人教版2023年八年级上册 第11章 三角形 单元检测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版2023年八年级上册 第11章 三角形 单元检测卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 584.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-12 20:25:45 | ||
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文档简介
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人教版2023年八年级上册 第11章 三角形 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．任意多边形
2．下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（ ）
A．CF B．BE C．AD D．CD
5．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若AM、AN分别是△ABC的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，则（ ）
A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN
7．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x的值为（ ）
A．32 B．36 C．44 D．54
9．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC上一点，将△ABC沿MN折叠，使点A落在边BC上，若∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，则∠A＝（ ）
A．35° B．45° C．65° D．55°
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 ．
12．△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，则∠C的度数是 ．
13．等腰三角形的一个底角是30°，那么顶角是 °，按角分它是 三角形．
14．已知a、b、c是△ABC的三边，a＝3，b＝7，c为整数．则c的最小值为 ．
15．一个十一边形的内角和等于 度．
16．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，那么∠DAE的度数为 ．
17．如图，小亮从A点出发前进6m，向右转15°，再前进6m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
18．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（5分）已知△ABC的边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
21．（6分）计算：
（1）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，求∠A；
（2）在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝20°，求∠C．
22．（6分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 ．
23．（6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠ADE的度数．
24．（9分）如图1所示，已知一个五角星ABCDE．
（1）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
（2）如图2所示，如果B点向下移动到AC上，求∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的度数．
（3）如果B点继续向下，移到AC的另一侧，如图3所示，（2）中的结果还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值．
25．（9分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③根据②的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系（不需要证明）．
26．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
27．（10分）（1）如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠B＜∠C．
①若∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ ；
②猜想∠B，∠C与∠DAE之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，若在AE上任取一点A1，A1D⊥BC于点D，请写出∠B，∠C与∠DA1E之间的关系（不需证明）；
（3）如图3，在△ABC中，AE平分∠BAC，若在AE的延长线上任取一点A2，A2D⊥BC于点D，请写出∠B，∠C与∠DA2E之间的关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，正方形、五边形、平行四边形不具有稳定性，
故选：A．
2．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【解答】解：A、5+7＝12，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、7+7＜15，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、6+9＜16，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、8+6＞12，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
解得∠A＝30°，
所以，∠B＝2×30°＝60°，
∠C＝3×30°＝90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选：B．
4．【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．
【解答】解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．
故选：B．
5．【分析】多边形的外角和等于360°，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成60°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则60° n＝360°，
解得n＝6．
故正多边形的边数是6．
故选：C．
6．【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，
根据垂线段最短可知：AM≤AN，AM≤AG，
故选：D．
7．【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ACD的周长为10，
∴AC+AD+CD＝10，
∵AC＝4，
∴AD+CD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11，
故选：D．
8．【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出x＝108°﹣72°＝36°．
【解答】解：因为五边形的内角和是540°，
则每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠C＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴x°＝∠EDC﹣∠1﹣∠3＝108°﹣36°﹣36°＝36°．
故选：B．
9．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝125°，再根据三角形内角和求出∠A的度数即可．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，∠1+∠4+∠B＝180°，∠2+∠3+∠C＝180°，
∴∠C+∠B＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝125°，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝55°．
故选：D．
10．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②错误；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
即∠ADC+∠ABD＝90°，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∵，
∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，
∴∠ADB＝45°﹣∠BDC，④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
12．【分析】由：∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，可得出∠C＝∠A+70°，结合三角形内角和是180°，可求出∠A的度数，再将其代入∠C＝∠A+70°中，即可求出结论．
【解答】解：∵∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，
∴∠C＝∠A+20°+50°＝∠A+70°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+20°+∠A+70°＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝∠A+70°＝30°+70°＝100°．
故答案为：100°．
13．【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和等于180°，解答此题即可．
【解答】解：180°﹣30°﹣30°＝120°
它的顶角是120°；按角来分，这是一个钝角三角形．
故答案为：120；钝角．
14．【分析】根据三角形的三边关系得出关于c的不等式，求出c的最小值即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，a＝3，b＝7，
∴7﹣3＜c＜7+3，即4＜c＜10，
∵c为整数，
∴c的最小值为5．
故答案为：5．
15．【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可解决问题．
【解答】解：（11﹣2）×180°
＝9×180°
＝1620°．
故答案为：1620．
16．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAE的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADC＝90°，利用三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
17．【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n＝360°÷15°＝24，
则一共走了24×6＝144（米）．
故答案为：144．
18．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，再合并同类项化简即可．
【解答】解：∵三角形三边的长是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c+（b﹣a﹣c）
＝a+b﹣c+b﹣a﹣c
＝2b﹣2c．
20．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+60°＝100°．
21．【分析】（1）利用三角形内角和定理构建方程求解；
（2）利用三角形内角和定理构建方程组求解．
【解答】解：（1）∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝35°；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝20°，
∴∠C＝35°．
22．【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；
（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC AD＝4×4＝8．
∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4．
23．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可得出∠CAD的度数，由DE⊥AC，可得出∠AED＝90°，再利用三角形内角和定理，即可求出∠ADE的度数．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣58°＝80°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°；
（2）由（1）得：∠CAD＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
24．【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠BKF＝∠C+∠E，∠BFK＝∠A+∠D，
又∵∠B+∠BFK+∠BKF＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）如图2，∵∠A+∠C＝∠DFH，∠DBE+∠E＝∠DHF，
又∵∠DFH+∠D+∠DHF＝180°，
∴∠A+∠C+∠DBE+∠E+∠D＝180°；
（3）结果还成立，理由：
如图3，∵∠B+∠D＝∠2，∠A+∠C＝∠1，
由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E＝180°，
即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E＝180°，故结论都成立．
25．【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案；
（2）①以线段AC为边的”8字型“有3个，以点O为交点的”8字型“有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再由”8字型“得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），最后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；
③根据②的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系．
【解答】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠O+∠D＝180°，
∠BOD＝∠AOC，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有3个；以点O为交点的“8字型”有4个；
故答案为：3，4；
②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C．
26．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
27．【分析】（1）①根据三角形的内角和定理即可得到结论；
②由图不难发现∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，再根据三角形的内角和定理及其推论结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC．
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE＝90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．
【解答】解：（1）①∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
故答案为：10°；
②∠EAD＝（∠B﹣∠C），
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）
∴∠EAC＝[180°﹣（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝90°﹣∠C，
∵∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC
∴∠EAD＝[180°﹣（∠B+∠C）]﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C）．
（2）∠EFD＝（∠B﹣∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵A1D⊥BC，
∴∠A1DE＝90°．
∴∠EA1D＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EA1D＝（∠C﹣∠B）；
（3）∠AFD＝（∠C﹣∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝，
∵∠DEA2为△ABE的外角，
∴∠DEA2＝∠C+＝90°+（∠C+∠B），
∵A2D⊥BC，
∴∠A2DE＝90°．
∴∠AA2D＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠AA2D＝（∠C﹣∠B）
人教版2023年八年级上册 第11章 三角形 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．任意多边形
2．下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（ ）
A．CF B．BE C．AD D．CD
5．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若AM、AN分别是△ABC的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，则（ ）
A．AM＜AG B．AG＜AN C．AN≤AG D．AM≤AN
7．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x的值为（ ）
A．32 B．36 C．44 D．54
9．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC上一点，将△ABC沿MN折叠，使点A落在边BC上，若∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，则∠A＝（ ）
A．35° B．45° C．65° D．55°
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 ．
12．△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，则∠C的度数是 ．
13．等腰三角形的一个底角是30°，那么顶角是 °，按角分它是 三角形．
14．已知a、b、c是△ABC的三边，a＝3，b＝7，c为整数．则c的最小值为 ．
15．一个十一边形的内角和等于 度．
16．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，那么∠DAE的度数为 ．
17．如图，小亮从A点出发前进6m，向右转15°，再前进6m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
18．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（5分）已知△ABC的边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
21．（6分）计算：
（1）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，求∠A；
（2）在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝20°，求∠C．
22．（6分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 ．
23．（6分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝42°，∠C＝58°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠ADE的度数．
24．（9分）如图1所示，已知一个五角星ABCDE．
（1）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
（2）如图2所示，如果B点向下移动到AC上，求∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的度数．
（3）如果B点继续向下，移到AC的另一侧，如图3所示，（2）中的结果还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值．
25．（9分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③根据②的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系（不需要证明）．
26．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
27．（10分）（1）如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠B＜∠C．
①若∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝ ；
②猜想∠B，∠C与∠DAE之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，若在AE上任取一点A1，A1D⊥BC于点D，请写出∠B，∠C与∠DA1E之间的关系（不需证明）；
（3）如图3，在△ABC中，AE平分∠BAC，若在AE的延长线上任取一点A2，A2D⊥BC于点D，请写出∠B，∠C与∠DA2E之间的关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，正方形、五边形、平行四边形不具有稳定性，
故选：A．
2．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【解答】解：A、5+7＝12，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、7+7＜15，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、6+9＜16，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、8+6＞12，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
解得∠A＝30°，
所以，∠B＝2×30°＝60°，
∠C＝3×30°＝90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选：B．
4．【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．
【解答】解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．
故选：B．
5．【分析】多边形的外角和等于360°，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成60°n，列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则60° n＝360°，
解得n＝6．
故正多边形的边数是6．
故选：C．
6．【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，AG是△ABC的角平分线，
根据垂线段最短可知：AM≤AN，AM≤AG，
故选：D．
7．【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ACD的周长为10，
∴AC+AD+CD＝10，
∵AC＝4，
∴AD+CD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+CD＝11，
故选：D．
8．【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出x＝108°﹣72°＝36°．
【解答】解：因为五边形的内角和是540°，
则每个内角为540°÷5＝108°，
∴∠E＝∠C＝108°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴x°＝∠EDC﹣∠1﹣∠3＝108°﹣36°﹣36°＝36°．
故选：B．
9．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝125°，再根据三角形内角和求出∠A的度数即可．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，∠1+∠4+∠B＝180°，∠2+∠3+∠C＝180°，
∴∠C+∠B＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝125°，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝55°．
故选：D．
10．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②错误；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，
即∠ADC+∠ABD＝90°，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∵，
∴∠BDC＝90°﹣2∠ABD，
∴∠ADB＝45°﹣∠BDC，④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
12．【分析】由：∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，可得出∠C＝∠A+70°，结合三角形内角和是180°，可求出∠A的度数，再将其代入∠C＝∠A+70°中，即可求出结论．
【解答】解：∵∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，
∴∠C＝∠A+20°+50°＝∠A+70°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+20°+∠A+70°＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝∠A+70°＝30°+70°＝100°．
故答案为：100°．
13．【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和等于180°，解答此题即可．
【解答】解：180°﹣30°﹣30°＝120°
它的顶角是120°；按角来分，这是一个钝角三角形．
故答案为：120；钝角．
14．【分析】根据三角形的三边关系得出关于c的不等式，求出c的最小值即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，a＝3，b＝7，
∴7﹣3＜c＜7+3，即4＜c＜10，
∵c为整数，
∴c的最小值为5．
故答案为：5．
15．【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可解决问题．
【解答】解：（11﹣2）×180°
＝9×180°
＝1620°．
故答案为：1620．
16．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAE的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADC＝90°，利用三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
17．【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n＝360°÷15°＝24，
则一共走了24×6＝144（米）．
故答案为：144．
18．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，再合并同类项化简即可．
【解答】解：∵三角形三边的长是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|
＝a+b﹣c+（b﹣a﹣c）
＝a+b﹣c+b﹣a﹣c
＝2b﹣2c．
20．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠CAD的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+60°＝100°．
21．【分析】（1）利用三角形内角和定理构建方程求解；
（2）利用三角形内角和定理构建方程组求解．
【解答】解：（1）∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝35°；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝20°，
∴∠C＝35°．
22．【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；
（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC AD＝4×4＝8．
∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4．
23．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可得出∠CAD的度数，由DE⊥AC，可得出∠AED＝90°，再利用三角形内角和定理，即可求出∠ADE的度数．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣58°＝80°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°；
（2）由（1）得：∠CAD＝40°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
24．【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠BKF＝∠C+∠E，∠BFK＝∠A+∠D，
又∵∠B+∠BFK+∠BKF＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）如图2，∵∠A+∠C＝∠DFH，∠DBE+∠E＝∠DHF，
又∵∠DFH+∠D+∠DHF＝180°，
∴∠A+∠C+∠DBE+∠E+∠D＝180°；
（3）结果还成立，理由：
如图3，∵∠B+∠D＝∠2，∠A+∠C＝∠1，
由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E＝180°，
即∠B+∠D+∠A+∠C+∠E＝180°，故结论都成立．
25．【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案；
（2）①以线段AC为边的”8字型“有3个，以点O为交点的”8字型“有4个；
②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再由”8字型“得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），最后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；
③根据②的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系．
【解答】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠O+∠D＝180°，
∠BOD＝∠AOC，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有3个；以点O为交点的“8字型”有4个；
故答案为：3，4；
②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C．
26．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
27．【分析】（1）①根据三角形的内角和定理即可得到结论；
②由图不难发现∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，再根据三角形的内角和定理及其推论结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC．
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE＝90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．
【解答】解：（1）①∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
故答案为：10°；
②∠EAD＝（∠B﹣∠C），
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）
∴∠EAC＝[180°﹣（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝90°﹣∠C，
∵∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC
∴∠EAD＝[180°﹣（∠B+∠C）]﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C）．
（2）∠EFD＝（∠B﹣∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵A1D⊥BC，
∴∠A1DE＝90°．
∴∠EA1D＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EA1D＝（∠C﹣∠B）；
（3）∠AFD＝（∠C﹣∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝，
∵∠DEA2为△ABE的外角，
∴∠DEA2＝∠C+＝90°+（∠C+∠B），
∵A2D⊥BC，
∴∠A2DE＝90°．
∴∠AA2D＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠AA2D＝（∠C﹣∠B）