广东省深圳市福田区八校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题

广东省深圳市福田区八校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题
1．（2023九上·福田开学考）的值介于（　　）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
2．（2023九上·福田开学考）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九上·福田开学考）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
4．（2023九上·福田开学考）若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．且
5．（2023九上·福田开学考）下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
6．（2023九上·福田开学考）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
7．（2023九上·福田开学考） 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·福田开学考）下列结论①若，则，，②数用科学记数法表示为，③若关于x的方程有增根，则，④不是分数．⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则a的最大值是4，以上结论正确的个（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023九上·福田开学考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（　　）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
10．（2023九上·福田开学考）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
11．（2023九上·福田开学考）计算：　 　．
12．（2023九上·福田开学考）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是　 　．
13．（2023九上·福田开学考）若实数m满足，则　 　．
14．（2023九上·福田开学考）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即， ，以此类推．则　 　．
15．（2023九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝　 　．
16．（2023九上·福田开学考）计算：
（1）；
（2）．
17．（2023九上·福田开学考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
18．（2023九上·福田开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
19．（2023九上·福田开学考）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
20．（2023九上·福田开学考）如图，是矩形的对角线．
（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图 迹，不必写作法和证明）；
（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，求四边形的周长．
21．（2023九上·福田开学考）点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．
（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（-1，0）．
①求直线l的解析式；
②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．
22．（2023九上·福田开学考）
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵252=625，302=900，352=1225，402=1600，452=2025，
∴40<<45.
故答案为：D.
【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.
2．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；如果全面调查意义或价值不大，选用抽样调查，否则选用普查，据此逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-2≠0，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；平行公理及推论；多边形内角与外角；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 根据平行公理“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
B、根据立方根的定义，“ 负数的立方根是负数 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
C、根据菱形的判定定理，“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”可知原说法错误，故此选项符合题意；
D、根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可知“ 五边形的外角和是360° ”这个命题正确，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可判断A选项；根据立方根的定义，如果一个数x的立方
等于a，则这个数x就是a的立方根，故一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，据此可判断B选
项；根据菱形的判定定理， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断C选项；根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点O为、的中点，
∴OB=OB'，OA=OA'，
∵∠A'OB'=∠AOB，
∴△B'OA'≌△BOA（SAS），
∴AB=A'B'，
故答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据对顶角的性质结合三角形全等的判定证明△B'OA'≌△BOA（SAS）即可求解。
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：2020年人均可支配收入为5.76万元，
2021年人均可支配收入为万元，
2022年人均可支配收入为万元，
可列方程，
故答案为：A.
【分析】根据条件所给等量关系列出一元二次方程即可.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的增根；一元一次不等式的特殊解；有理数的乘法法则；无理数的概念；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：①ab>0，说明a、b同号，即a>0，b>0或a < 0，b< 0，故①错误；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14× 10-3，故②错误；
③去分母得：m=1-x，则x=1-m，由于方程有增根，∴x=2，∴m=-1，故③错误；
④是无理数，不是分数，故④正确；
⑤∵x < 2a- 5，恰有2个正整数解，
∴2<2a-5≤3，
∴3.5∴a的最大值为4，故⑤正确；
正确的个数是2个.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘法法则（同号得正，异号得负）、科学记数法、分式方程增根的定义、分数的定义、不等式的正整数解等知识解答即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D（12，a），E（4，0），F（12，0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线AE的解析式为y=x-3a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a，直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得
联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【分析】先求出直线AE和直线OD的解析式，再联立方程组求出和求出，最后作差即可得到答案。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据同底数幂乘法：计算即可.
12．【答案】70°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为∠1=40°，
所以∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°，
因为EG平分∠BEF，
所以∠BEG=∠BEF=70°，
因为AB∥CD，
所以∠2=∠BEG=70°.
故答案为：70°.
【分析】先根据邻补角定义求出∠BEF的度数，再根据角平分线的定义求出∠BEG得度数，进而根据二直线平行，内错角相等可得出∠2的度数.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，
∴1=2025+2(m-2023)·(2024-m)，
∴2(m-2023)·(2024-m)=-2024，
∴(m-2023)·(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】根据完全平方公式可得[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，然后代入计算即可.
14．【答案】42
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】根据坐标图形的规律，
A1（0，0），即a1=0，A9（1，1），即a9=2，A25（2，2），即a25=4，A49（3，3），a49=6，…，
∴，即；
当n= 23时，A2025( 22，22)，即a2025 =44，
∴A2024( 21，22) ，即a2024 =43，
A2023( 20，22) ，即a2023= 42.
故答案为：42.
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可.
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AH于点G，
∵AB=AE，
∴∠AED=∠ABE，
设∠AED=∠ABE=x，则∠BAE=180°-2x，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2x，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=45°+x，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=45°，
∴∠FEH=45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE=∠FEH=45°，
∴EF=FH，
又∵∠EFH=90°，
∴EH=EF，
∵∠FHE=45°，CG⊥FH，
∴∠GCH=∠FHE=45°，
∴GC=GH，
∴CH=CG，
∵∠BAC=∠CGA=90°，
∴∠BAF+∠CAG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠ACG，
在△AFB与△CGA中，
∵∠AFB=∠AGC，∠BAF=∠ACG，AB=AC，
∴△AFB≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∴CH=AF，
在Rt△AEF中，AE2=AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2=2AE2，
∴EH2+CH2=2AB2，
∵AB=6，CH=3，
∴EH=.
故答案为：.
【分析】过点C作CG⊥AH于点G，由等边对等角得∠AED=∠ABE，设∠AED=∠ABE=x，由三角形的内角和定理得∠BAE=180°-2x，由角的和差得∠CAE=90°-2x，再根据三角形得内角和定理及等边对等角得∠ACE=∠AEC=45°+x，由角的和差得∠FEH=45°，则△EFH为等腰直角三角形，得EH=EF，△CGH是等腰直角三角形，得CH=CG，由同角的余角相等得∠BAF=∠ACG，从而用AAS判断出△AFB≌△CGA，得AF=CG，故CH=AF，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程再等量代换可得EH2+CH2=2AB2，从而代入咳算出EH得长.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=2023+1-6+4，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
17．【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”即可列出二元一次方程，进而即可求解；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据“学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元”结合（1）中的结论即可列出不等式，进而根据题意即可求解。
18．【答案】（1）解：如图， △A1B1C1 就是所求的三角形；
（2）解： △A2B2C2 就是所求的三角形；
（3）解：△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴如下：
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据网格结构及轴对称的性质找出点A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、 C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构及旋转的性质找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称的概念作出判断并画出对称轴.
19．【答案】（1）84；100；80%
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=84，b=100，
优秀率为：12÷15×100%=80%，
故答案为：84；100；80%.
【分析】（1）根据题意，结合图表中的数据计算求解即可；
（2）先求出抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个，再求出抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个，最后求解即可。
20．【答案】（1）解：所作线段的垂直平分线如图所示：
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：如图，
由作图可知：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是矩形，，
∴，
由①可设，则，
∵，
∴，即，
解得：，
∴四边形的周长为．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线即可求解；
（2）①四边形是菱形，理由如下：先根据垂直平分线的性质即可得到，进而根据矩形的性质即可得到，再根据平行线的性质结合题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据平行四边形的判定即可得到四边形是平行四边形，再根据垂直平分线的性质得到，进而结合菱形的判定即可求解；
②先根据矩形的性质结合题意即可得到，由①可设，则，再根据勾股定理即可求出x，进而即可求解。
21．【答案】（1）解： ∵点P(x，y)是第一象限内一个动点，过点F分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M、N，
∴PM=x，PN=y，
由题意可知，2（x+y）＝8，
∴y＝4-x（0＜x＜4）；
（2）解：∵直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），
∴a＝4-1＝3
∴A（1，3），
①设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），B（-1，0）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+；
②如图，
∵P（x，y）的横坐标和纵坐标的关系式为y＝4-x，
令y＝4-x中的y=0，可得x=4，
∴E（4，0），
∴S△ABP＝S△ABE-S△PBE＝-（x+1） （4-x）＝或S△ABP＝S△PBE-S△ABE＝（x+1） （4-x）-＝
解得x＝或x＝，
∴P（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意易得PM=x，PN=y，进而根据矩形周长等于两邻边和的2倍建立方程，将方程变形为用含x的式子表示y即可；
（2）将点A（1，a）代入（1）所求的函数解析式可算出a的值，从而得出点A的坐标，①根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
②令y＝4-x中的y=0，可得x=4，则点E（4，0），进而结合三角形面积计算公式，由S△ABP＝S△ABE-S△PBE或S△ABP＝S△PBE-S△ABEj建立方程，求解得出x的值，从而即可求出点P的坐标.
22．【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，
∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形．
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得PN＝BC，PM＝AD，结合AD=BC可得PM＝PN，进而根据等边对等角即可得出结论；
（2）根据三角形中位线定理可得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，结合（1）的结论利用等量代换即可得出∠AEM＝∠F；
（3）△CGD是直角三角形，理由如下：连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由（1）可得∠PNM＝∠PMN，由二直线平行，内错角相等得∠PMN＝∠ANM＝60°，则∠PNM＝∠PMN＝60°，再由二直线平行，同位角相等得∠CGN＝∠PNM＝60°，结合对顶角相等及有两个角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，由等边三角形的三边相等得CN＝GN，结合中点定义可得DN=GN，由等边对等角及三角形外角相等可得∠DGN=30°，则∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，从而可得结论△CGD是直角三角形．
1 / 1广东省深圳市福田区八校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题
1．（2023九上·福田开学考）的值介于（　　）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵252=625，302=900，352=1225，402=1600，452=2025，
∴40<<45.
故答案为：D.
【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.
2．（2023九上·福田开学考）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
3．（2023九上·福田开学考）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；
C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；如果全面调查意义或价值不大，选用抽样调查，否则选用普查，据此逐一判断即可.
4．（2023九上·福田开学考）若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-2≠0，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件结合题意即可求解。
5．（2023九上·福田开学考）下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；平行公理及推论；多边形内角与外角；菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 根据平行公理“ 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
B、根据立方根的定义，“ 负数的立方根是负数 ”这个命题正确，故此选项不符合题意；
C、根据菱形的判定定理，“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ”可知原说法错误，故此选项符合题意；
D、根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可知“ 五边形的外角和是360° ”这个命题正确，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可判断A选项；根据立方根的定义，如果一个数x的立方
等于a，则这个数x就是a的立方根，故一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，据此可判断B选
项；根据菱形的判定定理， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断C选项；根据多边形的外角性质，任何一个凸多边形的外角和都是360°，可判断D选项.
6．（2023九上·福田开学考）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点O为、的中点，
∴OB=OB'，OA=OA'，
∵∠A'OB'=∠AOB，
∴△B'OA'≌△BOA（SAS），
∴AB=A'B'，
故答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据对顶角的性质结合三角形全等的判定证明△B'OA'≌△BOA（SAS）即可求解。
7．（2023九上·福田开学考） 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：2020年人均可支配收入为5.76万元，
2021年人均可支配收入为万元，
2022年人均可支配收入为万元，
可列方程，
故答案为：A.
【分析】根据条件所给等量关系列出一元二次方程即可.
8．（2023九上·福田开学考）下列结论①若，则，，②数用科学记数法表示为，③若关于x的方程有增根，则，④不是分数．⑤若关于x的不等式恰有2个正整数解，则a的最大值是4，以上结论正确的个（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】分式方程的增根；一元一次不等式的特殊解；有理数的乘法法则；无理数的概念；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：①ab>0，说明a、b同号，即a>0，b>0或a < 0，b< 0，故①错误；
②数0.00314用科学记数法表示为3.14× 10-3，故②错误；
③去分母得：m=1-x，则x=1-m，由于方程有增根，∴x=2，∴m=-1，故③错误；
④是无理数，不是分数，故④正确；
⑤∵x < 2a- 5，恰有2个正整数解，
∴2<2a-5≤3，
∴3.5∴a的最大值为4，故⑤正确；
正确的个数是2个.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘法法则（同号得正，异号得负）、科学记数法、分式方程增根的定义、分数的定义、不等式的正整数解等知识解答即可.
9．（2023九上·福田开学考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（　　）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D（12，a），E（4，0），F（12，0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得
∴直线AE的解析式为y=x-3a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a，直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得
联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【分析】先求出直线AE和直线OD的解析式，再联立方程组求出和求出，最后作差即可得到答案。
10．（2023九上·福田开学考）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
11．（2023九上·福田开学考）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】根据同底数幂乘法：计算即可.
12．（2023九上·福田开学考）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是　 　．
【答案】70°
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：因为∠1=40°，
所以∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°，
因为EG平分∠BEF，
所以∠BEG=∠BEF=70°，
因为AB∥CD，
所以∠2=∠BEG=70°.
故答案为：70°.
【分析】先根据邻补角定义求出∠BEF的度数，再根据角平分线的定义求出∠BEG得度数，进而根据二直线平行，内错角相等可得出∠2的度数.
13．（2023九上·福田开学考）若实数m满足，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，
∴1=2025+2(m-2023)·(2024-m)，
∴2(m-2023)·(2024-m)=-2024，
∴(m-2023)·(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】根据完全平方公式可得[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，然后代入计算即可.
14．（2023九上·福田开学考）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，，其中，2，3，，，，且，是整数．记，如，即，，即，，即， ，以此类推．则　 　．
【答案】42
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】根据坐标图形的规律，
A1（0，0），即a1=0，A9（1，1），即a9=2，A25（2，2），即a25=4，A49（3，3），a49=6，…，
∴，即；
当n= 23时，A2025( 22，22)，即a2025 =44，
∴A2024( 21，22) ，即a2024 =43，
A2023( 20，22) ，即a2023= 42.
故答案为：42.
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可.
15．（2023九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AH于点G，
∵AB=AE，
∴∠AED=∠ABE，
设∠AED=∠ABE=x，则∠BAE=180°-2x，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2x，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=45°+x，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=45°，
∴∠FEH=45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE=∠FEH=45°，
∴EF=FH，
又∵∠EFH=90°，
∴EH=EF，
∵∠FHE=45°，CG⊥FH，
∴∠GCH=∠FHE=45°，
∴GC=GH，
∴CH=CG，
∵∠BAC=∠CGA=90°，
∴∠BAF+∠CAG=90°，∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠BAF=∠ACG，
在△AFB与△CGA中，
∵∠AFB=∠AGC，∠BAF=∠ACG，AB=AC，
∴△AFB≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∴CH=AF，
在Rt△AEF中，AE2=AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2=2AE2，
∴EH2+CH2=2AB2，
∵AB=6，CH=3，
∴EH=.
故答案为：.
【分析】过点C作CG⊥AH于点G，由等边对等角得∠AED=∠ABE，设∠AED=∠ABE=x，由三角形的内角和定理得∠BAE=180°-2x，由角的和差得∠CAE=90°-2x，再根据三角形得内角和定理及等边对等角得∠ACE=∠AEC=45°+x，由角的和差得∠FEH=45°，则△EFH为等腰直角三角形，得EH=EF，△CGH是等腰直角三角形，得CH=CG，由同角的余角相等得∠BAF=∠ACG，从而用AAS判断出△AFB≌△CGA，得AF=CG，故CH=AF，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程再等量代换可得EH2+CH2=2AB2，从而代入咳算出EH得长.
16．（2023九上·福田开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=2023+1-6+4，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
17．（2023九上·福田开学考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”即可列出二元一次方程，进而即可求解；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据“学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元”结合（1）中的结论即可列出不等式，进而根据题意即可求解。
18．（2023九上·福田开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
【答案】（1）解：如图， △A1B1C1 就是所求的三角形；
（2）解： △A2B2C2 就是所求的三角形；
（3）解：△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴如下：
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据网格结构及轴对称的性质找出点A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、 C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构及旋转的性质找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称的概念作出判断并画出对称轴.
19．（2023九上·福田开学考）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
【答案】（1）84；100；80%
（2）解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=84，b=100，
优秀率为：12÷15×100%=80%，
故答案为：84；100；80%.
【分析】（1）根据题意，结合图表中的数据计算求解即可；
（2）先求出抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个，再求出抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个，最后求解即可。
20．（2023九上·福田开学考）如图，是矩形的对角线．
（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图 迹，不必写作法和证明）；
（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）解：所作线段的垂直平分线如图所示：
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：如图，
由作图可知：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是矩形，，
∴，
由①可设，则，
∵，
∴，即，
解得：，
∴四边形的周长为．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线即可求解；
（2）①四边形是菱形，理由如下：先根据垂直平分线的性质即可得到，进而根据矩形的性质即可得到，再根据平行线的性质结合题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据平行四边形的判定即可得到四边形是平行四边形，再根据垂直平分线的性质得到，进而结合菱形的判定即可求解；
②先根据矩形的性质结合题意即可得到，由①可设，则，再根据勾股定理即可求出x，进而即可求解。
21．（2023九上·福田开学考）点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．
（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（-1，0）．
①求直线l的解析式；
②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．
【答案】（1）解： ∵点P(x，y)是第一象限内一个动点，过点F分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M、N，
∴PM=x，PN=y，
由题意可知，2（x+y）＝8，
∴y＝4-x（0＜x＜4）；
（2）解：∵直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），
∴a＝4-1＝3
∴A（1，3），
①设直线l的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），B（-1，0）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+；
②如图，
∵P（x，y）的横坐标和纵坐标的关系式为y＝4-x，
令y＝4-x中的y=0，可得x=4，
∴E（4，0），
∴S△ABP＝S△ABE-S△PBE＝-（x+1） （4-x）＝或S△ABP＝S△PBE-S△ABE＝（x+1） （4-x）-＝
解得x＝或x＝，
∴P（，）或（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意易得PM=x，PN=y，进而根据矩形周长等于两邻边和的2倍建立方程，将方程变形为用含x的式子表示y即可；
（2）将点A（1，a）代入（1）所求的函数解析式可算出a的值，从而得出点A的坐标，①根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
②令y＝4-x中的y=0，可得x=4，则点E（4，0），进而结合三角形面积计算公式，由S△ABP＝S△ABE-S△PBE或S△ABP＝S△PBE-S△ABEj建立方程，求解得出x的值，从而即可求出点P的坐标.
22．（2023九上·福田开学考）
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，
∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形．
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得PN＝BC，PM＝AD，结合AD=BC可得PM＝PN，进而根据等边对等角即可得出结论；
（2）根据三角形中位线定理可得PN∥BC，PM∥AD，由二直线平行，同位角相等得∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，结合（1）的结论利用等量代换即可得出∠AEM＝∠F；
（3）△CGD是直角三角形，理由如下：连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由（1）可得∠PNM＝∠PMN，由二直线平行，内错角相等得∠PMN＝∠ANM＝60°，则∠PNM＝∠PMN＝60°，再由二直线平行，同位角相等得∠CGN＝∠PNM＝60°，结合对顶角相等及有两个角为60°的三角形是等边三角形得△CGN是等边三角形，由等边三角形的三边相等得CN＝GN，结合中点定义可得DN=GN，由等边对等角及三角形外角相等可得∠DGN=30°，则∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，从而可得结论△CGD是直角三角形．
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