3.1.1函数的概念 课件（共30张ppt）

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3.1.1函数的概念
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问题1：请同学们列举出一些常见函数
一次函数：
反比例函数：
二次函数：
问题2：同学们是否还记得初中函数是怎样定义的呢？
如果有两个变量与,并且对于的每个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，我们就说为自变量,是的函数。
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思考：正方形的周长与边长有着什么样的对应关系？
追问2：你能用已知的函数知识判断与是否相同吗？
追问1：根据初中的函数定义，可以怎么解释正方形的周长与边长的对应关系？
对于每一个确定的都有唯一的与之对应，所以是的函数
要解决以上这些问题，我们就需要进一步学习函数的概念。在高中，我们要用更加精确的集合语言来定义函数.
新知探究
实例1：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时．
这段时间内，列车行进的路程(单位：)与运行时间(单位：)的关系
可以表示为.
追问1：这是一个函数吗？为什么？
是，这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有确定的路程的值与之对应。
追问2：能否依据，计算出列车运行时前进的距离？
不能，时间有取值范围。
新知探究
追问3： 和的取值集合是怎么样的？
的变化范围是数集
的变化范围是数集
追问4：已知，对于任一时刻，都有唯一确定的路程和它对应。我们如何用更加精确的集合语言来刻画这句话呢？
对于数集中的任一时刻，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应。
S=350t
自变量的集合
函数值的集合
对应关系
新知探究
实例2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，且每周付一次工资。
追问1：该怎样确定一个工人每周的工资？
工资是一周工作天数的函数，其对应关系是
追问2：一个工人的工资(单位：元)是他工作天数d的函数吗？
对于任一个工作天数，都有唯一确定的工资和它对应，所以是的函数。
新知探究
追问2：你能仿造问题1中与对应关系的精确表示，给出这个问题中和对应关系的精确表示吗？
的变化范围是数集
的变化范围是数集
A2={1,2,3,4,5,6}
B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
自变量的集合
函数值的集合
对应关系
追问3：问题1中的与问题2中的是否为同一函数？如果不是，请说明理由。
不是，自变量范围不同
新知探究
实例3：下图是北京市2016年11月23日的空间质量指数()变化图.你认为这里的是的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述和的对应关系吗？
的变化范围是数集，在数集中。对于数集中的任一时刻，在数集中都有唯一确定与之对应。因此，这里的是的函数.
新知探究
实例4：国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况.
你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
新知探究
: ；
:对于数集中的任意一个年份，根据表所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.所以，是的函数.
追问1：如果我们引入}，你认为有道理吗？
新知探究
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合
问题1
问题2
问题3 图像
问题4 表格 }
新知探究
思考：你能由表格分析上述问题1问题4中的函数有哪些共同特征？并由此概括出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
(1) 都包含两个非空数集，用，来表示；
(2) 都有一个对应关系；
(3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：
对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应.
新知探究
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系.
函数的概念:设，是非空的实数集，如果对于集合内的任意一个数，按照某种确定的关系，在集合中有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合上的一个函数，记作
x：自变量
x的取值范围A:
函数的定义域
与x的值相对应的y值: 函数值
新知探究
的取值范围—函数值的集合：函数的值域
问题情境 函数值所在集合 函数值的集合（值域）
问题1
问题2
问题3
问题4 }
值域是集合的子集
新知探究
我们把函数的定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.
思考：请同学们思考我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域.
定义域
值域
思考： 与是否为同一函数？
新知探究
思考：根据函数的定义，一个函数的构成要素是什么？
定义域、对应关系、值域
判断两个函数是否为同一个函数：
只需判断定义域与对应关系是否一致.
值域是由定义域和对应关系所决定的.
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例1：试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是
对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
如果对的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么
其中，的取值范围是，的取值范围是.对应关系把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积.
新知探究
设 , 是两个实数，且，我们规定
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a{x|a≤x[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
半开半闭区间
半开半闭区间
开区间
闭区间
新知探究
“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，实数集
可以用区间表示为
定义 符号 数轴表示
{x|a≤x}
{x|a{x|x≤a}
{x|x[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
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例2：已知函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求，的值；
解：(1)使根式有意义的实数的集合是，
使分式有意义的实数的集合是.
所以，这个函数的定义域是
即
(2)将与带入解析式，有；
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例3：下列函数中哪个与函数是同一个函数？
(1)；(2)；
解：(1)，它与函数虽然对应关系相同，
但是定义域不同，所以这个函数与函数不是同一个函数.
(2) ，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数是同一个函数.
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例3：下列函数中哪个与函数是同一个函数？
(3)；(4).
解： (3)：
它与函数的定义域都是实数集，
但是当时，它的对应关系与函数不相同.
所以这个函数与函数不是同一个函数.
(4)，它与函数的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数不是同一个函数.
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练习1：下列图像具有函数关系的是___________
【答案】
变式1：下列可作为函数的图象的（ ）
、
【答案】
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练习2：(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　)
.
【答案】
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练习3：(2023烟台调考改编)函数的定义域为(　　)
.
解：由已知可得即
因此函数的定义域为.故选.
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变式3-1：
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变式3-2：若函数的定义域为，则函数的定义域为________.
解：∵的定义域为，
∴，
即，
∴函数的定义域为.
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练习4： (1)已知，,则
, ,
(2)已知，则
【答案】 (1) ;
；；
(2)令则
代入原式有，
所以.
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变式4-1：已知是一次函数，且，则的解析式为_____________.
解：∵是一次函数，∴设
则
∵∴
解得，，∴.
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