初二素养体验活动
数学学科
（时间：120分钟；命题人： 审核人：）
一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上. ）
1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校
徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（▲）
A B． C． D．
2．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（▲）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
3．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做依据的数学道理是（▲）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．长方形的四个角都是直角
4．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由
是（▲）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（第3题） （第4题） （第6题） （第7题）
5．下列说法中，正确的是（▲）
A．三角形三条角平分线的交点到三边距离相等
B．两条边分别相等的两个直角三角形全等
C．两边及一角分别相等的两个三角形全等
D．等腰三角形的高线、中线及角平分线互相重合
6．如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于点E，则图中全等三角形共
有（▲）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（▲）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，
如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目（▲）
知识回顾 知识延伸
已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，通过证明OD＝OE＝OF可得点O在 ∠A的角平分线上． 已知点P为△NMK两外角角平分线 的交点，若∠NPK＝50°，则∠PMK＝（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．）
9. 已知△ABC≌△ABC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C ＝ ▲ ．
10. 在直角三角形中，斜边长为10cm，则斜边上的中线长为 ▲ cm．
11. 如图，某人将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一
样的玻璃，那么最省事的方法是带第 ▲ 块．（填序号）
12. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，
DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ▲ ．
（第11题） （第12题） （第13题）
13. 如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴
对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝32°，则∠GOH＝ ▲ ．
14. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2
＝ ▲ ．
15. 如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，
BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．
（第14题） （第15题） （第16题）
16. 如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC为 ▲ m2．
17. 已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直
线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片
沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三
角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 ▲ °．
18. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别是BC、CD上的一点，
EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得到△ECF，连接AC．若△AEC是等腰三角形，且AE＝AC，则BE＝ ▲ ．
（第17题） （第18题）
三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．）
19.（本题8分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画△A1B1C1，使它与△A1B1C1关于直线l成轴对称；
（2）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
20．（本题8分）如图，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D为AC上一点，且
到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BD，若∠A＝48°，则∠DBC的度数为 ▲ ．
21.（本题8分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，
∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度数．
22.（本题8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，
求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．
若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
23.（本题10分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD
和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．
24.（本题10分）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
25.（本题10分）根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四
条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解
决有关四边形全等的问题．
如图，已知四边形ABCD和四边形ABCD中，AB AB ，BC BC ，
B B ，C C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD
≌四边形ABCD．下列四个条件：
AA ；② DD ；③ AD AD ；④ CD CD
（1）其中，符合要求的条件是 ．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形ABCD ．
26.（本题10分）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，
M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数．
27.（本题12分）
（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，
AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．将边AB绕
点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．直接写出△BCD的面积．（用
含a的代数式表示）
图1 图2 图3
28.（本题12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC延长线上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
（2）延长EC交AB的延长线于点F，若∠F＝45°，
①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；
②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；
（3）当D在线段BC上时，若线段BC＝3，△ABC面积为9，则四边形ADCE周长的最小值是 ．答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A A C C D
二、填空：
9 ． 800 ；10． 5 ；11． ① ；12． 10 ；13． 640 ；14． 450 ；15． 12 ；16． 12 ；17． 72 ；18． 8/3 ；
三、解答
19.
20. 解：（1）如图，点D为所求作的点．
(2) 42°
21. （1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）解：∵∠ACD＝86°，AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝47°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝66.5°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．
22. （1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
23. （1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，
即AB DE+AC DF＝（AB+AC） DE＝15，
∵AB+AC＝10，
∴×10 DE＝15，
∴DE＝3，
即DE的长为3．
24. （1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
25. （1）符合要求的条件是①②④，
故答案为：①②④；
（2）选④，
证明：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，
∴∠ACD＝∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
26. （1）证明：如图，连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，
∴180°﹣∠A＝120°，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°.
27. （1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴．
(3) S△BCD＝ a a＝a2．
28. （1）△ABD≌△ACE，证明如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①如图：
设∠DCE＝x°＝∠BCF，
∵∠F＝45°，
∴∠ABD＝∠F+∠BCF＝（x+45）°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABD＝（x+45）°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝（x+45）°，
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴（x+45）°+（x+45）°+x°＝180°，
解得x＝30，
∴∠DCE＝30°；
②由①知，∠ABD＝∠F+∠BCF＝45°+30°＝75°，
当AD＝BD时，如图：
∴∠BAD＝∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝30°，
当AB＝BD时，如图：
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD）÷2＝52.5°，
∴当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°；
（3）15
