全等三角形及其应用培优专题(含答案)

12、全等三角形及其应用
【知识精读】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△ ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4. 寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
旋转
如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移
如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
（2） 推论：角角边定理
6. 注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图 ( http: / / www.21cnjy.com )形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔAB ( http: / / www.21cnjy.com )E，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.
证明：在ΔACD和ΔABE中，
AE=AD
∠A=∠A
AB=AC.

∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
又 ∵ AD=AE,AB=AC.
∴ AB－AD=AC－AE
即 BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∠B=∠C
∠BFD=∠CFE（对顶角相等）
BD=CE

∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）
∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD
分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.
证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）
∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，
AF=CE （已知）
∠DEC＝∠BFA （已证）
DE=BF （已知）

∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)
∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE
分析：
(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明：取CD中点F，连接BF
∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）
∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)
又∵ AB=AC
∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）
∴ ∠3＝∠2
在ΔCEB与ΔCFB中，
BF=BE
∠3＝∠2
CB=CB

∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)
∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中，
AE=BE
∠1＝∠2 （对顶角相等）
CE=FE

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)
∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)
∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)
∵ ∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，
CB=CB
∠CBF=∠CBD
BF=BD

∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)
∴ CF=CD
即CD=2CE
说明：关于折半法有时不在原线段上截 ( http: / / www.21cnjy.com )取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直
例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学 ( http: / / www.21cnjy.com )们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
AD=DC
∠ADO=∠CDB=90o
OD=DB

∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)
∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）
∴ ∠COE+∠OCE=90o
∴ AO⊥BC
5、中考点拨：
例1．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：∠F＝∠A．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：证明两个角相等，常 ( http: / / www.21cnjy.com )证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵EB＝ED，
∴∠ACB＝∠EDB．
∴ED∥AC．
∴∠BED＝∠A．
∵BE＝EA．
∴BD＝CD．
又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F．
∴∠F＝∠A．
说明：证明角（或线段）相等可以从证明角 ( http: / / www.21cnjy.com )（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。
例2 如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED
分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。
证明：过D点作DF∥AC交BE于F点
∵ △ ABC为等边三角形
∴ △BFD为等边三角形
∴ BF=BD=FD
∵ AE=BD
∴ AE=BF=FD
∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB
∴ EF=AC
在△ ACE和△DFE中，
EF=AC（已证）
∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等)
AE=FD (已证)

∴ △AEC≌△FED（SAS）
∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）
题型展示：
例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．
∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴ △AED≌△ACD，
∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．
∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，
∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．
即 ∠B＝∠EDB．
∴ EB＝ED，即ED＝DC，
∴ AB＝AC＋DC．
剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和 ( http: / / www.21cnjy.com )的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．
【实战模拟】
1. 下列判断正确的是（ ）
（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
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3. 如图，已知C为线段AB上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。


4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<(AB+AC)
( http: / / www.21cnjy.com )
5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．
【试题答案】
1. D
2.证明：
∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，
∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。
∴ △BOD≌△COE（ASA）．
∴ OB＝OC
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3. 分析 由ACM=BCN=6 ( http: / / www.21cnjy.com )0，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明CEF是等腰三角形。先证CAN≌MCB，得1=2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF是等边三角形的结论。
证明：在CAN和MCB，
∵AC=MC，CN=CB，
CAN=MCB=120，
∴ACN≌MCB中，
∴ FCB和CEB中，
∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，
∴CFN≌CEB，∴CF=CE，
又∵ECF=60，
∴CEF是等边三角形.
4. 分析： 关于线段不等的问题，一般 ( http: / / www.21cnjy.com )利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．
证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
在ACD与EBD中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ACD≌EBD（SAS）
∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）
在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）
∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）
说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。
5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB
证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，
∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F
∴∠AEC＝∠CFB＝90°
又∠ACB＝90°
∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF
∴ Rt△AEC≌Rt△CFB
∴CE＝BF
在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，
由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，
∴ Rt△BFD≌Rt△CEG
∴ BD＝CG