初中数学人教版八上14.3.1提取公因式法 教案

14.3.1提取公因式法
【教学目标】
1.理解分解因式的概念，能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式.
2.使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解.
3.培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值.
【教学重难点】
重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式.
难点：正确地确定多项式的公因式.
【教学方法】
观察、实践法、举例法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
方法一：m(a+b+c)；方法二：ma+mb+mc.
引导学生分析：
写出在这一问题中可以得到的等式：m(a+b+c)= ma+mb+mc.
提出问题：上述式子从左到右的变形是哪类变形？（整式的乘法）
从右到左的变形呢？
新课讲授：
（一）分解因式的概念
探究学习：
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
学生分析问题2的式子变形特点：都是多项式化为几个整式的积的形式.我们把这种形式的变形叫做把多项式分解因式.
小结：
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
概念解读：
（1）分解因式是整式乘法的恒等变形，是互逆的过程；
（2）分解因式的结果是整式的积的形式；
（3）分解的对象必须是多项式；
（4）分解因式必须进行到每个多项式因式不能再分解为止．
课堂练习：
1． 下列变形，属于因式分解的为（ ）
A．(a+2)(a-2)=a2　　 B．x2+3x+2=x(x+3)+2
C．x(x-y)-y(x-y) =(x-y)2　　 D．24a2b=3a·8ab
2.判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy；
(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ；
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
(6) m2－4=(m+2)(m－2) ；
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
（二）提取公因式法因式分解
问题：观察下列式子的共同点.
（1）pa+pb+pc；（2）x2+x.
分析：（1）式中各项含有共同的因式p；（2）式中各项含有共同的因式x.
引导归纳结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
复习提问乘法分配律，转化思想引导学生认识分解因式的方法——提取公因式法.
pa+ pb +pc=p(a+b+c)
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
问题：如何确定一个多项式的公因式？
找3x -6xy的公因式:系数取3和6的最大公约数3，同底数幂取次数最低的幂做它们公共的因式，所以公因式是3x.
找公因式法一般步骤：
1、定系数；2、定字母；3、定字母指数.
课堂练习：
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y； (2)ab-2ac； (3) a 2 - a 3；
(4)4 (m-n) 2 +2(n-m)； (5)9 m 2n-6mn； (6)-6 x 2 y-8 xy 2
提公因式的方法与技巧：
先系数，大公约 ；同部分，幂最低
注意：（1）第一项是负的，一般先放到负括号里
（2） ；
“奇偶在一起，变偶不变奇”.
（3）公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
例1：把下列各式分解因式.
(1)8a3b2 + 12ab3c； (2)a(x-3)+2b(x-3)；
(3)-x3＋x2-x. (4)(a-b)2-(b-a)
解:(1)8a3b2+12ab3c
=4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2(2a2+3bc).
(2)a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b).
(3) -x3+x2-x
＝-(x3-x2+x).
＝-x(x2-x+1)
(4) (a-b)2-(b-a)
= (a-b)2+(a-b)
= (a-b)(a-b+1).
思考：提公因式法步骤.
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
课堂练习：
因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
例2：小明的解法有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
解：小明的解法错误.
正解：原式=6xy(2x+3y).
提醒学生注意公因式要提尽.
例3：琪琪的解法有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式.
解：原式 =x(3x-6y).
解：琪琪的解法有错误.
正解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1).
提醒学生注意某项提出莫漏1.
例4：小华的解法有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式.
解：小华的解法有错误.
正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z).
提醒学生注意首项有负常提负.
例5：化简计算 ：（1）9×10100-10101；
（2）1.23×8.9+8.9×5.32+3.45×8.9.
解：（1）原式=9×10100-10100×10=10100×(9-10)=-10100 ；
　　（2）原式=8.9×(1.23+5.32+3.45)=8.9×10=89.
课堂练习：
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
4.把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn=_____________；
(2)12xyz-9x2y2=_____________；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；
(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；
(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
理解因式分解的概念，及概念解读；
会因式分解的方法——提取公因式法；
确定公因式的方法：定系数、定字母、定指数.
提取公因式的步骤：一找公因式，二提公因式.
分解因式的注意事项：分解因式是恒等变形；公因式要提尽；不要漏项；提取负号要注意变号.
作业布置：
1. 1.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
分解因式
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提取公因式：
pa+ pb +pc=p(a+b+c)
确定公因式法一般步骤：
1、定系数；2、定字母；3、定字母指数.
提取公因式的步骤：一找公因式，二提公因式.
分解因式的注意事项：分解因式是恒等变形；公因式要提尽；不要漏项；提取负号要注意变号.
【课后反思】
本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误. 本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果.
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