3.1函数的概念及其表示
一．选择题（共4小题）
1．定义：若函数在区间，上的值域为，，则称区间，是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则
A．，是的一个“完美区间”
B．，是的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
2．设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意、，存在使得，则满足条件的集合的个数为
A．3 B．5 C．7 D．无穷个
3．设函数，，，，为实数，则
A．若的值域为，，则
B．若的值域为，，则
C．若，则的值域可能为，
D．若，则的值域可能为，
4．对于函数，若存在区间，，当，时的值域为，，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是
A． B． C．， D．，
二．填空题（共4小题）
5．一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．
（1）若，为的跟随区间，则 ．
（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是 ．
6．已知函数，，对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是 ．
7．设，表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称取整函数．定义，给出下列说法：①，②的值域是，0，，③是奇函数，④
正确的序号是
8．已知函数的定义域为，，值域为，，则的值为 ．
三．解答题（共2小题）
9．已知函数．
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．
10．如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘弧上选择一点作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中，，为常数，设，总造价为万元．
（1）把表示成的函数，并求出定义域；
（2）当时，如何确定点的位置才能使得总造价最低？
3.1函数的概念及其表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．定义：若函数在区间，上的值域为，，则称区间，是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则
A．，是的一个“完美区间”
B．，是的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【分析】根据题意，因为恒成立，所以函数的值域为：，；设区间，是函数的“完美区间“，则当，时，，，所以；则；根据定义，即可判断，；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断， 即可．
【解答】解：因为恒成立，所以函数的值域为：，；
设区间，是函数的“完美区间“，则当，时，，，所以；则；
函数在区间，上时，故值域为，；故，不是的一个“完美区间”，故不正确；
，而函数的最小值为0，区间，不可能是的一个“完美区间”，故 错误
①当时，，，，此时，则函数在，上单调递减；所以函数在区间，上单调递减；
因为函数在区间，上的值域为，，
所以，所以，则，
所以，即，所以，整理得（舍去）；或，
整理得，因为，所以解得（舍去）或；则，
此时，满足原方程组，所以，是方程组的唯一解；
故此情况下存在，使得区间，是函数的“完美区间”，此区间，的“复区间长度”为；
②当时，
（1）若，则，，此时（1），若函数在区间，上的值域为，，则，（b）；
因为，所以（b），即，解得（舍去）或；
故此情况下存在，，使得区间，是函数的“完美区间”，此区间，的“复区间长度”为；
（2）当时，，，；此函数在，上单调递增，
若函数在区间，上的值域为，，则，
所以此时与是方程的两个不等实根，
解得，，所以，因为，
所以此情况不满足题意．
综上所述，函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为；故 正确；错误；
故选：．
【点评】本题主要考查函数的概念与性质和函数综合，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．
2．设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意、，存在使得，则满足条件的集合的个数为
A．3 B．5 C．7 D．无穷个
【分析】讨论，是否相等，利用求解．
【解答】解：任意、，存在使得，且集合为有限集，
从集合中取两个不同的数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三个数也在集合中．
（1）时：
①集合中只有一个元素，则，，
②集合中有多个元素，则，
（2）时，，，，1，，
综上所述满足条件的集合有5个．
故选：．
【点评】本题考查了函数值域，分类讨论的思想，由抽象到具体，有难度．
3．设函数，，，，为实数，则
A．若的值域为，，则
B．若的值域为，，则
C．若，则的值域可能为，
D．若，则的值域可能为，
【分析】根据已知条件，分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质以及复合函数的单调性，确定值域的大致范围，结合选项判断．
【解答】解：，
①若，则，
当时，，；
当，，时，由二次函数的单调性，可得，；
，．
又时，是开口向上的抛物线，有最小值，
当时，即可满足的值域为，，
因此错误，正确；
②若，则，易知，，
不能满足的值域为，，故错误；
③由②知，时，不能满足的值域为，；
若，则是开口向下的抛物线，有最大值，无最小值，
令，则存在，使得，，又函数在时，单调递减，
，由对称关系，在时单调递增，且（1）；
当时，单调递减，且，
，，，
因此，的值域只能是，的子集，
故时，的值域不可能为，，故错误．
故选：．
【点评】本题考查复合函数值域的求法，考查分段函数的性质，考查二次函数的性质与复合函数单调性的判定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
4．对于函数，若存在区间，，当，时的值域为，，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是
A． B． C．， D．，
【分析】可看出在定义域内单调递增，从而可得出，，即得出，是方程的两个不同根，从而得出，可设，通过求导，根据导数符号可得出的极小值为（1），并判断出在上单调递减，在上单调递增，并得出趋向0时，趋向正无穷，趋向正无穷时，趋向正无穷，这样即可得出时，方程有两个不同根，即得出的取值范围．
【解答】解：在定义域内单调递增，
（a），（b），即，，即，为方程的两个不同根，
，
设，，
时，；时，，
是的极小值点，的极小值为：（1），
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
二．填空题（共4小题）
5．一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．
（1）若，为的跟随区间，则 2 ．
（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是 ．
【分析】（1）结合图象和跟随区间定义可解此问题；
（2）根据跟随区间定义与函数是在，上是减函数可解此问题．
【解答】解：（1），为的跟随区间，函数值域为，．二次函数的对称轴方程为：，
函数在，上单调递增．，解得：，故的值为2；
（2）设跟随区间为：，．函数的定义域为：，，．
函数是定义域上的减函数且定义域、值域都是，，
，，
，又，
，，代入得：，
同理：，可令，方程在范围内有两个不等实根，
函数与函数有两个交点，又函数的值域，，
由二者图象可知：，．
故答案为：，，
【点评】本题考查函数的性质及应用、数形结合思想，考查数学运算能力，属于难题．
6．已知函数，，对于任意的，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是 ．
【分析】先求出函数的值域，设函数的值域为，讨论的取值，求出的值域，
根据题意，有，由数集的概念，求出的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
当，时，，
的值域是，；
（2）又当，时，
①若，则在，上是增函数，最小值，最大值（2）；
的值域是，，
，，，
即，解得，此时无解；
②若，则在，上是减函数，最小值（2），最大值；
的值域是，，
，，，
即，解得，此时无解；
③若，则在，上是先减后增的函数，
最小值是，最大值是，（2），；
当时，的值域是，，
，，，
即，
解得，或（不符合条件，舍去）；
则取；
当时，的值域是，，
，，，
即；
解得，或，不符合条件，舍去；
综上知，实数的取值范围是：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查了运算求解的能力以及化归与转化思想，是难题．
7．设，表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称取整函数．定义，给出下列说法：①，②的值域是，0，，③是奇函数，④
正确的序号是 ①②
【分析】根据高斯函数的定义，分别进行判断即可．
【解答】解：在①中，若是整数，则，此时不等式成立，
若不是整数，则根据定义可知，且，
此时不等式，成立，故①正确．
在②中，，；
，，；
；
；
的可能取值为；，0，1，
的值域为，0，，故②正确；
在③中，，比如，
；
．
不是奇函数．故③错误．
在④中，错误，比如，，
；
；
，故④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题主要考查高斯函数的定义及应用，正确理解题意是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
8．已知函数的定义域为，，值域为，，则的值为 ．
【分析】由函数的值域为，可得，此时函数，结合函数的定义域是，，值域是，及二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．
【解答】解：，
故，即，
此时函数，
若函数的定义域是，，值域是，，则
①当时，
（a），（b），
即，，
两式相减得：，
即，
，，而，，
不存在满足条件的实数，；
②当时，
函数最小值即为顶点纵坐标，
，，
若，则（a），，（舍去）；
若，则（b），，解得（舍去）或；
③当时，
（b）且（a），
即，，
则，必然有一根小于1，矛盾，
不存在满足条件的实数，，
综上所述，，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度较大，属于难题．
三．解答题（共2小题）
9．已知函数．
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围．
【分析】（1）把代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；
（2），设，得，，求得等式右边关于的函数的值域可得的取值范围；
（3）分与两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的范围．
【解答】解：（1）当时，，
由，得，解得或．
函数的定义域为，，；
（2），
，
设，有两个不同实数根，整理得，，
，，当且仅当时，方程有2个不同实数根，
又，的取值范围是；
（3）当时，，在，上单调递减，
此时需要满足，即，函数在，上递减；
当时，，在，上递减，
，，即当时，函数在上递减．
综上，当，时，函数在定义域上连续，且单调递减．
【点评】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
10．如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘弧上选择一点作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中，，为常数，设，总造价为万元．
（1）把表示成的函数，并求出定义域；
（2）当时，如何确定点的位置才能使得总造价最低？
【分析】（1）由题意可得，，可得，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：；
（2）由（1）可得，可化为，由基本不等式可得，由取等号的条件可得答案．
【解答】解：（1）与圆相切于，，在中，，（2分）
同理，可得（4分）
，
，（6分）
可得函数的定义域为：（8分）
（2）由（1）可得
，，
，
当且仅当，即时取等号，
又，所以，
故当取，即点在东偏南的方向上，总造价最低．（16分）
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，涉及基本不等式的应用，属中档题
第1页（共1页）3.2函数的基本性质
一．选择题（共5小题）
1．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为
A． B．2 C． D．4
2．已知函数，若对任意，存在，使得，则的最大值为
A． B． C． D．
3．已知函数在区间，上的最大值是，最小值是，则
A．与无关，且与无关 B．与无关，且与有关
C．与有关，但与无关 D．与有关，且与有关
4．下列四个函数，对任意两个不相等的实数，．都有的是
A． B．
C． D．
5．已知函数满足，则的最大值是
A．4 B． C．2 D．
二．填空题（共3小题）
6．已知，，且，则的最小值是 ．
7．已知二次函数在，上有零点，且，则，，的最大值是 ；，，的最小值是 ．
8．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 ．
三．解答题（共3小题）
9．已知函数与函数函数的图象关于直线对称，函数的定义域为．
（1）求的值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
10．设函数，，，，．
（Ⅰ）讨论函数在上的奇偶性；
（Ⅱ）设，若的最大值为，求的取值范围．
11．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）令，若对都有，求实数的取值范围．
3.2函数的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为
A． B．2 C． D．4
【分析】由题意可设，，，，且，，在单位圆上，所求最大值可看做是，到直线的距离的和的最大值．运用数形结合可得所求最大值．
【解答】解：由，，，
可设，，，，且，
可得，在单位圆上，
．
所求最大值可看做是，到直线的距离的和的最大值，
且可得，在直线的下方，
取的中点，过，，点分别作直线的垂线，垂足分别为，，，
为梯形 的中位线，，
，，到直线的距离为，
，，
的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查代数式的最值求法，运用等式的几何意义，结合直线和圆的知识，运用三角换元和诱导公式、三角函数的值域是迅速解题的关键，属于难题．
2．已知函数，若对任意，存在，使得，则的最大值为
A． B． C． D．
【分析】求得的导数，由题意可得的值域是的值域的子集．由可得的值域，构造，求导可得函数的单调性，可得的最大值，解不等式可得所求的最大值．
【解答】解：由，得，
对任意，存在，使得，
当时，等式成立；
当时，则，
转化为的值域是的值域的子集．
的值域为，，可得的值域也为，，
由，
设，，
由，可得在，，上递增，在，递减，
则，
从而，
由，解得，
故的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题．
3．已知函数在区间，上的最大值是，最小值是，则
A．与无关，且与无关 B．与无关，且与有关
C．与有关，但与无关 D．与有关，且与有关
【分析】，利用二次函数的性质及函数图象的变换性质即可得解．
【解答】解：，
令，则，其对称轴为，
显然最值与有关，且与有关，
又相当于向上或向下移动个单位，则最大值与最小值的差值不会随的变化而变化，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，考查函数图象变换法则的运用，考查运算求解能力及逻辑分析能力，属于中档题．
4．下列四个函数，对任意两个不相等的实数，．都有的是
A． B．
C． D．
【分析】由题意确定，函数上任意取一点，使得函数图象上其它两点关于该点对称，然后依次判断四个选项中的函数是否满足该条件，即可得到答案
【解答】解：由题意，对任意两个不相等的实数，，都有，
则函数上任意取一点，函数图象上有其它两点关于该点对称．
对于，函数，当，时，不满足，故选项错误；
对于，函数为偶函数，
所以函数上不存在一点，使得函数图象上其它两点关于该点对称，
故选项错误；
对于，，其图象是一条直线，
所以函数上任意一点，函数图象上有其它两点关于该点对称，
故选项正确；
对于，，其图象是单调递增的一条曲线，
所以函数上不存在一点，使得函数图象上其它两点关于该点对称，
故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
5．已知函数满足，则的最大值是
A．4 B． C．2 D．
【分析】先将已知的等式变形为，令，则有，从而得到，则有（1），，再利用（1），结合不等式求解最值即可．
【解答】解：，
，
令，则有，
故①，
②，
②①可得，，故（1），．
（1），
即，
由，
即，
故，当且仅当时取等号，
的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查了函数最值的求解，解题的关键是将已知的等式进行变形，将转化为（1），将转化为，涉及了基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
二．填空题（共3小题）
6．已知，，且，则的最小值是 ．
【分析】直接利用柯西不等式及不等式的可加性求解．
【解答】解：，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
又，
，当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化、数形结合的解题思想，属难题．
7．已知二次函数在，上有零点，且，则，，的最大值是 ；，，的最小值是 ．
【分析】设，，，，然后分，，，，，讨论，再验证得解，，的最大值；显然，分，，及，，塔伦，再验证得解，，的最小值．
【解答】解：设，，，，
若，，，则，矛盾；
若，，，则，则，于是，解得，
此时取，此时函数的零点为，满足条件，故，，的最大值是；
依题意，，
①若，，同理可得），则，于是，，
又，则，，于是，故，，的最小值为；
②若，，，假设，则，于是，而，
所以，于是（不妨设，
所以，而矛盾，故，此时，零点为，满足条件．
故答案为：，．
【点评】本题考查二次函数的零点问题，考查分类讨论思想及转化思想，属于难题．
8．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 ．
【分析】记，、，，由题意，知、位于单位圆上，再由已知求出的大小，把看作到直线的距离与到该直线距离的2倍，然后构造直角梯形求解．
【解答】解：记，、，，由题意，知、位于单位圆上，
由，得，
得
则、分别表示、到
直线的距离、，
于是，，
分别取、靠近、的三等分点为、，联结，
过点作的垂线，交、于、，
则，
在中，应用余弦定理，可得，
，又到直线的距离，
，
从而，．
即的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查由向量求夹角、点到直线距离的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，难度较大．
三．解答题（共3小题）
9．已知函数与函数函数的图象关于直线对称，函数的定义域为．
（1）求的值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
【分析】（1）由已知求得的解析式，可得，再由对数函数的真数大于0求得函数定义域，即可求得函数的值域；
（2）由得，求出函数的最小值，即可求得的取值范围；
（3）设的对称中心为，则函数是奇函数，再由恒成立列式求得与的值，则答案可求．
【解答】解：（1）函数与函数的图象关于直线对称，
与互为反函数，得，
则．
由，得，故．
又，且，，
的值域为，；
（2），即，则．
存在，使得成立，
．
而，
当，即时，取得最小值．
故；
（3）设的对称中心为，
则函数是奇函数，
即是奇函数，
则恒成立，
恒成立，
当，时，上式对任意实数恒成立，
函数图象的对称中心为．
【点评】本题考查反函数的概念及应用，考查复合函数值域的求法，训练了利用分离参数法求字母的范围，考查函数奇偶性的性质及应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力及推理论证能力，属难题．
10．设函数，，，，．
（Ⅰ）讨论函数在上的奇偶性；
（Ⅱ）设，若的最大值为，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当时，可知函数在上为奇函数，当时，举反例说明函数为非奇非偶函数；
（Ⅱ）令，对分类分析的单调性，结合的最大值为求解的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，函数为奇函数．
当时，函数，
，（1），
既不是奇函数也不是偶函数；
（Ⅱ）设．
①当时，，在，递减，
，（2），（2），
（2），，解得．
．
②当时，，在递增，在递减，
又，（2），，
（2），（2），
所以（2），又，
，，
又，，同时，，
由在递增，．
综上，当时，；当时，．
【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查函数的单调性与最值的求法，考查分类讨论思想及运算求解能力，属难题．
11．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）令，若对都有，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由，（1），可得，的方程，解方程可得所求；
（Ⅱ）结合二次方程实根的分布，可得所求范围；
（Ⅲ）求得的解析式，令，，结合对勾函数的单调性和二次函数的单调性，求得的最值，可得的不等式，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ），又是奇函数，
（1），，解得，
，定义域为．
（Ⅱ）方程在上有两个不同的根，
即在上有两个不相等的实数根，
须满足，解得，
即实数的取值范围是．
（Ⅲ）由题意知，
令，则，
由对勾函数的性质可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，
，，
函数的对称轴方程为，函数在，上单调递增，
当时，；当时，，
即，，
又对都有，
，
即，
解得，又，
的取值范围是，．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，以及函数零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题
第1页（共1页）3.3幂函数
一．选择题（共4小题）
1．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记，的值域分别为集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．， C．， D．，
2．已知直线与轴，轴交点分别为．，幂函数的图象经过点，若点在的图象上，则使得的面积等于3的点的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
3．若，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
4．已知幂函数是偶函数，则实数的值为
A．0 B．或1 C．1 D．0或1
二．填空题（共4小题）
5．有下列五种说法：
①幂函数的图象一定不过第四象限；
②奇函数图象一定过坐标原点；
③已知函数的定义域为，，则函数的定义域为，；
④定义在上的函数对任意两个不等实数、，总有成立，则在上是增函数；⑤的单调减区间是，，；
正确的说法有 ．
6．如果幂函数的图象经过点，则（3） ．设，若函数在上有零点，则实数的取值范围是 ．
7．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记和的值域分别为和，若，则实数的取值范围是 ．
8．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是 ．
三．解答题（共3小题）
9．已知幂函数，满足（2）（4）．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
10．已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使得函数在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
11．已知幂函数在上单调递增．
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使函数在，上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3.3幂函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记，的值域分别为集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．， C．， D．，
【分析】根据幂函数的定义和性质先求出，结合集合的关系进行求解．
【解答】解：是幂函数，
，
解得或，
若，则，在上单调递减，不满足条件．
若，则，在上单调递增，满足条件．
即，
当，时，，，即，，
当，时，，，即，，
，，
则，即，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，综合性较强．
2．已知直线与轴，轴交点分别为．，幂函数的图象经过点，若点在的图象上，则使得的面积等于3的点的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】分别求出、的坐标，设出点的坐标，各个关于的方程，得到解的个数，从而求出满足条件的点的个数即可．
【解答】解：由题意，，
设幂函数的解析式是，
将代入表达式得：，
故，
设，则到的距离，
，
故，
故或，
由△和△，
故可求出四个解，
故点的坐标有4个，
故选：．
【点评】本题考查了点的直线的距离，考查幂函数的定义以及根的判别式，是一道中档题．
3．若，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知、、的大小关系．
【解答】解：在第一象限内是增函数，
，
是减函数，
，
所以．
故选：．
【点评】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性．
4．已知幂函数是偶函数，则实数的值为
A．0 B．或1 C．1 D．0或1
【分析】根据幂函数的定义先求，然后利用幂函数是偶函数进行验证即可．
【解答】解：函数是幂函数，根据幂函数的定义可知，
即，，解得或或．
，或，
当时，幂函数为为奇函数，不满足条件．
当时，幂函数为为偶函数，满足条件．
故．
故选：．
【点评】本题主要考查幂函数的定义以及幂函数的性质，要求熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质．
二．填空题（共4小题）
5．有下列五种说法：
①幂函数的图象一定不过第四象限；
②奇函数图象一定过坐标原点；
③已知函数的定义域为，，则函数的定义域为，；
④定义在上的函数对任意两个不等实数、，总有成立，则在上是增函数；⑤的单调减区间是，，；
正确的说法有 ①④ ．
【分析】根据幂函数的图象与性质，判断①正确；
奇函数的图象不一定过坐标原点，判断②错误；
③根据函数的定义域求得函数的定义域，
根据单调性的定义判断在上是增函数，得出④正确；
⑤和是的两个单调减区间，不用并集表示．
【解答】解：对于①，根据幂函数的图象与性质知，幂函数的图象不过第四象限，①正确；
对于②，奇函数的图象不一定过坐标原点，如的图象，②错误；
对于③，函数的定义域为，，
，，，；
令，，，，
函数的定义域为，，③错误；
对于④，根据题意知，时，（a）（b），时，（a）（b），
由单调性的定义知，在上是增函数，④正确；
对于⑤，和是的两个单调减区间，
不能用并集表示，⑤错误；
综上，正确的说法是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．
6．如果幂函数的图象经过点，则（3） 27 ．设，若函数在上有零点，则实数的取值范围是 ．
【分析】设幂函数，把点代入函数的解析式，求得的值，即可得到函数的解析式，从而求出（3）的值，求出的导数，得到函数的单调性，根据零点定理得到（2）且（3），解出即可．
【解答】解：设幂函数，
把点代入函数的解析式可得，
解得，故函数的解析式为，
故（3），
，
，
故在递增，
若函数在上有零点，
只需，
解得：，
故答案为：27，．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的零点问题以及导数的应用，是一道中档题．
7．已知幂函数在上单调递增，函数，当，时，记和的值域分别为和，若，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】根据幂函数的定义和性质先求出，结合集合的关系进行求解即可．
【解答】解：是幂函数，
，
解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即；
当，时，，，即，，
当，时，，，即，，
，，
则，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，是综合性题目．
8．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是 ．
【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可．
【解答】解：幂函数在上是减函数，
，解得，
，
或2．
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即，
为增函数，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据幂函数的性质求出幂函数的表达式是解决本题的关键．
三．解答题（共3小题）
9．已知幂函数，满足（2）（4）．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据幂函数是幂函数，可得，求解，可得解析式；
（2）由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在，上的值域为，，转化为方程有解问题，求解的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数，满足（2）（4），
可得，且，
求得，故．
（2）函数，
假设存在实数，，使函数在，上的值域为，，
由于在其定义域内单调递减，则①，②，
两式相减，可得：．
③．
将③代入②得，
令，，，
得：，
故得实数的取值范围，．
【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．
10．已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使得函数在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得，又，即可得到的值和的解析式；
（2）求出的解析式，讨论的符号，结合二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得的值．
【解答】解：（1）幂函数在上单调递增，
可得，解得，
又，可得或1，
即有，幂函数；
（2）由（1）可知：，
当时，在，递减，
可得取得最大值，且为1，不成立；
当时，图象开口向上，最大值在或（1）处取得，
而，则（1），即为，不成立；
当，即，．
①当，时，解得，
则在，上单调递减，因此在处取得最大值，
而不符合要求，应舍去；
②当，时，解得不存在；
③当，时，解得，
则在处取得最大值，
且为，
解答成立；
综上可知：满足条件的存在且．
【点评】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数的最值的求法，熟练掌握幂函数和二次函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．
11．已知幂函数在上单调递增．
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使函数在，上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据幂函数的定义以及函数的单调性求出的值，求出函数的解析式即可；
（2）由（1）知函数解析式为，将其代入函数知其也为一二次函数，下研究在区间，上的最值，结合值域为，建立关于参数的方程求参数即可．若能求出，则说明存在，否则，不存在．
【解答】解：（1）是幂函数，
，解得：或，
而在递增，故，
故；
（2）由（1），
，
①当，，即，时，，
，，（2）；
②当时，解得，
，这样的不存在．
③当，即时，
，（2），解之得，这样的不存在．
综①②③得，．
即当时，结论成立．
【点评】本题考点是二次函数的性质，考查利用二次函数的性质判断出函数的最值，利用最值建立方程求参数，本题是一存在性问题，考查思维的严密性综合性较强，分类时要做到不重不漏，严谨做题
第1页（共1页）3.4函数的应用（一）
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为
A．2 B．3 C．4 D．无数
2．若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”．若函数（其中为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数的取值范围为
A． B． C． D．
3．已知函数，若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共4小题）
4．已知．
（1） ；
（2）若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是 ．
5．已知函数，若对于任意的实数，，，，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是 ．
6．在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．请问：
若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，则实数的取值范围是 ．
7．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为 ．
三．解答题（共4小题）
8．对于定义域分别是，的函数，，规定：函数
．
（Ⅰ）若函数，，，写出函数的解析式并求函数值域；
（Ⅱ）若，其中是常数，且，，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．
9．设函数，其中为常数且．新定义：若满足，但，则称为的次不动点．
（1）当时，分别求和的值；
（2）求函数在，上的次不动点．
10．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
11．已知函数，且的解集为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，是正实数，且，证明：．
3.4函数的应用（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为
A．2 B．3 C．4 D．无数
【分析】作出的函数图象，由不等式表示的几何意义，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出的函数图象如图所示：
表示点，与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点，为整数）和点所在直线的斜率大于0，
而点在到直线上运动，
由，（1），（2），
可得当时，只有点满足；
当时，只有点满足．
综上可得的范围是，，．
故满足条件的整数有：，0，1，2共四个．
故选：．
【点评】本题考查了分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．
2．若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”．若函数（其中为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】求出当时关于原点对称的函数，条件转化为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：当时，关于原点对称的函数为，
即，，
设，，
条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，
则，，
当时，函数取得最大值（e），
当时，，．
由得，此时为增函数，
由得，此时为减函数，
即当时，函数取得极小值同时也是最小值（e），
作出当时，与的图象如图：
要使两个图象恰好有两个不同的交点，
则（e）（e），即，
即，
即，
故选：．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．考查学生的作图能力．
3．已知函数，若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【分析】令，根据题设条件求出的表达式，画出其图象，再对进行讨论，求出的最大值的表达式，进而解决其范围问题．
【解答】解：函数，，令，
其图象如下图所示：①当时，，此时；
②时，
；
③当时，，此时，
④当时，
；
⑤当时，，，，此时．
综上，最大值的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题主要考查分段函数的图象及解决含参数最值问题的能力，属于一道有难度的题．
二．填空题（共4小题）
4．已知．
（1） 1 ；
（2）若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是 ．
【分析】（1）直接把代入已知函数解析式求得的值；
（2）令，根据题设条件求出的表达式，画出其图象，再对进行讨论，求出的最大值的表达式，进而求得结论．
【解答】解：（1），；
（2），
令，
其图象如下图所示：
①当时，，此时；
②当时，
；
③当时，，此时，
④当时，
；
⑤当时，，，，此时．
综上，若实数，，则在区间，上的最大值的取值范围是，．
【点评】本题考查分段函数的图象及函数最值的几何意义，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想，属难题．
5．已知函数，若对于任意的实数，，，，均存在以，，为三边边长的三角形，则的取值范围是 ．
【分析】根据题意有2 ；再分段求出每一段函数的最值，第一段为常见函数的单调性问题，第二段是一次型函数模型，讨论出函数的最大值和最小值．
【解答】解：对于任意的实数，，，，均存在以，，为三边边长的三角形；
则对于任意的实数，，，，都有；
即2 ；
（1）当时，，在，上单调递减，在，上单调递增；
（2），（6），．
（2）当时，
①若，；
②若，，
③若，；
当时，，若，则；
若，则，所以，则；
即此时；
当时，，若，则； 若，则，所以，则．
即此时；
所以的范围是：．
故答案为：．
【点评】本题考查分段函数的最值问题、分类讨论思想，等价转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
6．在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．请问：
若点在函数的图象上，其“可控变点” 的纵坐标的取值范围是，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】时，求出的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．
【解答】解：依题意，图象上的点的“可控变点”必在函数的图象上，
因为，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
所以的取值范围是，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，属于难题．
7．已知函数，若关于的方程有个不同实数根，则的取值集合为 ，1，2，3，4，7， ．
【分析】由方程有 或，根据的范围结合的图象讨论这两个方程的根的个数之和．
【解答】解：当时，函数的图象如下：
当时，图象就是将当时，函数的图象进行上下平移而得到；
方程有，，或；
当时，方程有1个实数根；
当时，有一个实根， 有一个实数根；则方程有2个实数根；
当时，有4个实根， 有4个实数根；则方程有8个实数根；
当时，有3个实根， 有4个实数根；则方程有7个实数根；
当时，没有实根， 有4个实数根；则方程有4个实数根；
当时，没有实根， 有3个实数根；则方程有3个实数根；
当时，没有实根， 没有实数根；则方程有0个实数根；
故则的取值集合为，1，2，3，4，7，
【点评】本题考查符合方程的根的情况，分解为方程组来解决，考查数形结合的思想方法，属于难题．
三．解答题（共4小题）
8．对于定义域分别是，的函数，，规定：函数
．
（Ⅰ）若函数，，，写出函数的解析式并求函数值域；
（Ⅱ）若，其中是常数，且，，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．
【分析】先根据题意分和讨论来求函数的解析式，进而再求每一段的值域，最后取并集即可得到分段函数的值域；
（Ⅱ）构造，求出，进而可证明．
【解答】解：，则，
当 时，；
当 时，．
所以．
当时，，，此时；
当时，，此时，
所以函数的值域为．
（Ⅱ）令，
则，
于是．
【点评】本题考查分段函数的及其应用，考查函数解析式及其值域的求法，考查转化思想与分类讨论思想，考查数学抽象的核心素养，属于难题．
9．设函数，其中为常数且．新定义：若满足，但，则称为的次不动点．
（1）当时，分别求和的值；
（2）求函数在，上的次不动点．
【分析】（1）直接代值计算即可；
（2）根据新定义，当时，或当时，分类讨论，根据新定义即可得到所求．
【解答】解：（1）当时，，
则，
，
；
（2）中，时，值域也是，，
又，，
，
由，得，
当时，，
由，解得，
，即不是的次不动点；
同理，当时，，
，
由，解得，
而，
即是的次不动点；
当时，由，解得，
由于，故不是的次不动点．
当时，由，解得，，
，
故是的次不动点．
因此，函数有且仅有两个次不动点，，．
【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，考查方程思想，转化化归思想及运算能力，难度较大，综合性强．
10．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，又由函数为奇函数，分析可得，解可得的值；
（2）结合函数的图象，分析可得答案．
【解答】解：（1）设，则，
所以．
又为奇函数，所以，
于是时，，所以．
（2）要使在，上单调递增，
结合的图象知所以，故实数的取值范围是，．
【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性，注意结合函数的图象分析函数的单调性．
11．已知函数，且的解集为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，是正实数，且，证明：．
【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集，进行求解即可求的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以等价于
由有解，得，且其解集为
又的解集为，，故（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又，，是正实数，
由均值不等式得：
当且仅当时取等号（10分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键
第1页（共1页）
