黑龙江省哈尔滨市德强学校2023-2024学年九年级上学期数学开学测试试题
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2023九上·哈尔滨开学考）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角的三角函数值（ ）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设这个直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边（∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）， 各边的长度都扩大10倍， 得到新直角三角形的三边长分别为11a，11b，11c，（∠A'的对边为11a，∠B'的对边为11b，∠C'的对边为11c），
sinA=，cosA=，tanA=
在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍， 得到的新的直角三角形与原直角三角形相等，所以 锐角的三角函数值不变.
sinA'===sinA，cosA'===cosA，tanA'===tanA，
所以锐角的三角函数值不变.
故答案为：C.
【分析】 先设出原来直角三角形的三边，再得出扩大后的直角三角形的三边长，然后分别写出锐角A的三角函数值，对比后可得到结论．
2．（2023九上·哈尔滨开学考）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
A.，错误；
B.，正确；
C.，错误；
D.，错误.
故答案为：B.
【分析】根据“在同一反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积相等”求解.
3．（2023九上·哈尔滨开学考）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图A不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以错误；
图B既是中心对称图形又是轴对称图形，所以错误；
图C是中心对称图形但不是轴对称图形，所以正确；
图D不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以错误.
故答案为：C.
【分析】对四个图形逐一判断是否是中心对称图形，是否是轴对称图形.从中找出 是中心对称图形但不是轴对称图形的图形.
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于( )
A．6 B． C．10 D．12
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据直角三角形的特点及三角函数的定义解答即可．
【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，
∴tanA=，．
故选A．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义运用．
5．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．
【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
而AD：AB=3：4，AE=6，
∴3：4=6：AC，
∴AC=8．
故选D．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案
6．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为C，
∵BC//a，
∴∠B=∠α
∵BC⊥AC，BC=5米，∠CBA=∠α．
∴AB=．
故答案为：B.
【分析】过点B作AC的垂线，垂足为C，利用三角函数列出AB、BC的关系后求解.
7．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，AB是的直径，，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，tanB=，BC=3，
∴=，
解得AC= .
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，说明三角形ABC是直角三角形，再利用正切三角函数列出关于AC的式子求解.
8．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，则旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠A'=∠A=30°，
∵∠1=∠A'+∠ACA'，∠1=70°，
∴30°+∠ACA'=70°，
解得∠ACA'=40°，
∴旋转角α=40°．
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质求出∠A'的度数，利用三角形的内外角的关系求出α.
9．（2023九上·哈尔滨开学考）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等；④反比例函数的图象经过一三象限；⑤中心对称的两个图形是全等的.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；全等图形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①、③缺少“在同圆或等圆中”，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误；
④反比例函数中比例系数-6<0，所以它的图象在第二、四象限，故错误；
⑤中心对称的两个图形是全等的，故正确；
故答案为：A.
【分析】 ①根据等弧的意义判断；②根据垂径定理逆定理判断；③根据圆心角、弧、弦的关系决断；④根据反比例函数的比例系数确定图象经过的象限；⑤根据中心对称的性质判断．
10．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，中.，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵DF//BE，
∴，，，
∴A、B、D均正确，∴答案为：C.
事实上，无法得到.
故答案为：C.
【分析】由DF//BE，根据“平行线分线段成比例”列出相应比例式，逐一判断正误.
二、填空题(每题3分,共30分)
11．（2023九上·哈尔滨开学考）点关于原点对称的点的坐标是 .
【答案】(-3，2)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点关于原点对称的点的坐标是 (-3，2).
故答案为：(-3，2).
【分析】关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标互为相反数.
12．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，已知直线，分别交直线m、n于点，则EF的长为 .
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵
∴，
解得EF=6，
故答案为：6.
【分析】根据直线，列出比例式求解.
13．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，四边形ABCD内接于圆，若，则 .
【答案】65°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵在中，∠A与∠BOD分别是所对的圆周角与圆心角，∠BOD=130°，
∴∠A=∠BOD=65°，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴65°+∠BCD=180°，解得∠BCD=115°
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE+115°=180°，解得∠DCE=65°．
故答案为：65°.
【分析】先根据圆周角定理求得∠A，再由圆周接四边形的性质求得∠BCD，然后根据平角的意义求得 ∠DCE.
14．（2023九上·哈尔滨开学考）在反比例函数的图象上有两点和，若时，则 (填“>”、“="、“<”).
【答案】＜
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，比例系数为4>0，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y都大于0，第三象限内的y都小于0，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜y2.
故答案为：＜.
【分析】先根据反比例函数比例系数的符号，确定图象位置及增减性，再利用增减性求解.
15．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，AB是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上，，则弦的长是 .
【答案】10
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵ AB是的一条弦，OD⊥AB，
∴AC=BC=AB，，
∵∠AED=30°，
∴∠COD=2∠AED=60°，
∵sin∠COB=，，
∴sin60°=，解得BC=5，
∴AB=2BC=10.
故答案为：10.
【分析】借助三角函数，先求得BC的长，依据垂径定理求得AB.
16．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 .
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象的一支在第二象限，
∴k＜0，
∵的面积为3，
∴，解得k=6（负值舍去），
∴函数解析式为：．
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数的图象确定比例系数的符号，再根据的面积为3，列出关于k的方程求解，将求得的k的值代入解析式即可.
17．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在平行四边形ABCD中，为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点，若的面积是4，则四边形BCEF的面积是 .
【答案】31
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∴，.
∵，
∴.
∵的面积是4，
∴，∴
∴.∴.
∴，
∴.
∴四边形BCEF的面积是
故答案为：31.
【分析】 先分别求得△ADF、△ABF、△DEF的面积，从而可求平行四边形ABCD的面积，利用平行四边形的面积减去△ABD再减△DEF的面积就是四边形BCEF的面积．
18．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径，若AC=3，则DE= .
【答案】3
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结AE，
∵BE是⊙O的直径，
∴AE⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AE//CD，
∴DE=AC=3.
故答案为：3.
【分析】连结AE，证明AE//CD，从而有DE=AC=3.
19．（2023九上·哈尔滨开学考）在半径为的O中，弦，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 .
【答案】10cm或40cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=20，
在Rt△OAE中，∵OA=25cm，AE=20cm，
∴=15（cm），
∴DE=OD+OE=40（cm），CE=OC-OE=10（cm），
∴弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，
弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm.
故答案为：10cm或40cm.
故答案为：10cm或40cm.
【分析】非直径的弦所对弧有优弧与劣弧之分，因此分两种情况计算求解.
20．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，四边形中，的面积为20，则长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作AE⊥BD，垂足为E，AF⊥BC垂足为F．
∵2∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD+∠ABD+∠ABE=180°，
∴2∠ABD+∠CBD=∠CBD+∠ABD+∠ABE.
∴∠ABD=∠ABF，
∵AE⊥BD，AF⊥BC，
∴AE=AF，
在Rt△ACF和Rt△ADE中，
，
∴△ACF≌△ADE，
∴CF=DE，∠ACF=∠ADE，设AF=AE=4x，
∵，，
∴，
设CF=DE=7x，BE=BF=7x-4，
∵△ABD的面积为20，
∴（7x+7x-4） 4x=20，
∴或(舍去），
∴，
故答案为．
【分析】先证明△ACE≌△ADF，可得CF=DE，∠ACF=∠ADE，设AF=AE=4x，利用正切求得，根据△ABD的面积为20，求得DE、AE，再利用勾股定理求得AD．
三、解答题
21．（2023九上·哈尔滨开学考）计算：
【答案】原式=
=2+3-
=5-
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入，再按四则运算的顺序计算.
22．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均落在格点上.
（1）将△ABC绕点О顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）∠BCC1的正切值为 .
【答案】（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）
【知识点】锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：∠BCC1的正切值为： ， 故答案为：．
【分析】（1）利用旋转的性质作图；
（2）利用正切的定义求解．
23．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而D从处看楼顶B处也正好通过树顶E.求这棵树的高度.
【答案】∵AB//CD//EF，AB=10米，CD=15米，
∴，
∴.
∵AB//EF，
∴，
∵AB=10，
∴
解得EF=6．
答：这棵树的高度为6米．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【分析】由AB//CD//EF，列出比例式求得，利用合比性质求得，再由AB//EF，列出比例式，求出EF.
24．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在某海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在入船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)
【答案】过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=（海里），
在Rt△BCD中，（海里）．
答：此时船C与船B的距离是海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B作AC的垂线，构造直角三角形，两次运用三角函数求解．
25．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围.
【答案】（1）∵反比例函数的图象过点A（-2，1），
∴，解得m=-2.
∴ 反比例函数数的表达式；
∵反比例函数的图象过点B（1，n)，
∴，
∴B点的坐标为（1，-2），
∵点A、B在一次函数的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y=-x-1.
（2）设直线y=-x-1与y轴的交点为C，则C（0，-1），即OC=1，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=；
（3）由图像可知，当一次函数值大于反比例函数值时，图象是A点的左侧，另一部分是y轴右侧且在B点的左侧，所以自变量x的取值范围为：x＜-2或0＜x＜1．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出B点坐标，将A、B两点坐标代入一次函数表达式中，求出待定系数；
（2）先求出C点坐标，再分别求出三角形AOC与三角形BOC的面积相加即可；
（3）结合图象，根据函数值大的图象在上方求解.
26．（2023九上·哈尔滨开学考）在中，弦交于点，连接于点.
（1）求证：；
（2）为弦BC中点，过点作，连接HF，并延长HF交AC于，求证：；
（3）在(2 )的条件下，若，求的直径。
【答案】（1）证明：∵∠DAB=∠DCB，∠ACB-∠ABC=2∠DAB，
∴∠ACB-∠ABC=2∠DCB，
∴∠ACB-∠DCB=∠ABC+∠DCB=∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠EAC+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠EAC+2∠AEC=180°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHE=90°，
∴∠DEH+∠EDH=90°，
∴2∠DEH+2∠EDH=180°，
∵∠AEC=∠DEH，
∴2∠AEC+2∠EDH=180°，
∴∠EAC=2∠EDH，即∠BAC=2∠EDH；
（2）如图，过点B作BK⊥DC于点K，连接KM、HK、BD，
∵BK⊥CD，
∴∠BKC=90°，
∵M为BC的中点，
∴MK=BC=BM=MC，
∵∠DBA=∠DCA，∠DEB=∠AEC=∠ACE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴BD=DE，
∵DH⊥AB，
∴BH=EH，
在Rt△BEK中，HK= BE=HB=EH，
∴∠HKE=∠HEK，
∴∠HKF=∠GCF，
∵MF⊥DC，MK=MC，
∴FK=CF，
在△HFK和△GFC中，
∴△HFK≌△GFC（ASA），
∴FH=FG；
（3）如图，过点G作GP//AB交DC于点P，连接EM，
∵GP//AB，
∴∠EHF=∠PGF，
∵FH=FG，∠EFH=∠PFG，
∴△FHE≌△FGP（ASA），
∴EF=PF=EP，
∵△HFK≌△GFC，
∴HK=CG，
∵HK=HB=HE，
∴CG=HB=HE，
∵3AG=2BH，
∴，
∵GP//AE，
∴，
∵EF=PF，
∴EF=EC，
∵EF=2，
∴EC=10，
∵BC=2CE，MB=MC，
∴MC=MB=CE=10，
∴∠CEM=∠CME，
过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵EQ⊥BC，
∴∠EQC=∠EQB=∠MFE=90°，
∵EM=ME，
∴△EFM≌△MQE（AAS），
∴MQ=EF=2，
∴CF=CQ=10-2=8，
在Rt△MFC中，由勾股定理得：FM2+FC2=MC2，
即FM2+82=102，
解得：FM=6（负值已舍去），
∴EQ=6，
∴tan∠ECQ=，
∵BQ=BM+MQ=10+2=12，
∴tan∠EBQ=，
∴BE=，
取EC的中点T，连接AT，过点C作CR⊥AB于点R，
∵∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵TE=TC，
∴AT⊥DC，∠EAT=∠CAT，
∵tan∠CBR=，BC=20，
∴BR=2CR，
由勾股定理得：CR=，
解得：CR=4，
∴BR=8 ，
∴ER=BR-BE=，
∴tan∠REC=，
∴tan∠EAT=tan∠CAT=，
∵tan∠ADC=tan∠ABC==，
∴tan∠CAT=tan∠ADC=，
设AT=2k，
∴DT=2AT=4k，TC=k，
∴DC=5k，
∵tan∠CAT=tan∠ADC，
∴∠CAT=∠ADC，
∵∠CAT+∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=90°，
∴DC为直径，
∵EC=10，
∴ET=CT=5，
∵DC=5TC，
∴DC=25，
∴⊙O的直径为25．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)利用已知式子，结合直角三角形角的性质、圆周角定理求解；
（2）通过证明△HFK≌△GFC（ASA），得出对应边相等；
（3）过点G作GP∥AB交DC于点P，连接EM， 利用全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质和解直角三角形求解.
27．（2023九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线AB交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，且.
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，P为线段AB上一点，点的坐标为，连接CP，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式；(不需要写出自变量的取值范围)；
（3）如图3，在(2)的条件下，点的坐标为，点都在轴的负半轴上，且点在点的上方，连接DE、AC、AE、AF，且，若AE平分，连接FP交AE于点，求点的坐标.
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∵在△AOB中，∠AOB=90°，
∴，解得.
∴，
∵A（6，0），，
∴，解得.
∴直线AB的解析式为.
（2）解： 设点的横坐标为，
∵，，
∴，
∴
∴.
（3）如图，作PQ⊥OA于Q，
在△AOC与△EOD中
∵∠AOC=∠DOE，∠EDO=∠ACO，
∴△AOC∽△EOD，
∵ 点的坐标为，，A（6，0），
∴OD=，OC=，OA=6，
解得
，
∵AE平分∠BAF，
∵A（6，0），，
∴AB=，
设EF=m，则AF=m，
在Rt△AOF中，OA=6，OF=OE+EF=，
∴解得（舍去），
∴AF=，
∴
∵PQ∥OB，
解得AQ=4，，
∴OQ=2，
∴点P的坐标为，
∵，
设PF的解析式为y=kx+b，则，解得，
∴直线PF的解析式为：
设直线AE的解析式为y=kx+b，
∵，，
∴，解得，
∴直线AE的解析式为，
解方程组，得，∴点G的坐标为.
【知识点】一次函数的图象；锐角三角函数的定义；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b，先求出B点的坐标，再将A、B两点坐标，转化为k，b的方程组求解；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再用三角形面积公式求 与的函数关系式 .
（3）分别求得直线AE与直线PF的解析式，联立组成方程组求解，得出G点的坐标.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市德强学校2023-2024学年九年级上学期数学开学测试试题
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2023九上·哈尔滨开学考）在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，则锐角的三角函数值（ ）
A．也扩大10倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
2．（2023九上·哈尔滨开学考）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·哈尔滨开学考）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于( )
A．6 B． C．10 D．12
5．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，AB是的直径，，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，则旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·哈尔滨开学考）下列说法中，正确的个数有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等；④反比例函数的图象经过一三象限；⑤中心对称的两个图形是全等的.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，中.，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分,共30分)
11．（2023九上·哈尔滨开学考）点关于原点对称的点的坐标是 .
12．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，已知直线，分别交直线m、n于点，则EF的长为 .
13．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，四边形ABCD内接于圆，若，则 .
14．（2023九上·哈尔滨开学考）在反比例函数的图象上有两点和，若时，则 (填“>”、“="、“<”).
15．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，AB是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上，，则弦的长是 .
16．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 .
17．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在平行四边形ABCD中，为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点，若的面积是4，则四边形BCEF的面积是 .
18．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径，若AC=3，则DE= .
19．（2023九上·哈尔滨开学考）在半径为的O中，弦，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 .
20．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，四边形中，的面积为20，则长为 .
三、解答题
21．（2023九上·哈尔滨开学考）计算：
22．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均落在格点上.
（1）将△ABC绕点О顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）∠BCC1的正切值为 .
23．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而D从处看楼顶B处也正好通过树顶E.求这棵树的高度.
24．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在某海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在入船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)
25．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围.
26．（2023九上·哈尔滨开学考）在中，弦交于点，连接于点.
（1）求证：；
（2）为弦BC中点，过点作，连接HF，并延长HF交AC于，求证：；
（3）在(2 )的条件下，若，求的直径。
27．（2023九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线AB交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，且.
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，P为线段AB上一点，点的坐标为，连接CP，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式；(不需要写出自变量的取值范围)；
（3）如图3，在(2)的条件下，点的坐标为，点都在轴的负半轴上，且点在点的上方，连接DE、AC、AE、AF，且，若AE平分，连接FP交AE于点，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设这个直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边（∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）， 各边的长度都扩大10倍， 得到新直角三角形的三边长分别为11a，11b，11c，（∠A'的对边为11a，∠B'的对边为11b，∠C'的对边为11c），
sinA=，cosA=，tanA=
在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍， 得到的新的直角三角形与原直角三角形相等，所以 锐角的三角函数值不变.
sinA'===sinA，cosA'===cosA，tanA'===tanA，
所以锐角的三角函数值不变.
故答案为：C.
【分析】 先设出原来直角三角形的三边，再得出扩大后的直角三角形的三边长，然后分别写出锐角A的三角函数值，对比后可得到结论．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
A.，错误；
B.，正确；
C.，错误；
D.，错误.
故答案为：B.
【分析】根据“在同一反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积相等”求解.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图A不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以错误；
图B既是中心对称图形又是轴对称图形，所以错误；
图C是中心对称图形但不是轴对称图形，所以正确；
图D不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以错误.
故答案为：C.
【分析】对四个图形逐一判断是否是中心对称图形，是否是轴对称图形.从中找出 是中心对称图形但不是轴对称图形的图形.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据直角三角形的特点及三角函数的定义解答即可．
【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，
∴tanA=，．
故选A．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义运用．
5．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．
【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
而AD：AB=3：4，AE=6，
∴3：4=6：AC，
∴AC=8．
故选D．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为C，
∵BC//a，
∴∠B=∠α
∵BC⊥AC，BC=5米，∠CBA=∠α．
∴AB=．
故答案为：B.
【分析】过点B作AC的垂线，垂足为C，利用三角函数列出AB、BC的关系后求解.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，tanB=，BC=3，
∴=，
解得AC= .
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，说明三角形ABC是直角三角形，再利用正切三角函数列出关于AC的式子求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠A'=∠A=30°，
∵∠1=∠A'+∠ACA'，∠1=70°，
∴30°+∠ACA'=70°，
解得∠ACA'=40°，
∴旋转角α=40°．
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质求出∠A'的度数，利用三角形的内外角的关系求出α.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；全等图形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①、③缺少“在同圆或等圆中”，故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误；
④反比例函数中比例系数-6<0，所以它的图象在第二、四象限，故错误；
⑤中心对称的两个图形是全等的，故正确；
故答案为：A.
【分析】 ①根据等弧的意义判断；②根据垂径定理逆定理判断；③根据圆心角、弧、弦的关系决断；④根据反比例函数的比例系数确定图象经过的象限；⑤根据中心对称的性质判断．
10．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵DF//BE，
∴，，，
∴A、B、D均正确，∴答案为：C.
事实上，无法得到.
故答案为：C.
【分析】由DF//BE，根据“平行线分线段成比例”列出相应比例式，逐一判断正误.
11．【答案】(-3，2)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点关于原点对称的点的坐标是 (-3，2).
故答案为：(-3，2).
【分析】关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标互为相反数.
12．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵
∴，
解得EF=6，
故答案为：6.
【分析】根据直线，列出比例式求解.
13．【答案】65°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵在中，∠A与∠BOD分别是所对的圆周角与圆心角，∠BOD=130°，
∴∠A=∠BOD=65°，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴65°+∠BCD=180°，解得∠BCD=115°
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE+115°=180°，解得∠DCE=65°．
故答案为：65°.
【分析】先根据圆周角定理求得∠A，再由圆周接四边形的性质求得∠BCD，然后根据平角的意义求得 ∠DCE.
14．【答案】＜
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，比例系数为4>0，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y都大于0，第三象限内的y都小于0，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜y2.
故答案为：＜.
【分析】先根据反比例函数比例系数的符号，确定图象位置及增减性，再利用增减性求解.
15．【答案】10
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵ AB是的一条弦，OD⊥AB，
∴AC=BC=AB，，
∵∠AED=30°，
∴∠COD=2∠AED=60°，
∵sin∠COB=，，
∴sin60°=，解得BC=5，
∴AB=2BC=10.
故答案为：10.
【分析】借助三角函数，先求得BC的长，依据垂径定理求得AB.
16．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象的一支在第二象限，
∴k＜0，
∵的面积为3，
∴，解得k=6（负值舍去），
∴函数解析式为：．
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数的图象确定比例系数的符号，再根据的面积为3，列出关于k的方程求解，将求得的k的值代入解析式即可.
17．【答案】31
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∴，.
∵，
∴.
∵的面积是4，
∴，∴
∴.∴.
∴，
∴.
∴四边形BCEF的面积是
故答案为：31.
【分析】 先分别求得△ADF、△ABF、△DEF的面积，从而可求平行四边形ABCD的面积，利用平行四边形的面积减去△ABD再减△DEF的面积就是四边形BCEF的面积．
18．【答案】3
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结AE，
∵BE是⊙O的直径，
∴AE⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AE//CD，
∴DE=AC=3.
故答案为：3.
【分析】连结AE，证明AE//CD，从而有DE=AC=3.
19．【答案】10cm或40cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=20，
在Rt△OAE中，∵OA=25cm，AE=20cm，
∴=15（cm），
∴DE=OD+OE=40（cm），CE=OC-OE=10（cm），
∴弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，
弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm.
故答案为：10cm或40cm.
故答案为：10cm或40cm.
【分析】非直径的弦所对弧有优弧与劣弧之分，因此分两种情况计算求解.
20．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作AE⊥BD，垂足为E，AF⊥BC垂足为F．
∵2∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD+∠ABD+∠ABE=180°，
∴2∠ABD+∠CBD=∠CBD+∠ABD+∠ABE.
∴∠ABD=∠ABF，
∵AE⊥BD，AF⊥BC，
∴AE=AF，
在Rt△ACF和Rt△ADE中，
，
∴△ACF≌△ADE，
∴CF=DE，∠ACF=∠ADE，设AF=AE=4x，
∵，，
∴，
设CF=DE=7x，BE=BF=7x-4，
∵△ABD的面积为20，
∴（7x+7x-4） 4x=20，
∴或(舍去），
∴，
故答案为．
【分析】先证明△ACE≌△ADF，可得CF=DE，∠ACF=∠ADE，设AF=AE=4x，利用正切求得，根据△ABD的面积为20，求得DE、AE，再利用勾股定理求得AD．
21．【答案】原式=
=2+3-
=5-
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入，再按四则运算的顺序计算.
22．【答案】（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）
【知识点】锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：∠BCC1的正切值为： ， 故答案为：．
【分析】（1）利用旋转的性质作图；
（2）利用正切的定义求解．
23．【答案】∵AB//CD//EF，AB=10米，CD=15米，
∴，
∴.
∵AB//EF，
∴，
∵AB=10，
∴
解得EF=6．
答：这棵树的高度为6米．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【分析】由AB//CD//EF，列出比例式求得，利用合比性质求得，再由AB//EF，列出比例式，求出EF.
24．【答案】过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠BAD=（海里），
在Rt△BCD中，（海里）．
答：此时船C与船B的距离是海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B作AC的垂线，构造直角三角形，两次运用三角函数求解．
25．【答案】（1）∵反比例函数的图象过点A（-2，1），
∴，解得m=-2.
∴ 反比例函数数的表达式；
∵反比例函数的图象过点B（1，n)，
∴，
∴B点的坐标为（1，-2），
∵点A、B在一次函数的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y=-x-1.
（2）设直线y=-x-1与y轴的交点为C，则C（0，-1），即OC=1，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=；
（3）由图像可知，当一次函数值大于反比例函数值时，图象是A点的左侧，另一部分是y轴右侧且在B点的左侧，所以自变量x的取值范围为：x＜-2或0＜x＜1．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出B点坐标，将A、B两点坐标代入一次函数表达式中，求出待定系数；
（2）先求出C点坐标，再分别求出三角形AOC与三角形BOC的面积相加即可；
（3）结合图象，根据函数值大的图象在上方求解.
26．【答案】（1）证明：∵∠DAB=∠DCB，∠ACB-∠ABC=2∠DAB，
∴∠ACB-∠ABC=2∠DCB，
∴∠ACB-∠DCB=∠ABC+∠DCB=∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠EAC+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠EAC+2∠AEC=180°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHE=90°，
∴∠DEH+∠EDH=90°，
∴2∠DEH+2∠EDH=180°，
∵∠AEC=∠DEH，
∴2∠AEC+2∠EDH=180°，
∴∠EAC=2∠EDH，即∠BAC=2∠EDH；
（2）如图，过点B作BK⊥DC于点K，连接KM、HK、BD，
∵BK⊥CD，
∴∠BKC=90°，
∵M为BC的中点，
∴MK=BC=BM=MC，
∵∠DBA=∠DCA，∠DEB=∠AEC=∠ACE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴BD=DE，
∵DH⊥AB，
∴BH=EH，
在Rt△BEK中，HK= BE=HB=EH，
∴∠HKE=∠HEK，
∴∠HKF=∠GCF，
∵MF⊥DC，MK=MC，
∴FK=CF，
在△HFK和△GFC中，
∴△HFK≌△GFC（ASA），
∴FH=FG；
（3）如图，过点G作GP//AB交DC于点P，连接EM，
∵GP//AB，
∴∠EHF=∠PGF，
∵FH=FG，∠EFH=∠PFG，
∴△FHE≌△FGP（ASA），
∴EF=PF=EP，
∵△HFK≌△GFC，
∴HK=CG，
∵HK=HB=HE，
∴CG=HB=HE，
∵3AG=2BH，
∴，
∵GP//AE，
∴，
∵EF=PF，
∴EF=EC，
∵EF=2，
∴EC=10，
∵BC=2CE，MB=MC，
∴MC=MB=CE=10，
∴∠CEM=∠CME，
过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵EQ⊥BC，
∴∠EQC=∠EQB=∠MFE=90°，
∵EM=ME，
∴△EFM≌△MQE（AAS），
∴MQ=EF=2，
∴CF=CQ=10-2=8，
在Rt△MFC中，由勾股定理得：FM2+FC2=MC2，
即FM2+82=102，
解得：FM=6（负值已舍去），
∴EQ=6，
∴tan∠ECQ=，
∵BQ=BM+MQ=10+2=12，
∴tan∠EBQ=，
∴BE=，
取EC的中点T，连接AT，过点C作CR⊥AB于点R，
∵∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵TE=TC，
∴AT⊥DC，∠EAT=∠CAT，
∵tan∠CBR=，BC=20，
∴BR=2CR，
由勾股定理得：CR=，
解得：CR=4，
∴BR=8 ，
∴ER=BR-BE=，
∴tan∠REC=，
∴tan∠EAT=tan∠CAT=，
∵tan∠ADC=tan∠ABC==，
∴tan∠CAT=tan∠ADC=，
设AT=2k，
∴DT=2AT=4k，TC=k，
∴DC=5k，
∵tan∠CAT=tan∠ADC，
∴∠CAT=∠ADC，
∵∠CAT+∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=90°，
∴DC为直径，
∵EC=10，
∴ET=CT=5，
∵DC=5TC，
∴DC=25，
∴⊙O的直径为25．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)利用已知式子，结合直角三角形角的性质、圆周角定理求解；
（2）通过证明△HFK≌△GFC（ASA），得出对应边相等；
（3）过点G作GP∥AB交DC于点P，连接EM， 利用全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质和解直角三角形求解.
27．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∵在△AOB中，∠AOB=90°，
∴，解得.
∴，
∵A（6，0），，
∴，解得.
∴直线AB的解析式为.
（2）解： 设点的横坐标为，
∵，，
∴，
∴
∴.
（3）如图，作PQ⊥OA于Q，
在△AOC与△EOD中
∵∠AOC=∠DOE，∠EDO=∠ACO，
∴△AOC∽△EOD，
∵ 点的坐标为，，A（6，0），
∴OD=，OC=，OA=6，
解得
，
∵AE平分∠BAF，
∵A（6，0），，
∴AB=，
设EF=m，则AF=m，
在Rt△AOF中，OA=6，OF=OE+EF=，
∴解得（舍去），
∴AF=，
∴
∵PQ∥OB，
解得AQ=4，，
∴OQ=2，
∴点P的坐标为，
∵，
设PF的解析式为y=kx+b，则，解得，
∴直线PF的解析式为：
设直线AE的解析式为y=kx+b，
∵，，
∴，解得，
∴直线AE的解析式为，
解方程组，得，∴点G的坐标为.
【知识点】一次函数的图象；锐角三角函数的定义；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b，先求出B点的坐标，再将A、B两点坐标，转化为k，b的方程组求解；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再用三角形面积公式求 与的函数关系式 .
（3）分别求得直线AE与直线PF的解析式，联立组成方程组求解，得出G点的坐标.
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