专题1.18特殊平行四边形 中考常考考点分类专题基础练（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.18 特殊平行四边形（中考常考考点分类专题）（基础练）
一、单选题
【考点1】特殊平行四边形性质与判定的理解
1．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
3．在中，点D是边的中点，连结并延长到E，使，连结，．则下列说法不正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形 B．当时，四边形是矩形
C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形
【考点2】特殊平行四边形 中位线★★直角三角形斜边上的中线
4．如图，在矩形中，E是对角线上一点，F是的中点，连接．已知，，则的长为（ ）

A．3 B． C．2 D．
5．如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，于，对角线，相交于点，若，则的长为（ ）

A．2 B．3 C． D．
【考点3】特殊平行四边形 中点四边形
7．如图，四边形是菱形，顺次连接菱形各边的中点，则说法正确的是（　　）

A．是菱形 B．是正方形 C．是矩形 D．是平行四边形
8．四边形的对角线，交点O，点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，则下列说法不正确的是（ ）

A．对于任意四边形，四边形一定是平行四边形；
B．若，则四边形一定是菱形；
C．若，则四边形一定是矩形；
D．若四边形是菱形，则四边形也是菱形．
9．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（　　）
A． B． C． D．
【考点4】特殊平行四边形 作图题 求值★★证明
10．如图，，以点为圆心，为半径画弧交，于点，；分别以点，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；以点为顶点作，射线与交于点，连接；则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，为线段的中点，矩形的顶点，，连接按照下列方法作图：以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、于点、；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧交于点；作射线交于，则线段的长为( )

A． B．1 C． D．
12．如图，在等腰直角中，，以B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点O，在射线上作，连接，.下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．若四边形的周长为16，则
【考点5】特殊平行四边形 将军饮马问题
13．如图，在菱形中，，，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
14．如图，在中，．将绕顶点C旋转得到，若点O是中点，点P是中点，在旋转过程中，线段的最大值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
15．如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A． B． C．3 D．
【考点6】特殊平行四边形 折叠问题
16．如图，菱形中，，是边上的点，沿折叠，点恰好落在上的点，那么的度数是（ ）

A． B． C． D．
17．如图，将矩形沿对角线折叠，使点C落在F处，交于点E．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
18．取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【考点7】特殊平行四边形 函数问题
19．如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为4，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
21．如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E、F是边AB、DC的中点，连接EF、AF，动点P从A向F运动，AP＝x，y＝PE+PB．图2所示的是y关于x的函数图象，点（a，b）是函数图象的最低点，则a的值为（　　）
A． B． C． D．2
【考点8】特殊平行四边形 动点问题
22．如图，菱形ABCD的两条对角线长，，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（ ）
A．4 B．
C．5 D．
23．如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合，于，于，为中点，则的取值范围是( )

A． B． C． D．
24．如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，，其中结论正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
【考点1】特殊平行四边形 添加条件构成特殊平行四边形
25．如图，四边形是平行四边形．请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形．（只填一种情况即可）

26．如图，在中相交于点，，当 时，是矩形．

27．如图，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点O，要使四边形为正方形，需要增加的一个条件： ．（只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何线段与字母）

【考点2】特殊平行四边形 中位线★★直角三角形斜边上的中线
28．如图，为的中位线，点在上，且为直角，若．，则的长为 ．

29．如图，在中，，是边上的中线，且，则的中位线的长是 ．

30．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是 ．
【考点3】特殊平行四边形 作图题 求值★★证明
31．如图，①以点为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点、；②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 ．
32．如图，在矩形中，，，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．
33．如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，分别与边交于点E，与的延长线交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）

【考点4】特殊平行四边形 将军饮马问题
34．正方形ABCD的边长为4，AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积的最大值与最小值的和为 ．
35．如图，矩形中，，，E为边的中点，P为边上的一动点（含端点），F为的中点，则长度的最大值为 ．
36．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ OQ的最大值为 ．
【考点5】特殊平行四边形 折叠问题
37．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ．
38．在矩形中，，，点在上，将沿着折叠，此时点恰好落在对角线上，则线段的长为 ．

39．如图，边长为的正方形中，点是边上的动点（不与、重合），将沿所在直线折叠，得，连接，则长的最小值是 ．

【考点6】特殊平行四边形 函数问题
40．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，坐标系原点O是AD的中点，则点C的坐标为 ．
41．先将一矩形置于直角坐标系中，使点与坐标系中原点重合，边、分别落在轴、轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转（如图2），则图1和图2中点的坐标为 .
42．正方形位于坐标系如图，边长为，在上有一点坐标，在对角线上有一动点，使最短，则最短距离为 ．
【考点7】特殊平行四边形 动点问题
43．如图，在中，，，，为上一点，且，为等边三角形．点是边上的一个动点，连接，以为边在左侧作一个等边，连接，当时，的长为 ；在整个运动过程中，的最小值为 ．
44．如图，在矩形ABCD中，，E是上一个动点，F是上一点（点F不与点D重合）．连接，将沿翻折，使点A的对应点落在边上，连接，若，则的面积为 ．

45．如图，正方形边长为，点是线段上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形，当 时，线段的长度最小．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、矩形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、菱形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、正方形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，矩形，菱形，平行四边形，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．A
【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】特殊四边形的性质
3．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：如图，

∵，，
∴四边形是平行四边形，A正确，故不符合要求；
当时，四边形是矩形，B正确，故不符合要求；
当时，四边形是菱形，C正确，故不符合要求；
当时，四边形是菱形，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．C
【分析】根据矩形的性质得到，，推出，进而得到，再根据直角三角形斜边中线的性质得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有，，，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
6．A
【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到点O是的中点，则由直角三角形的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即点O是的中点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
7．C
【分析】依据题干进行推理，分别对菱形、正方形、矩形、平行四边形的逐一进行判断，看是否符合题意即可．
【详解】如图，连接菱形的对角线AC、BD．

由菱形的性质可知，．
∵分别是菱形各边的中点，
∴由三角形中位线定理可得：．
∴．
所以四边形是平行四边形．
由得，
，
故四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
因此，C正确．
对于选项A，假如是菱形或者正方形，则可推得，而菱形的对角线不一定相等，与题干矛盾，A、B错误；
对于选项D，是平行四边形的充分条件并不需要是菱形，只要是普通四边形就足够了，故D说法不够精确，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、顺次连接菱形各边的中点所构成的四边形具有什么特点，解题的关键是深刻理解各种特殊四边形的特征．
8．D
【分析】根据中位线性质，结合矩形、菱形、平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形一定是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形一定是菱形，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，
∵点M，N，P，Q分别为边，，，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形一定是矩形，故C正确，不符合题意；

D．∵四边形是菱形，
∴，
根据C选项的解析可知，此时四边形一定是矩形，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形，矩形、菱形的判定方法．
9．B
【分析】利用三角形中位线的性质得出，再由四边形是矩形，即可得出结果．
【详解】解：由于E、F、G、H分别是的中点，
根据三角形中位线定理得：，
∵四边形是矩形，即，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查中点四边形及矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10．B
【分析】根据题意可得是的角平分线，可判定四边形是菱形，如图所示，过点作于点，可求出的长，根据即可求解．
【详解】解：根据作图可知，是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形是菱形，
如图所示，过点作于点，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，菱形的判定和菱形的综合，勾股定理，含30度直角三角形的性质，掌握角平分线画法，菱形的判定方法，几何图形面积的计算方法等知识的综合是解题的关键．
11．C
【分析】由作图可知，是的平分线，如图，过作于，由角平分线的性质可知，，由题意得，设，则，，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，是的平分线，如图，过作于，

由角平分线的性质可知，由勾股定理得：，
∵矩形的顶点D，O为线段的中点，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解题的关键．
12．D
【分析】根据作图过程可以得出四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质逐项判断即可.
【详解】由作法可知平分，
∴.
∵为等腰直角三角形，
∴.
∴，.
又∵，
∴四边形是菱形.
又∵，
∴四边形是正方形.
∴，.
∵四边形的周长为16，
∴.
∴.
故选D.
【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的判定和性质，关键是由作图过程得出判定的条件.
错因分析 中等题.失分的原因是：1.没有掌握基本的尺规作图；2.不能根据角平分线性质，等腰直角三角形性质推导出四边形为正方形.
13．B
【分析】由题意得：B关于的对称点D，连接交于点P，则就是的最小值，求出即可．
【详解】解：连接交于点P，连接，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
，
，
是等边三角形，
，
（等腰三角形三线合一的性质），
∴为的最小值，
在中，
，
即的最小值是；
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识，确定点P的位置是解决本题的关键．
14．B
【分析】连接，进而得到，当三点共线时，线段的值最大，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕顶点C旋转得到，点O是中点，
∴，，
连接，
∵点P是中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的值最大．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度的直角三角形．熟练掌握相关知识点并灵活运算，是解题的关键．
15．A
【分析】设与交于点，连接，根据点B与D关于对称得，可得，即P在与的交点上时最小，即的长度，根据正方形的面积为得，根据等边三角形的性质即可得．
【详解】解：如图所示，设与交于点，连接，

∵点B与D关于对称，
∴，
∴，
即P在与的交点上时最小，即的长度，
∵正方形的面积为，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
16．B
【分析】已知四边形是菱形，根据菱形的性质可得，，，平分，再由，即可得；根据折叠可得，可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，平分，
∵，
∴，，
根据折叠可得，则，
∴．
故选B
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，菱形的性质，轴对称的性质，证明是解本题的关键．
17．B
【分析】根据翻折，折痕为角平分线，得到，利用矩形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵将矩形沿对角线折叠，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键．
18．A
【分析】根据折叠（垂直平分线）的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：边长为的正方形纸片，
∴第一次折叠后，在中，，，
第二次折叠后，是的角平分线，根据折叠的性质得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
，
∴，
∵，
∴线段的长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形与折叠的综合，掌握折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．
19．B
【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为，
∴△ABD的面积
解得：a=(负值已舍)
故选B
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
20．A
【分析】设 P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知 PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为4，可得到 x、y之间的关系式．
【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为4，
，
，
即该直线的函数表达式是，
故选择：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键．
21．B
【分析】由已知易得四边形ADFE是正方形，进而利用轴对称的性质得当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b，此时AP1＝a，BD＝b，最后利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算出a的值．
【详解】解：∵矩形ABCD，E、F是边AB、DC的中点，AB＝4，AD＝2
∴易证四边形ADFE是正方形
∴点E关于EF的对称点是点D
∴PE＝PD
∴y＝PE+PB＝PD+PB
∴当点D、P、B三点共线时，y取得最小值b
连接BD交于点P1，此时AP1＝a，BD＝b，如图：
∵AB∥CD
∴
∴AP1＝AF＝×＝
即a＝．
故选B．
【点睛】本题是动点问题的函数图象问题，综合考查矩形和正方形的性质，相似三角形，勾股定理，要注意数形结合的运用．
22．B
【分析】当AE⊥BC时有最小值，即为△ABC，BC边上的高，根据菱形的性质即可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形等面积法即可求解．
【详解】解： ∵点E是BC边上的动点，
∴当AE⊥BC时有最小值，即为△ABC，BC边上的高，
∵四边形ABCD是菱形，且，，
∴AC⊥BD，，，
在Rt△OBC中，∠BOC=90°，
∴，
∴，即，
解得，
∴AE长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段最短、等面积法求高，熟练掌握菱形的性质即等面积法求三角形的高是解题的关键．
23．A
【分析】根据勾股定理求得，连接，证明四边形是矩形，可得，进而根据等面积法求得的最小值，根据点与点重合时取得最大值，进而即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
连接，如图所示，

∵于，于，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为中点，
∴，
当时，取得最小值，
此时，则，
当与点重合时，取得最大值，最大值为，则，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．B
【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到， ，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 为正方形；故①正确；②过作于，得到， ，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为 ，故②错误；③连接，于是得到，即当 时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值；故③错误；
④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到 ，求得，根据勾股定理得到，故④正确．
【详解】解：①四边形是矩形，
，
将沿折叠得到，
，， ，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形；故①正确；
②过作于，
点，点，
，，
，，
，
，
的面积为，故②错误；
③连接，
则，
即当时，取最小值，
，，
，
，
即的最小值为；故③错误；
④，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
25．（符合题意即可)
【分析】根据菱形的判定定理进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形．
∴添加，则可得为菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
故答案为：（符合题意即可)
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
26．4
【分析】根据矩形的判定与性质即可解答．
【详解】解：四边形为平行四边形，
要使四边形为矩形，则，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
27．且（答案不唯一）
【分析】根据正方形是特殊的平行四边形，只需要增加正方形所特有的性质即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴当且时，四边形为正方形，
故答案为∶且（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握正方形是特殊的平行四边形是解题的关键．
28．12
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：为的中位线，
，
，
，
点是的中点，，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
29．5
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出的长．
【详解】解：∵在中，，是边上的中线，且，
∴，
∵是的中位线，
∴．
故答案为∶5．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形性质，熟练掌握直角三角斜边上的中线等于斜边的一半的性质和三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
30．
【分析】由题意可证是等边三角形，可求菱形的面积，可证四边形是平行四边形，可得的面积，，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的面积，
是对边中位线，
，，
，
且，
四边形是平行四边形，
的面积，，
是邻边中位线，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键．
31．##度
【分析】先根据作图方法证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可．
【详解】解：由作图方法可知，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键．
32．##
【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
【详解】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG=∠CBG，
在△EBG和△CBG中，，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE=GC，
在Rt△ABE中，AB=6，BE=BC=5，
∴AE==4，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
在Rt△DGE中，DE=1，DG=DC-CG=3-CG，EG=CG，
∴，
∴，
解得CG=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
33．##
【分析】过E作交于点G，证明四边形，都是矩形，得到矩形是正方形，推出阴影部分的面积矩形的面积，据此求解即可．
【详解】解：过E作交于点G，

∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形，都是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∴阴影部分的面积矩形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的前提．
34．32
【分析】连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
【详解】解：连接DE，
∵S△CDE＝S四边形ECFG，S△CDE＝S正方形ABCD，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴S正方形ABCD＝4×4＝16，
∴矩形ECFG的面积是定值16，
∴矩形ECFG的面积的最大值与最小值的和为32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，证得矩形ECFG的面积是定值是解题的关键．
35．
【分析】连接，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接，
∵E为中点，F为中点，
∴为的中位线，
∴，
当取得最大值时，的值最大，
故当点P与点B重合时，最大，
∴，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
【点晴】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接，构造三角形中位线．
36．
【分析】如图，连接PO并延长交BC于点E．当点Q与点E重合时，PQ OQ取得最大值．过点E作EF⊥AD于点F，利用勾股定理，可得结论．
【详解】解：连接PO并延长交BC于点E．如图，
当点Q与点E重合时，PQ OQ取得最大值，最大值为PE-OE=PO．
在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AP=2，
∴AP∥CE，AO=OC，
∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE，
∴△PAO≌△ECO，
∴EC= AP=2，PO=OE=PE，
过点E作EF⊥AD于点F，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形EFDC为矩形，
∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4，
∴PF=AD-AP-FD=2，
∴PE=2，
∴PO=OE=PE=，
∴PQ OQ的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，推出当点Q与点E重合时，PQ OQ取得最大值，最大值为PO的长是解题的关键．
37．75°
【分析】连接，先证明为等边三角形，然后根据三线合一定理得到即可得到，则，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形为菱形，
∴AD=AB，，AB∥CD，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴为的平分线，即，
∴，
由折叠的性质得到，
在中，．
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
38．
【分析】由矩形的性质和勾股定理可求得的长；根据折叠的性质知，，；可用分别表示出和，即可在中，根据勾股定理求得的长．
【详解】解：设点落在对角线上的点处，

四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，，，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理等重要知识，熟练掌握折叠和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
39．##
【分析】连接，根据折叠的性质，得，根据当点，，三点共线时，存在最小值，则，即可．
【详解】连接，
∵沿所在直线折叠，得，
∴，
当点，，三点共线时，存在最小值，即，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴长的最小值是：．
故答案为：．

【点睛】本题考查三角形，折叠，正方形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理的运用．
40．(4，2)．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=AD=4，AD∥BC，然后再根据勾股定理求出OB的长度，即可确定点C的坐标．
【详解】∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=AD=4，AD∥BC
∵坐标系原点O是AD的中点，
∴AO=2，
∴BO2，
∴点C坐标(4，2)
故答案为：(4，2)．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．
41．，
【分析】图1中点B的横坐标即为AB的长，进而可得点B坐标；图2中只需过点B作BE⊥x轴于点E，利用30°角的性质和勾股定理分别求出BE和AE的长即可得出答案.
【详解】解：图1中，∵AB=4，且点B在x轴上，∴点B的坐标是（4，0）；
如图2中，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠BAE=30°，
∴BE=，，
∴点B的坐标是.
故答案为：，.
【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，考查了旋转的性质、矩形的性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，属于基本题型，熟练掌握30°角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键.
42．5
【分析】连接CD，根据四边形OABC是正方形可知A、C关于直线OB对称，故CD的长即为PA＋PD的最短距离，根据勾股定理求出CD的长即可．
【详解】解：连接CD，
∵四边形OABC是正方形，
∴A、C关于直线OB对称，
∴CD的长即为PA＋PD的最短距离，
∴CD＝，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称 最短路线问题，熟知两点之间，线段最短是解答此题的关键．
43．
【分析】当时，如图所示，可证四边形是菱形，由此即可求解；根据菱形的性质可得，当时，最短，在中，根据，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：中，，，，，
∵为等边三角形，是等边三角形，
∴，，
当时，如图所示，
∴，
∴，
∴，
∴，且，是等边三角形，
∴四边形是菱形，
∴；
如图所示，连接，
∴，，
∴，
根据点到直线，垂线段最短，可知，当时，最短，如图所示，
∵中，，，，，
设，则，
∴，解得，，
∴，，
∴，
∴，
∴．(这问题实在想不到办法了，请审核老师指教，谢谢)
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等边三角形，特殊四边形的综合，理解题意，图形结合分析，掌握等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键．
44．3
【分析】过点E作于H，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，过点E作于H．

由折叠的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，，
设，则，
在中，则有，
解得，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：3．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
45．
【分析】如图所示，将点绕点逆时针旋转，连接，可证，得，，当时，的值最小，可知是等边三角形，，在在中，可求的长，从而求出的长，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，将点绕点逆时针旋转，连接，

∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，
，
，
∴，，
当时，的值最小，
∵点绕点逆时针旋转，，
∴是等边三角形，则，，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形，点到直线的垂线段最短的综合，掌握正方形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页