初中数学人教版八上13.4课题学习 最短路径问题 习题（含解析）

13.4课题学习 最短路径和
1.如图，△ABC中，AB=5，AC=9，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
2. 如图，分别是线段MC，MD的垂直平分线，MC=7 cm，MD=5 cm，CD=10 cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A．12 cm B．10 cm C．7 cm D．5 cm
3. 如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
4. 如图，等腰的底边长为6，腰长为8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值　　
A．6 B．8 C．10 D．14
5. 如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时　　
A． B． C． D．
6. 加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7 m，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（ ）m
A．8 B．9 C．6 D．7
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为____ _．
8. 如图，在Rt△ABC中，，，，是△ABC的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且BM=1，求的最小值．
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值是多少？.
10.如图是某风景区的旅游线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位:km)，一学生从A处出发，以2 km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时间为0.5 h.
(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3 h，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点逗留的时间不变，且在最短时间内看完三个景点回到A处，请你为他设计一个步行路线，并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).
11. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
12. 如图所示，在街道的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道旁设置一个快递中转站．
（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
参考答案
1.B
解析：连接PC，如图所示：
∵EF垂直平分BC，
∴，
∵，
∴的周长为，
若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，
∵，
∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长，
∴的周长最小值为.
2.B
解析：由题意可知CD与OA的交点为E，与OB的交点为F．
∵OA，OB分别是线段MC，MD的垂直平分线，
∴ME=CE，MF=DF，
∴小蚂蚁爬行的最短路径为ME+EF+FM=CE+EF+FD=CD=10 cm．
3.D
解析：作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于P，则P处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除，B，C选项，可知D选项管道最短．
4.B
解析：连接，
垂直平分，
，
，
当时，值最小，
等腰腰长为8，
，
的最小值为8．
5.D
解析：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求．
四边形中，，，
，
由轴对称知，，，
在中，
，
，
．
6.D
解析：当A，B，P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形，因为两边AP与BP的差小于第三边AB，所以A，B，P在同一直线上，所以P到A的距离与P到B的距离之差最大，这个差就是AB的长.
7.
解析：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP，
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值为.
8.解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，，
，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
此时，∵Rt△中，，
∴，
∴的最小值为．
9.解：∵△ACD是以为底边的等腰三角形，平分，
ED垂直平分AC，
∴点与点关于对称，
∴PC=PA，
如图所示，当点与点重合时，，
此时的周长最小，
，，的周长为30，
∴AB=13，
∴△PBC周长的最小值为.
10.解：（1）由题意得CE=2×(3-2×0. 5)-1.6-1-1=0.4(km)；
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)
则所用时间为(1.6+1+1.2+0.4+1)÷2+3×0.5=4.1 h，
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)
则所用时间为(1.6+1+0.4+0.4×2+1)÷2+3×0.5=3.9 h，
则最短步行路线为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).
11.解：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°.
∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.
∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.
12.解：（1）∵ AC，BD分别是点A，B到直线的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC.
（2）如图1所示，∠A＝∠B，
理由：由作图知，
AC＝，⊥l，
∴∠A＝∠，
∵A∥BD，
∴∠＝∠B，
∴∠A＝∠B.
（3）如图2所示，
∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
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