初中数学人教版八上14.3.2公式法 第2课时 教案

14.3.2公式法2
【教学目标】
1.理解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解；综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
3.感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的体验，进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.
【教学重难点】
重点：应用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
【教学方法】
观察、探究推理法.
【教学过程】
新课导入：
回顾旧知：
1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
（1）提公因式法：ac+bc=c (a+b)；
（2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
思考探究：用图形验证完全平方和公式与完全平方差公式；自己动手画图验证平方差公式.
新课讲授：
（一）完全平方公式因式分解
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：a2+2ab+b2，a2－2ab+b2.
（1）每个多项式有几项？（三项）
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
引导学生归纳结论：
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
课堂练习：
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）a2-4a+4；是
（2）1+4a2　；不是
（3）4b2+4b+1；是
（4）a2+ab+b2 　不是 　 ．
2.对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
（1）x +4x+4= ( x) +2·(x)·( 2 )+( 2 ) =( x+2 ) ；
（2）m -6m+9=( m ) - 2· (m )·( 3)+( 3 ) =( m-3 ) .
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N是( B )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为±8.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
例1：(1) 16x2+24x+9； (2) -x2+4xy-4y2.
课堂练习：
分解因式：
(1) (x-y)2+2(x-y)+1； (2) y2+y+；
解：(1) (x-y)2+2(x-y)+1=(x-y)2+2(x-y)+12=(x-y+1)2
（2）y2+y+=y2+2··y +=
例2：分解因式.
(1) 3ax2+6ax+3ay2； (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
(3) -3a2x2＋24a2x-48a2； (4)(a2＋4)2-16a2.
解：
；
(3) -3a2x2＋24a2x-48a2＝-3a2(x2-8x＋16)＝-3a2(x－4)2；
(4) (a2＋4)2-16a2＝(a2＋4)2- (4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a-2)2.
观察总结：
（1）有公因式要先提公因式；（2）用整体的思想进行因式分解.（3）要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
课堂练习：
分解因式：
(1) 4x3-8x2+4x ； (2) 6abx2-12abx+6ab；
(3)4(2a+b)2-4(2a+b)+1； (4) y2+2y+1-x2.
解：(1) 4x3-8x2+4x =4x(x2-2x+1) =4x(x-1)2；
解：(2) 6abx2-12abx+6ab=6ab(x2-2x+1) =6ab(x-1)2；
(3) 4(2a+b)2-4(2a+b)+1=[2(2a+b)] - 2·2(2a+b)·1+(1) =(4a+2b-1)2；
(4) y2+2y+1-x2=(y+1) -x =(y+1+x)(y+1-x).
归纳：
公式法
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
例3：把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99) =1；
(2)原式＝(34＋16)2=2500.
课堂练习：
计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2=100；
（2）原式.
例4：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.
课堂练习：
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
说一说完全平方公式的结构特点；
掌握因式分解的步骤和因式分解的注意事项.
作业布置：
1.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
解:(1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2；
(2)原式＝(x2－6x＋9)＝(x－3)2.
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
完全平方公式分解因式
公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
特点：（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
【课后反思】
以引导学生认识完全平方公式的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式.本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然. 其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领.
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