初中数学人教版八上14.1.3 积的乘方 教案

14.1.3积的乘方
【教学目标】
1.通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质.
2.经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力.
3.通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心.
【教学重难点】
重点：积的乘方的运算.
难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.
【教学方法】
观察、实践法、举例法.
【教学过程】
新课导入：
复习回顾：
1.同底数幂乘法法则:
a m ·a n =a m+n ( m、n都为正整数).
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
幂的乘方法则:
(am)n= amn (m,n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
提出问题：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
相同点：其中m,n都是正整数；底数都不变.
不同点：同底数幂的乘法是底数相加，幂的乘方是底数相乘.
课件中用集合的思想通过采用圆圈圈示的方法形象的呈现它们的相同点和不同点便于学生理解和记忆.
新课讲授：
（一）积的乘方
体积V=.
思考：当正方体的边长为1.1×10 时，它的体积如何表示呢？
它的体积应是V=(1.1×10 ) .
进一步思考：（1）这个结果是幂的乘方形式吗？(2)它又如何运算呢？能不能找到一个运算法则呢？
1.计算: (2×3)2与22 × 32，我们发现了什么？
∵ (2×3)2=62=36，
22 ×32=4×9=36，
∴ (2×3)2 =22 × 32.
2.比较下列各组算式的计算结果：
[2 ×(-3)]2 与 22 ×(-3)2
[(-2)×(-5)]3与(-2)3 ×(-5)3
第2题由学生独立动手计算并引导学生观察分析猜想规律.
提出问题：填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=(ab)·(ab)=（a·a）·（b·b）=a(2 )b( 2 )；
（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（aaa）·（bbb）=a( 3 )b( 3 ) .
思考：积的乘方法则？(ab) n=
==anbn，
即(ab)n=anbn (n为正整数) .
归纳：
积的乘方法则：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n =anbn .（n为正整数）
推广：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
积的乘方法则的逆用：
anbn＝(ab)n.（n为正整数）
例1：计算:
(1)(2a)3； (2)(-5b)3 ；
(3)(xy2)2； (4)(-2x3)4.
解：(1)(2a)3=23 a3 = 8a3；
(2)(-5b)3=(-5)3 b3=-125b3；
(3)(xy2)2=x2 (y2)2=x2y4；
(4)(-2x3)4=(-2)4 (x3)4=16x12.
课堂练习：
（1）(ab2)3 =a3 (b2)3 =a3b6；
（2）(3a2b3)3 = 33 (a2)3 (b3)3= 27a6b9；
（3）-(-x3y2)2 = -(-)2 (x3)2 (y2)2 =-x6y4.
2.（1）(ab)4 ; （2） (-2xy)3;
（3）(-3×102)3 ; （4） (2ab2)3.
3.（1）; （2） -(-3a2b3)4;
（3）(-x3y2)5 ; （4）
4. (1) [-4(x-y)2]3 ； (2) [3(a+b)(a-c)]4 .
例2：计算.
（1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7；
（2）(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ；
（3）(-2x3)3·(x2)2.
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
课堂练习：
1．计算(－4×103)2×(－2×103)3的结果是( B　)
A．1.08×1017 B．－1.28×1017
C．4.8×1016 D．－2.4×1016
2.计算： 2(x3)2 · x3－(3x3)3＋(5x)2 ·x7
解：原式=2x6 · x3－27x9+25x2 ·x7 =2x9－27x9+25x9=0.
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
（二）积的乘方的逆运算
(ab)n = an·bn逆运算： an·bn = (ab)n .
试用简便方法计算:
(1) 23×53 = (2×5)3 = 103
(2)(-5)15 × (-2)15 = [(-5)×(-2)]15 = 1015.
你能用不同的方法计算(0.04)2004×[(-5)2004]2=
解法一： (0.04)2004×[(-5)2004]2 =(0.22)2004 × 54008 =(0.2)4008 × 54008 =(0.2 ×5)4008 =14008 =1；
解法二： (0.04)2004×[(-5)2004]2 =(0.04)2004 ×[(-5)2]2004 =(0.04)2004 ×252004
=(0.04 ×25) 2004=12004 =1.
说明：逆用积的乘方法则 可以化简一些复杂的计算.
既学既练：
48×0.258=(40.25)8=1；
(-)2013=-1；
(0.04)2004×[(-5)2004]2= (0.04)2004×[(-5)2]2004 = (0.04×25)2004 =1；
(0.125)16× (-8)16 × (-8) = -8.
课堂练习：
3.计算： (1)（-2x2y3)3 (2) (-3a3b2c)4
解：(1)原式=(-2)3 ·(x2)3 ·(y3)3=-8x6y9；
(2)原式=(-3)4 ·(a3)4 ·(b2)4 · c4 = 81 a12b8c4.
4.如果（an bm b)3=a9b15 ，求m ， n的值.
解：（an bm b)3=a9b15 ，
（an）3 （bm）3 b3=a9b15 ，
a 3n b 3m b3=a9b15，
a 3n b 3m+3=a9b15 ，
3n=9， 3m+3=15，
n=3，m=4.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方的法则及注意事项.
解决实际问题时要考虑到公式的逆用.
作业布置：
1.已知n为正整数，且x3n＝2，求(2x3n)2＋(－3x2n)3的值；
【解析】原式＝4(x3n)2－27(x3n)2＝－23(x3n)2＝－92．
2.已知2x+3·3x+3＝36x-2，求x的值．
【解析】7．
3.当a3b2＝72时，求a6b4的值．
【解析】a6b4＝(a3b2)2＝722＝5 184．
4.完成本节课配套习题.
【板书设计】
同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
注意：底数相同时，直接应用法则；底数不相同时，先变成同底数再应用法则.
幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意事项：幂的乘方与同底数幂的乘法的区别；幂的乘方法则的逆用.
积的乘方
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
注意：积的乘方的逆用.
【课后反思】
在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学. 教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：an bn＝(ab)n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－an(n为正整数)；当n为偶数时，(－a)n＝an(n为正整数).
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