间 上单调递减,则实数a的取值范围是 .
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15.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为 时,其体积最大.
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16.若函数f(x)=mln x-x3+ x2-4x+4在(2,+∞)内单调递减,则实数m的取值范围为 .
(-∞,20]
由于f(x)在(2,+∞)内单调递减,
即f'(x)≤0在(2,+∞)内恒成立,
设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),
则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)内恒成立,
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即m≤g(x)min在(2,+∞)内恒成立,
g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,
∴x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,
∴m≤20,即实数m的取值范围为(-∞,20].
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四、解答题
17.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
∵f(x)在x=3处取得极值,
∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.
∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)A点在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,
∴切线方程为y=16.
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18.[2023山西太原期末]已知函数f(x)=(x-2)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在[-1,2]上的值域.
解 (1)函数f(x)=(x-2)ex,则f'(x)=(x-1)ex.
当x>1时,f'(x)>0,当x<1时,f'(x)<0,
故函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减.
(2)由(1)可得函数f(x)在(1,2]上单调递增,在[-1,1)内单调递减,
则f(x)在[-1,2]上的最大值f(x)max=f(2)=0,最小值f(x)min=f(1)=-e,
故f(x)在[-1,2]上的值域为[-e,0].
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19.已知函数f(x)=x2-2ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.
解 (1)依题意,知函数的定义域为{x|x>0},
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为[0,1].
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(2)设g(x)=f(x)-3x+4=x2-2ln x-3x+4,
∵当x>2时,g'(x)>0,
∴g(x)在(2,+∞)内为增函数,
∴g(x)>g(2)=4-2ln 2-6+4=2-2ln 2>0,
∴当x>2时,x2-2ln x>3x-4,
即当x>2时,f(x)>3x-4.得证.
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20.甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千
(1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶 并求此时全程运输成本的最小值.
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令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,
当0当800,
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21.已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
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(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
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(2)由题意a>0,当0当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
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22.已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
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解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
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(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)内单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
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由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)内存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4且x>2ln(2a)时,
故f(x)在(ln a,+∞)内存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)内有两个零点.