江西省南昌市师大附中滨江校区2023-2024学年九年级上学期开学考试试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023九上·南昌开学考） 下列各数，最小的是（ ）
A．0 B．0.1 C． D．
2．（2023九上·南昌开学考） 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·南昌开学考） 如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·南昌开学考） 下面统计调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．调查市场上某食品防腐剂是否符合国家标准
B．对某品牌手机的防水性能的调查
C．疫情期间对国外入境人员的核酸检测
D．调查我市初中生每周“诵读经典”的时间
5．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，若要使四边形AECF为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（ ）
甲：只需要满足；乙：只需要满足；丙：只需要满足，
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
6．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023九上·南昌开学考） 分解因式： ．
8．（2023九上·南昌开学考）已知点是抛物线上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线 ．
9．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ．
10．（2023九上·南昌开学考） 师大附中今年春季开展体操活动，小明收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高情况，得到以下信息：平均身高（单位：cm）分别为：；方差分别为：．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 ．（填写“甲”或“乙”）
11．（2023九上·南昌开学考） 淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为20万元，预计7月份的盈利额将达28.8万元，设每月增长的百分率相同，则6月份的盈利额为 万元．
12．（2023·寻乌模拟）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为 ．
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023九上·南昌开学考）解方程：
（1）；
（2）．
14．（2023九上·南昌开学考）（1）计算：；
（2）解不等式组：
15．（2023九上·南昌开学考）先化简，再求值：，其中．
16．（2023九上·南昌开学考）如图，直线与直线交于点．
（1）求m、b的值；
（2）为x轴上一个动点，过P作x轴的垂线，分别交直线于点E，F．若，求a值．
17．（2016八下·石城期中）我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”，请用无刻度的直尺作出图（1）、图（2）的“好线”．其中图（1）是一个平行四边形，图（2）由一个平行四边形和一个正方形组成．（保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023九上·南昌开学考）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
19．（2023九上·南昌开学考）为弘扬红色文化，传颂红色故事，某学校特在九年级开展了红色文化知识竞赛活动，并随机抽取了20名参赛选手的成绩（竞赛成绩均为正数，满分100分）进行统计分析．随机抽取的成绩如下：77，86，80，76，70，100，95，80，75，90，94，86，68，95，88，78，90，82，86，100，整理数据：
分数
人数 2 a b 5
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）这20名参赛人员成绩的众数为 ，中位数为 ；
（3）小李的参赛成绩为87分，你认为他的成绩属于“中上”水平吗？请说明理由；
（4）该学校九年级共有460名学生参加了竞赛，若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计此次知识竞赛中优秀的人数．
20．（2023九上·南昌开学考）二次函数．图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 m …
y … n …
（1）这个二次函数的表达式为 ，顶点坐标是 ；
（2）表中的 ， ；
（3）若是这个函数图象上的两点，且，则 （填“>”或“=”或“<”）：
（4）当时，二次函数的最大值为，求实数a的值．
五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023九上·南昌开学考）有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
（1）已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？
（2）若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则 （直接写出答案）．
22．（2023九上·南昌开学考）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）初步感知
如图1，当点M在EF上时，线段CQ与MQ的数量关系为 ； 度．
（2）迁移探究
改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，请判断线段CQ与MQ的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为10，在以上探究中，当时，直接写出AP的长．
六、解答题（共1小题，共12分）
23．（2023九上·南昌开学考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动．点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】
最小的是-4
故答案为：C
【分析】会实数比较大小；对于负数，绝对值大的反而小。
2．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】
A：，正确，根据幂的乘法公式
B：，不正确，应为
C：，不正确，应为
D： ，不正确，
故答案为：A
【分析】掌握幂的乘方公式、同类项合并、负整数幂的运算和多项式的加减计算。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】根据题意：
OB=OC=
O是原点
C点表示的数是
故答案为：D
【分析】根据勾股定理和同圆的半径都相等的性质来判定。
4．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】
A：调查市场上某食品防腐剂是否符合国家标准，适用抽样调查；
B：对某品牌手机的防水性能的调查，适用抽样调查；
C：疫情期间对国外入境人员的核酸检测，适用全面调查；
D：调查我市初中生每周“诵读经典”的时间，适用抽样调查。
故答案为：C
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用情况来选择。全面调查一般用于总体较小、调查时间充裕、需要全面数据的情况。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】 连接AC，交BD于O.
甲：只需要满足
ABCD是平行四边形
BO=DO AO=CO
BF=DE
BF-BO=DE-DO即FO=EO
AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
乙：只需要满足
当前条件无法证明对角线平分或者一组对边平行
故不是正确方案。
丙：只需要满足
在中
≌ (AAS)
AE=CF
AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质及补充条件，依据平行四边形的判定定理进行判断。
6．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】根据题意：设OA的函数解析式为y=k1x，OC的函数解析式为y=k2x，
代入A（1，-2）
得k1=-2
OAOC
OC的函数解析式为y=x
又OA=OC=
设C的坐标为（x，）
x=2，x=-2（舍去）
C的坐标为（2，1）
代入一次函数
解得k=3
故选：C
【分析】根据正方形性质和互相垂直的两条线的k值乘积是-1，得到OC的解析式，再由正方形边长相等的性质可计算出C点的坐标，进而用待定系数法求出一次函数解析式。
7．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 分解因式：
故填：
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解因式。
8．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】 是抛物线上的两点，
根据抛物线的对称性，A、B的纵坐标都是5，
A和B是对称点
对称轴是
故答案为：x=3
【分析】根据抛物线的对称性，发现A、B两点是对称点，由此找到对称轴。
9．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 函数与的图象交于点
把 代入y=2x，
得2m=2
解得m=1
则
如图： 若
则
故答案为：
【分析】根据已知求出P点的横坐标；会数形结合比较不等式的大小、找到自变量的取值范围。
10．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】根据题意，选择身高比较整齐的，
，即
选择甲队
故答案为：甲
【分析】按照选择的原则，需要数据的稳定性更好的队，方差小的说明数据稳定性更好，波动较小，因此选甲。
11．【答案】24
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意，设月增长率为x，
解得：x=20%
6月份盈利额：
万元
故答案为：24
【分析】非常典型的一元二次方程应用，连续n个相同增长率的增长，列等式为：初始数量（1+增长率）n=增长后数量。
12．【答案】1或3或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论：
（1）当射线经过矩形的中点时，如图1所示．
∵，，
∴，，
又∵，
∴，即，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
（2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2所示．
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
（3）当射线经过矩形的中点时，如图3所示．
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1或3或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
13．【答案】（1）解：，
则，
，
或，
；
（2）解：，
则，
，
，
．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1)题中有公因式，直接提取，进行因式分解；
(2)先整理成一般式，计算判别式判断根的情况，再进一步求根。
14．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】 (1) 会求算术平方根 、会开立方，注意符号的处理；
(2) 会解不等式组，注意找公共解集的口诀：小于大的、大于小的，取中间。
15．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简再求值，通分和因式分解都能把加减变成乘除，这样可以进行约分，简化。
16．【答案】（1）解：将点代入，得，
，
将点C代入，得，
解得，
；
（2）解：轴，且，
∴E点和F点横坐标为a，
将点E和点F横坐标代入直线与直线，
得E点纵坐标为，F点纵坐标为，
，
，
解得或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】 (1) 将C点横坐标代入l1可以求出m，再将C的坐标代入l2，可以求得b；
(2)由题意，P、E、F三点在一条直线上，横坐标相同，纵坐标相减是3，即分别求出x=a时y的值，相减得3，可求得a。
17．【答案】解：如图所示，直线MN即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】图（1）过平行四边形的中心O画直线MN即可，图（2）过平行四边形和正方形的中心O，O′画直线MN即可．
18．【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
；
（2）解：方程的两个实数根分别为，
，
，
，
，
，
或1，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1) 有实数根，说明判别式大于等于0，由此求k；
(2)根据根和系数的关系，我们可求两根之和、两根之积的代数式，通过完全平方公式，可以求出k。这个完全平方公式的恒等变形非常有用。
19．【答案】（1）6；7
（2）86；86
（3）解：属于“中上”水平，理由如下：
因为样本中位数是86，且，所以小李的成绩87分属于“中上”水平；
（4）解：（名），
答：估计此次知识竞赛中优秀的人数约为161名．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解： (1)根据题意，在数据中找高于70分但不超过80分的成绩，有6个，
故第一空填：6
在数据中找到高于80分但不超过90分的成绩，有7个，
故第二空填：7
(2)20个数据中，只有86出现3次，次数最多，故众数是86，
故第一空填：86
将全部成绩从小到大排列：68，70，75，76，77，78，80，80，82，86，86，86，88，90，90，94，95，95，100，100，第10和第11都是86，故中位数是86，
故第二空填：86，
【分析】 (1) 整理数据，按要求找出数据；
(2)掌握众数、中位数的定义及计算；
(3) 了解中位数的意义；
(4)会根据样本估算总体。
20．【答案】（1）（顶点式：）；
（2）3；-12；
（3）
（4）解：因为时，最大值，所以范围内不包含顶点．
①当时，即．
解得：（舍），．
②当时．
解得：（舍）．
综上：或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）二次函数 ，代入（-2，-4）（-1，-3）（0，-4）
得
解得
（同理，顶点式设代入（-2，-4）（-1，-3）（0，-4）
得
解得
）
故第一空填：（顶点式：）
顶点坐标()
代入得
故第二空填：（-1，-3）
（2）
代入y=-19
解得m=3
故第一空填：3
代入x=2
故第二空填：-12
（3），对称轴为x=-1
根据函数性质，此时y随x增大而增大，
，
故填：
【分析】 (1) 待定系数法求函数解析式，根据顶点公式求顶点坐标；
(2) 代入函数解析式，求值即可；
(3)根据函数的增减性，判断y值的大小；
(4)开口向下，最大值不是顶点，分两种情况讨论，在顶点左侧和在顶点右侧，左侧x增大y增大，右侧x增大y减小。
21．【答案】（1）解：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米.
（2）解：，
，
又道路的宽度米，
四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
．
答：原来矩形场地的长为26米，宽为13米．
（3）25
【知识点】二元一次方程的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）根据题意：
即
此时，两数之积是33，则这两个数是1和33或者3和11
1、当14-n=1时，n=13
7-m=33
m=-26（不符合题意，舍去）
2、当14-n=33时，n=-19（不符合题意，舍去）
3、当14-n=3时，n=11
7-m=11
m=-4（不符合题意，舍去）
4、当14-n=11时，n=3
7-m=3
m=4
故
故填：25
【分析】 (1)根据题意分别表示出长和宽，根据面积公式列等式得到一元二次方程，求解即可；
(2) 与(1)的思路相同，只是未知量变了；
(3)根据题意列出方程，发现2个因式的乘积是33，只有4种可能的情况，此时为确定m和n的值，分别讨论。得到m、n后再代入求值。
22．【答案】（1）；45
（2）解：；度，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
由翻折可知：，
，
，
，
；
由翻折可知：，
；
（3）或
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
AB=BC
由折叠可知AB=MB
BM=BC
又BQ=BQ
Rt≌ Rt (HL)
CQ=MQ
故第一空填：CQ=MQ
由折叠性质可知：
故第二空填：45
（3）当点O在点F的下方时，如图2，
，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
，
解得，
；
当点Q在点F的上方时，如图3，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
，
，
解得，
，
综上所述：或．
【分析】 (1)观察线段所在的两个直角三角形，符合HL定理，由全等可知对应线段相等；由折叠性质和全等得知，所求角度是直角的一半；
(2)改变P在AD上的位置，发现证明1的条件仍然成立， 故结论仍然成立；
(3) 已知和未知线段不在一个三角形内，我们想办法等量代换，把它们移动到一个三角形最好是直角三角形内，可以利用勾股定理，根据这个指导思路，我们找到直角三角形PDQ，利用勾股定理找到等式，代入三边关系式，可求解。
23．【答案】（1）解：直线过点A，
，
又，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
抛物线的解析式为：．
（2）解：如图，
设点，
轴，轴，
则，
点P在直线l上方的抛物线上，
，
，，
．
当时，取得最大值，最大值为18．
（3）符合条件的M点有三个：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3） ∵抛物线的解析式为：
N(0，4)
直线：
C(0，-1)
NC=5
设P（x，）设M(x，-x-1)
或
解得x1=0(舍去） x2=4
把三个x值代入M点的纵坐标，求得坐标为
M1（4，-5），
M2（）
M3（）
故答案为： 符合条件的M点有三个：
【分析】 (1)直线l过点A，且A在x轴上，可求A的坐标，D坐标已知，在已知两点坐标情况下，抛物线解析式只有2个未知数，则可用待定系数法求解析式；
(2) 根据题意， 设出点P坐标，根据P、E、F点坐标间的关系，找到PE+PF的关系式，根据自变量x的范围，讨论最值；
(3) 由题意NC为一边且长度可求，则根据平行四边形性质，MP的横坐标相同且MP=NC，由此可求M.
1 / 1江西省南昌市师大附中滨江校区2023-2024学年九年级上学期开学考试试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023九上·南昌开学考） 下列各数，最小的是（ ）
A．0 B．0.1 C． D．
【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】
最小的是-4
故答案为：C
【分析】会实数比较大小；对于负数，绝对值大的反而小。
2．（2023九上·南昌开学考） 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】
A：，正确，根据幂的乘法公式
B：，不正确，应为
C：，不正确，应为
D： ，不正确，
故答案为：A
【分析】掌握幂的乘方公式、同类项合并、负整数幂的运算和多项式的加减计算。
3．（2023九上·南昌开学考） 如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】根据题意：
OB=OC=
O是原点
C点表示的数是
故答案为：D
【分析】根据勾股定理和同圆的半径都相等的性质来判定。
4．（2023九上·南昌开学考） 下面统计调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．调查市场上某食品防腐剂是否符合国家标准
B．对某品牌手机的防水性能的调查
C．疫情期间对国外入境人员的核酸检测
D．调查我市初中生每周“诵读经典”的时间
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】
A：调查市场上某食品防腐剂是否符合国家标准，适用抽样调查；
B：对某品牌手机的防水性能的调查，适用抽样调查；
C：疫情期间对国外入境人员的核酸检测，适用全面调查；
D：调查我市初中生每周“诵读经典”的时间，适用抽样调查。
故答案为：C
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用情况来选择。全面调查一般用于总体较小、调查时间充裕、需要全面数据的情况。
5．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，若要使四边形AECF为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（ ）
甲：只需要满足；乙：只需要满足；丙：只需要满足，
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】 连接AC，交BD于O.
甲：只需要满足
ABCD是平行四边形
BO=DO AO=CO
BF=DE
BF-BO=DE-DO即FO=EO
AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
乙：只需要满足
当前条件无法证明对角线平分或者一组对边平行
故不是正确方案。
丙：只需要满足
在中
≌ (AAS)
AE=CF
AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的性质及补充条件，依据平行四边形的判定定理进行判断。
6．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】根据题意：设OA的函数解析式为y=k1x，OC的函数解析式为y=k2x，
代入A（1，-2）
得k1=-2
OAOC
OC的函数解析式为y=x
又OA=OC=
设C的坐标为（x，）
x=2，x=-2（舍去）
C的坐标为（2，1）
代入一次函数
解得k=3
故选：C
【分析】根据正方形性质和互相垂直的两条线的k值乘积是-1，得到OC的解析式，再由正方形边长相等的性质可计算出C点的坐标，进而用待定系数法求出一次函数解析式。
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023九上·南昌开学考） 分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 分解因式：
故填：
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解因式。
8．（2023九上·南昌开学考）已知点是抛物线上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】 是抛物线上的两点，
根据抛物线的对称性，A、B的纵坐标都是5，
A和B是对称点
对称轴是
故答案为：x=3
【分析】根据抛物线的对称性，发现A、B两点是对称点，由此找到对称轴。
9．（2023九上·南昌开学考） 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 函数与的图象交于点
把 代入y=2x，
得2m=2
解得m=1
则
如图： 若
则
故答案为：
【分析】根据已知求出P点的横坐标；会数形结合比较不等式的大小、找到自变量的取值范围。
10．（2023九上·南昌开学考） 师大附中今年春季开展体操活动，小明收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员（各50名）的身高情况，得到以下信息：平均身高（单位：cm）分别为：；方差分别为：．现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择 ．（填写“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】根据题意，选择身高比较整齐的，
，即
选择甲队
故答案为：甲
【分析】按照选择的原则，需要数据的稳定性更好的队，方差小的说明数据稳定性更好，波动较小，因此选甲。
11．（2023九上·南昌开学考） 淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为20万元，预计7月份的盈利额将达28.8万元，设每月增长的百分率相同，则6月份的盈利额为 万元．
【答案】24
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意，设月增长率为x，
解得：x=20%
6月份盈利额：
万元
故答案为：24
【分析】非常典型的一元二次方程应用，连续n个相同增长率的增长，列等式为：初始数量（1+增长率）n=增长后数量。
12．（2023·寻乌模拟）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为 ．
【答案】1或3或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论：
（1）当射线经过矩形的中点时，如图1所示．
∵，，
∴，，
又∵，
∴，即，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
（2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2所示．
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
（3）当射线经过矩形的中点时，如图3所示．
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1或3或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023九上·南昌开学考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
则，
，
或，
；
（2）解：，
则，
，
，
．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1)题中有公因式，直接提取，进行因式分解；
(2)先整理成一般式，计算判别式判断根的情况，再进一步求根。
14．（2023九上·南昌开学考）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】 (1) 会求算术平方根 、会开立方，注意符号的处理；
(2) 会解不等式组，注意找公共解集的口诀：小于大的、大于小的，取中间。
15．（2023九上·南昌开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简再求值，通分和因式分解都能把加减变成乘除，这样可以进行约分，简化。
16．（2023九上·南昌开学考）如图，直线与直线交于点．
（1）求m、b的值；
（2）为x轴上一个动点，过P作x轴的垂线，分别交直线于点E，F．若，求a值．
【答案】（1）解：将点代入，得，
，
将点C代入，得，
解得，
；
（2）解：轴，且，
∴E点和F点横坐标为a，
将点E和点F横坐标代入直线与直线，
得E点纵坐标为，F点纵坐标为，
，
，
解得或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】 (1) 将C点横坐标代入l1可以求出m，再将C的坐标代入l2，可以求得b；
(2)由题意，P、E、F三点在一条直线上，横坐标相同，纵坐标相减是3，即分别求出x=a时y的值，相减得3，可求得a。
17．（2016八下·石城期中）我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”，请用无刻度的直尺作出图（1）、图（2）的“好线”．其中图（1）是一个平行四边形，图（2）由一个平行四边形和一个正方形组成．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，直线MN即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】图（1）过平行四边形的中心O画直线MN即可，图（2）过平行四边形和正方形的中心O，O′画直线MN即可．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023九上·南昌开学考）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
；
（2）解：方程的两个实数根分别为，
，
，
，
，
，
或1，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1) 有实数根，说明判别式大于等于0，由此求k；
(2)根据根和系数的关系，我们可求两根之和、两根之积的代数式，通过完全平方公式，可以求出k。这个完全平方公式的恒等变形非常有用。
19．（2023九上·南昌开学考）为弘扬红色文化，传颂红色故事，某学校特在九年级开展了红色文化知识竞赛活动，并随机抽取了20名参赛选手的成绩（竞赛成绩均为正数，满分100分）进行统计分析．随机抽取的成绩如下：77，86，80，76，70，100，95，80，75，90，94，86，68，95，88，78，90，82，86，100，整理数据：
分数
人数 2 a b 5
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）这20名参赛人员成绩的众数为 ，中位数为 ；
（3）小李的参赛成绩为87分，你认为他的成绩属于“中上”水平吗？请说明理由；
（4）该学校九年级共有460名学生参加了竞赛，若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计此次知识竞赛中优秀的人数．
【答案】（1）6；7
（2）86；86
（3）解：属于“中上”水平，理由如下：
因为样本中位数是86，且，所以小李的成绩87分属于“中上”水平；
（4）解：（名），
答：估计此次知识竞赛中优秀的人数约为161名．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解： (1)根据题意，在数据中找高于70分但不超过80分的成绩，有6个，
故第一空填：6
在数据中找到高于80分但不超过90分的成绩，有7个，
故第二空填：7
(2)20个数据中，只有86出现3次，次数最多，故众数是86，
故第一空填：86
将全部成绩从小到大排列：68，70，75，76，77，78，80，80，82，86，86，86，88，90，90，94，95，95，100，100，第10和第11都是86，故中位数是86，
故第二空填：86，
【分析】 (1) 整理数据，按要求找出数据；
(2)掌握众数、中位数的定义及计算；
(3) 了解中位数的意义；
(4)会根据样本估算总体。
20．（2023九上·南昌开学考）二次函数．图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 m …
y … n …
（1）这个二次函数的表达式为 ，顶点坐标是 ；
（2）表中的 ， ；
（3）若是这个函数图象上的两点，且，则 （填“>”或“=”或“<”）：
（4）当时，二次函数的最大值为，求实数a的值．
【答案】（1）（顶点式：）；
（2）3；-12；
（3）
（4）解：因为时，最大值，所以范围内不包含顶点．
①当时，即．
解得：（舍），．
②当时．
解得：（舍）．
综上：或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）二次函数 ，代入（-2，-4）（-1，-3）（0，-4）
得
解得
（同理，顶点式设代入（-2，-4）（-1，-3）（0，-4）
得
解得
）
故第一空填：（顶点式：）
顶点坐标()
代入得
故第二空填：（-1，-3）
（2）
代入y=-19
解得m=3
故第一空填：3
代入x=2
故第二空填：-12
（3），对称轴为x=-1
根据函数性质，此时y随x增大而增大，
，
故填：
【分析】 (1) 待定系数法求函数解析式，根据顶点公式求顶点坐标；
(2) 代入函数解析式，求值即可；
(3)根据函数的增减性，判断y值的大小；
(4)开口向下，最大值不是顶点，分两种情况讨论，在顶点左侧和在顶点右侧，左侧x增大y增大，右侧x增大y减小。
五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023九上·南昌开学考）有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
（1）已知，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？
（2）若，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则 （直接写出答案）．
【答案】（1）解：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米.
（2）解：，
，
又道路的宽度米，
四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
．
答：原来矩形场地的长为26米，宽为13米．
（3）25
【知识点】二元一次方程的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）根据题意：
即
此时，两数之积是33，则这两个数是1和33或者3和11
1、当14-n=1时，n=13
7-m=33
m=-26（不符合题意，舍去）
2、当14-n=33时，n=-19（不符合题意，舍去）
3、当14-n=3时，n=11
7-m=11
m=-4（不符合题意，舍去）
4、当14-n=11时，n=3
7-m=3
m=4
故
故填：25
【分析】 (1)根据题意分别表示出长和宽，根据面积公式列等式得到一元二次方程，求解即可；
(2) 与(1)的思路相同，只是未知量变了；
(3)根据题意列出方程，发现2个因式的乘积是33，只有4种可能的情况，此时为确定m和n的值，分别讨论。得到m、n后再代入求值。
22．（2023九上·南昌开学考）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）初步感知
如图1，当点M在EF上时，线段CQ与MQ的数量关系为 ； 度．
（2）迁移探究
改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，请判断线段CQ与MQ的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为10，在以上探究中，当时，直接写出AP的长．
【答案】（1）；45
（2）解：；度，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
由翻折可知：，
，
，
，
；
由翻折可知：，
；
（3）或
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，
AB=BC
由折叠可知AB=MB
BM=BC
又BQ=BQ
Rt≌ Rt (HL)
CQ=MQ
故第一空填：CQ=MQ
由折叠性质可知：
故第二空填：45
（3）当点O在点F的下方时，如图2，
，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
，
解得，
；
当点Q在点F的上方时，如图3，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
，
，
解得，
，
综上所述：或．
【分析】 (1)观察线段所在的两个直角三角形，符合HL定理，由全等可知对应线段相等；由折叠性质和全等得知，所求角度是直角的一半；
(2)改变P在AD上的位置，发现证明1的条件仍然成立， 故结论仍然成立；
(3) 已知和未知线段不在一个三角形内，我们想办法等量代换，把它们移动到一个三角形最好是直角三角形内，可以利用勾股定理，根据这个指导思路，我们找到直角三角形PDQ，利用勾股定理找到等式，代入三边关系式，可求解。
六、解答题（共1小题，共12分）
23．（2023九上·南昌开学考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动．点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．
【答案】（1）解：直线过点A，
，
又，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
抛物线的解析式为：．
（2）解：如图，
设点，
轴，轴，
则，
点P在直线l上方的抛物线上，
，
，，
．
当时，取得最大值，最大值为18．
（3）符合条件的M点有三个：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3） ∵抛物线的解析式为：
N(0，4)
直线：
C(0，-1)
NC=5
设P（x，）设M(x，-x-1)
或
解得x1=0(舍去） x2=4
把三个x值代入M点的纵坐标，求得坐标为
M1（4，-5），
M2（）
M3（）
故答案为： 符合条件的M点有三个：
【分析】 (1)直线l过点A，且A在x轴上，可求A的坐标，D坐标已知，在已知两点坐标情况下，抛物线解析式只有2个未知数，则可用待定系数法求解析式；
(2) 根据题意， 设出点P坐标，根据P、E、F点坐标间的关系，找到PE+PF的关系式，根据自变量x的范围，讨论最值；
(3) 由题意NC为一边且长度可求，则根据平行四边形性质，MP的横坐标相同且MP=NC，由此可求M.
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