初中数学人教版八上14.2.2完全平方公式 教案（含答案）

14.2.2完全平方公式
【教学目标】
1.理解完全平方公式，能用公式进行计算.
2.经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何直观观念.
3.通过完全平方公式的应用，体会公式中字母的含义，渗透整体、数形结合、类比的数学思想.
【教学重难点】
重点：完全平方公式的应用.
难点：完全平方公式的结构特征及几何解释.
【教学方法】
情境教学、探究推理法.
【教学过程】
新课导入：
提出问题：
计算下列各式，你能发现什么规律
1.(p+1)2 =(p+1)(p+1) = _________;
2.(m+2)2= _________;
3.(p-1)2 = (p-1)(p-1)=________;
4.(m-2)2 = __________.
答案：1. p2+2p+1；2. m2+4m+4；3.p2-2p+1； 4.m2-4m+4 .
探究：一块边长为a m的正方形实验田，因需要将其边长增加 b m.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
直接求：总面积=（a+b)(a+b)；间接求：总面积=a2+ab+ab+b2.
思考：你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2.
新课讲授：
（一）完全平方公式
引导学生归纳结论：
(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，2倍积放中央”.
特点：
1.积为二次三项式；
2.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
思考探究：用图形验证完全平方和公式与完全平方差公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
例1:运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2 ；(2)(-a2+b3)2 .
解：（1）(x+2y)2 =x2+2 x 2y+y2=x2+4xy+y2 ；
（2）原式= (b3-a2)2==b6-2 a2b3+a4.
例2:运用完全平方公式计算：(1) 1022； (2) 992.
解:(1) 1022 = (100 +2)2
= 1002 +2×100×2 + 22
= 10 000 +400 +4
= 10 404
(2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2×100×1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801
思考探究：
如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公式中的“b”换成“p”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子 如何计算？字母“a”换成“m-n”又如何计算呢？
(m+n+p)2=[(m+n)+p]2
=(m+n)2+2(m+n)p+p2
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
(m-n+p)2=[(m-n)+p]2=(m-n)2+2(m-n)p+p2
=m2-2mn+n2+2mp-2np+p2
=m2+ n2 +p2-2mn+2mp-2np
引导学生归纳结论：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
a+b+c=a+(b+c)； a-b-c=a-(b+c).
例3：运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)； (2) (a+b+c)2.
解:(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9；
(2) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+c2+2(a+b)c
=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
课后练习：
1.(1)若(x-5)2=x2+kx+25，则k=______；
(2)若4x2+mx+9是完全平方式，则m=______.
解析：（1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25，
∴k=-10.
（2）∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
2.如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．2m+3　　　　B．2m+6 C．m+3 D．m+6
答案A.
解析：
3.已知x-1=，求代数式(x+1)2-4(x+1)+4的值．
解：原式=x2+2x+1-4x-4+4
=x2-2x+1
=(x-1)2
=()2
=3.
4.计算:(x+3)2-x2.
解法一：
原式=（x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)×3=6x+9.
解法二：
原式= x2+6x+9-x2=6x+9.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
完全平方公式的公式法则；
完全平方公式的注意事项；
完全平方公式的常用结论；
添括号法则.
作业布置：
1.化简求值：［2x2-(x+y)(x-y)］［(-x-y)(y-x)+2y2］，其中x=1，y=2.
解：原式=(2x2-x2+y2)(x2-y2+2y2)
=(x2+y2)2
=x4+2x2y2+y4
当x=1，y=2时，原式=1+8+16=25.
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
完全平方公式
法则：(a±b)2= a2±2ab+b2.
注意事项：
1.项数、符号、字母及其指数；
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行；
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）.
常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab； 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
【课后反思】
引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳点评，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.
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