初中数学人教版八上 14.1.2 幂的乘方 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八上 14.1.2 幂的乘方 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 09:33:16 | ||
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文档简介
14.1.2幂的乘方
【教学目标】
1.理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.
2.经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力.
3.培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值.
【教学重难点】
重点：理解运用幂的乘方及逆运算法则.
难点：应用法则解决实际问题.
【教学方法】
观察、实践法、举例法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
知识回顾
同底数幂乘法法则：
am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.
计算：
(1) 93×95 =____； (2) a6·a2 =____； (3) x2·x3·x4 =____；
(4) (-x)3·(-x)5 =____ ； (5) (-x)3·x3 =____； (6) a2·a4 + a·a5 =____.
用乘方的形式来表示下列正方体的体积.
体积V=； 体积V=； 体积V=.
像, 就是今天我们所研究的幂的乘方.
新课讲授：
（一）幂的乘方
活动探究：根据乘方的定义及同底数幂的乘法性质，完成下列各题.
1.(43)4=43×43×43×43= 43+3+3+3=43×4=412；
2.(a4)5=a4×a4×a4×a4×a4= a4+4+4+4+4=a5×4=a20.
问题1：观察上面的计算结果，你能发现什么规律？能不能用式子将你的发现表示出来？
问题2：猜想：(am )n =_______,（m，n为正整数）并验证猜想.
猜想：(am)n=amn (m，n都是正整数）.
证明：(am)n===amn.
归纳：幂的乘方法则
(am)n= amn(m，n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
例1：计算：
（1）（103）5 ； （2）（a2）4； （3）（am）2；.
（4）-（x4）3； (5) [(x+y)2]3； (6) [(﹣x)4]3.
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12= x12.
思考：1. (-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
答：不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.
思考2.下面这道题该怎么进行计算呢？
解：.
归纳：
练习：
1.[(y5)2]2=(y10)2=y20；
2.[(x5)m]n=(x5m)n=x5mn；
3.(1) (x4)3·x6； (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = -a2·a2·a6＋a10 = -a10＋a10 = 0.
课堂练习：
1．下列计算中，错误的是( B )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
2．如果(9n)2＝312，那么n的值是( B )
A．4 B．3
C．2 D．1
3.计算：
(1)(102)8； (2)(xm)2； (3)[(－a)3]5 (4)－(x2)m.
解：(1)(102)8＝1016；
(xm)2＝x2m；
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15；
(4)－(x2)m＝－x2m.
同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
它们都是底数不变，其中m，n都是正整数；
同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方指数相乘.
（二）幂的乘方的逆运算
幂的乘方的逆用：amn=(am)n= (an)m (m,n为正整数）
若9×27n=34n+1，求n的值.
解：∵ 9×27n
=32 ×(33)n
=32 ×33n
=32+3n
=34n+1
∴ 2+3n=4n+1
∴ n=1
例2：已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n =(10m)3×(10n)2=33×22=27×4=108.
例3：比较3500，4400，5300的大小.
解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是100的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解:3500=(35)100=243100，
4400=(44)100=256100，
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100，
∴4400>3500>5300.
课堂练习：
1.计算：
(1)(-b5)5=
(2)-(x2)m=
(3)(an-2)3=
(4)[(x-y)3]2·[(y-x)2]3=
2.判断正误，错误的请改正.
(1）(a4)3=a7 (2) a4·a3=a12
(3) (a2)3+(a3)2=a12 (4) (-x3)2=(-x2)3
3.(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) ∵ x2n＝3，
∴(x3n)4=x3n·4=x2n·6= ( x2n)6=36 ．
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴ 2x＋5y=3，
4x·32y=(22)x· (25)y=22x ·25y=22x+5y=23=8.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
同底数幂及幂的乘方的法则及注意事项.
解决实际问题时要考虑到公式的逆用.
作业布置：
1.计算
(a2)7= ； (-m3)2 = ；
(a4)4 = ； (105)6= .
2.下列各式中，计算正确的是(A )
A．m5·m5＝m10 B．(m4)4＝m8
C．m3·m3＝m9 D．m6＋m6＝2m12
3. （1）26= (23)2= (22)3 a6= (a3)2= (a3)3 amn= (an )m= (am)n；
（2）若 am= 2，an= 3，求 am+n和 a2m+n的值.（答案：6 12）
4.完成本节课配套习题.
【板书设计】
幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意事项：幂的乘方与同底数幂的乘法的区别；幂的乘方法则的逆用.
【课后反思】
在教学时要充分利用学生已有关于乘方意义理解的知识，引领学生自主探究出与幂有关的乘法公式，这样利于加深学生对新知的认识与理解，便于应用于各种形式的问题解决中.教学时要强调学生对公式中运算符号的变化特点，并加强各种变式的训练.
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【教学目标】
1.理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.
2.经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力.
3.培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值.
【教学重难点】
重点：理解运用幂的乘方及逆运算法则.
难点：应用法则解决实际问题.
【教学方法】
观察、实践法、举例法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
知识回顾
同底数幂乘法法则：
am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.
计算：
(1) 93×95 =____； (2) a6·a2 =____； (3) x2·x3·x4 =____；
(4) (-x)3·(-x)5 =____ ； (5) (-x)3·x3 =____； (6) a2·a4 + a·a5 =____.
用乘方的形式来表示下列正方体的体积.
体积V=； 体积V=； 体积V=.
像, 就是今天我们所研究的幂的乘方.
新课讲授：
（一）幂的乘方
活动探究：根据乘方的定义及同底数幂的乘法性质，完成下列各题.
1.(43)4=43×43×43×43= 43+3+3+3=43×4=412；
2.(a4)5=a4×a4×a4×a4×a4= a4+4+4+4+4=a5×4=a20.
问题1：观察上面的计算结果，你能发现什么规律？能不能用式子将你的发现表示出来？
问题2：猜想：(am )n =_______,（m，n为正整数）并验证猜想.
猜想：(am)n=amn (m，n都是正整数）.
证明：(am)n===amn.
归纳：幂的乘方法则
(am)n= amn(m，n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
例1：计算：
（1）（103）5 ； （2）（a2）4； （3）（am）2；.
（4）-（x4）3； (5) [(x+y)2]3； (6) [(﹣x)4]3.
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12= x12.
思考：1. (-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
答：不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.
思考2.下面这道题该怎么进行计算呢？
解：.
归纳：
练习：
1.[(y5)2]2=(y10)2=y20；
2.[(x5)m]n=(x5m)n=x5mn；
3.(1) (x4)3·x6； (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = -a2·a2·a6＋a10 = -a10＋a10 = 0.
课堂练习：
1．下列计算中，错误的是( B )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
2．如果(9n)2＝312，那么n的值是( B )
A．4 B．3
C．2 D．1
3.计算：
(1)(102)8； (2)(xm)2； (3)[(－a)3]5 (4)－(x2)m.
解：(1)(102)8＝1016；
(xm)2＝x2m；
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15；
(4)－(x2)m＝－x2m.
同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
它们都是底数不变，其中m，n都是正整数；
同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方指数相乘.
（二）幂的乘方的逆运算
幂的乘方的逆用：amn=(am)n= (an)m (m,n为正整数）
若9×27n=34n+1，求n的值.
解：∵ 9×27n
=32 ×(33)n
=32 ×33n
=32+3n
=34n+1
∴ 2+3n=4n+1
∴ n=1
例2：已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n =(10m)3×(10n)2=33×22=27×4=108.
例3：比较3500，4400，5300的大小.
解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是100的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解:3500=(35)100=243100，
4400=(44)100=256100，
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100，
∴4400>3500>5300.
课堂练习：
1.计算：
(1)(-b5)5=
(2)-(x2)m=
(3)(an-2)3=
(4)[(x-y)3]2·[(y-x)2]3=
2.判断正误，错误的请改正.
(1）(a4)3=a7 (2) a4·a3=a12
(3) (a2)3+(a3)2=a12 (4) (-x3)2=(-x2)3
3.(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) ∵ x2n＝3，
∴(x3n)4=x3n·4=x2n·6= ( x2n)6=36 ．
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴ 2x＋5y=3，
4x·32y=(22)x· (25)y=22x ·25y=22x+5y=23=8.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
同底数幂及幂的乘方的法则及注意事项.
解决实际问题时要考虑到公式的逆用.
作业布置：
1.计算
(a2)7= ； (-m3)2 = ；
(a4)4 = ； (105)6= .
2.下列各式中，计算正确的是(A )
A．m5·m5＝m10 B．(m4)4＝m8
C．m3·m3＝m9 D．m6＋m6＝2m12
3. （1）26= (23)2= (22)3 a6= (a3)2= (a3)3 amn= (an )m= (am)n；
（2）若 am= 2，an= 3，求 am+n和 a2m+n的值.（答案：6 12）
4.完成本节课配套习题.
【板书设计】
幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意事项：幂的乘方与同底数幂的乘法的区别；幂的乘方法则的逆用.
【课后反思】
在教学时要充分利用学生已有关于乘方意义理解的知识，引领学生自主探究出与幂有关的乘法公式，这样利于加深学生对新知的认识与理解，便于应用于各种形式的问题解决中.教学时要强调学生对公式中运算符号的变化特点，并加强各种变式的训练.
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