初中数学人教版八下16.1二次根式 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八下16.1二次根式 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 354.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 13:00:05 | ||
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文档简介
16.1.1二次根式的概念
教学内容分析
本章二次根式是继之前有理数、整式、分式之后的又一重要内容，要重点培养学生的数感，体会代数式的简洁性和一般性. 在“实数”一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法，学生对实数的概念有了初步体会，这些都为本章学习打下了基础. 本节课是本章的第一节，起着承上启下的作用，学习二次根式的概念和性质，有助于学习后续二次根式的运算.
教学目标
1.理解二次根式的概念，归纳出二次根式的共同特征，掌握二次根式有意义的条件，会利用二次根式有意义来求字母的取值范围.
2.探究二次根式的性质，并会运用二次根式的性质来解决简单的化简计算问题.
3.理解代数式的定义.
教学重难点
【重点】运用二次根式有意义求字母的取值范围.
【难点】运用二次根式的性质来解决化简计算问题.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法
教学过程
（一）复习导入
多媒体依次出示问题：
问题1 什么是平方根？怎么表示？
问题2 什么是算术平方根？怎么表示？
问题3 上两个问题中，“”有什么要求？
通过七年级下册实数的学习，我们知道了：一般地，若一个数的平方等于，则这个数就叫做的平方根.的平方根是.正的平方根叫做它的算术平方根，用表示.一个数的平方不能是负数，所以.那么今天我们就一起学习一下这类式子的共同特征.
意图：让学生回顾实数中平方根和算术平方根的概念，引入新课二次根式的学习.
效果：通过复习，学生们回忆了算术平方根的概念，自然过渡到本节要学的二次根式，体会到数学知识间的联系性.
新课讲授
二次根式的概念及有意义的条件：
自主思考：用学过的知识填空.
（1）如图1，海报是正方形，其面积为2 m2，则它的边长是 m .如果其面积为S，则它的边长是 .
（2）如图2，一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 m.
（3）如图3，一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 .
观察：刚才写出的结果的特点是共同特征：
外形上，有；
被开方数为非负数；
归纳概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.
练一练：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
意图：从观察中归纳共同特征，从而得出二次根式的概念.
效果：学生通过观察、总结，体会了数学中归纳总结的研究方法.
例1 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
学生先自主思考，然后教师提问，最后教师规范板书.
自主探究： 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 呢？
总结方法：保证二次根式有意义，只需要被开方数大于等于0即可.当二次根式作分母时，还要保证分式有意义，此时被开方数大于0.
意图：通过例题讲解和探究学习，得出二次根式有意义的条件和解题的方法.
效果：通过探究和方法总结，使学生学会了学习的方法.
二次根式的性质
（1）二次根式的性质1：双重非负性
思考：我们已经知道了
负数没有算术平方根，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0.因此
归纳：二次根式的双重非负性.
初中阶段学过的绝对值、偶数次方、二次根式都具有非负性，二次根式具有双重非负性.
例2
意图：通过思考和例题，归纳二次根式的双重非负性，并加以运用.
效果：学生知道了如何将所学知识归纳总结和灵活运用.
（2）二次根式的性质2:
自主探究：根据算术平方根的意义填空，并发现规律.
归纳总结：二次根式的性质2:
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
例3 计算
；（2）.
让学生体验二次根式的性质=（）的运用，注重运算步骤，在例题（2）中用到了八年级上册学的=（为正整数）.
练一练：计算
；（2）
意图：引导学生辨析二次根式的性质运用中的常见错误.
效果：学生学会了二次根式的简单计算.
（3）二次根式的性质3：
探究：填空，并发现规律.
思考：当a＜0时，？
归纳总结：二次根式的性质3：
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
意图：让学生用算术平方根的意义分析具体数字得出结果，然后概况它们的共同特征，由特殊到一般地归纳得出结论.
效果：学生又一次经历了观察归纳的数学学习方法.
例4 化简
；（2）；（3）；（4）.
练一练（1）；（2）
意图：引导学生辨析二次根式的性质运用中的常见错误.
效果：学生学会了二次根式的简单化简.
议一议：如何区别与？
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
代数式的定义
学生认真阅读课本第四页下方的内容，填空.
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
想一想：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
初中阶段，到现在为止，我们已经学过的代数式有整式、分式、二次根式.
练一练：1.在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A.7 B.3＞2 C. D．
2.右图是冬奥会的奖牌，正面面积为S，用代数式表示出奖牌的半径为__________.
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.
意图：通过学生自主学习代数式的概念，培养学生从文本中提取关键信息的能力，学会学习.
效果：培养了学生自主阅读学习的能力.
课堂练习
1.下列式子中，不属于二次根式的是（C ）
A. B. C. D.
2.当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
3. 化简：
（1）＝ 3 ; （2） ＝ 4 ;
（3） = 7 ; （4） 81 .
4.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 1 .
5.要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
解：设长方形的宽为cm，根据题意得
解得（负值舍去）
答：它的长为6 cm，宽为4 cm.
6.
意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件，运用非负性解决问题.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
二次根式的概念及有意义的条件；
共同特征：含有二次根号；被开方数为非负数.
二次根式的性质：
双重非负性：；
；
.
3.代数式的定义
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
16.1二次根式
1.二次根式的概念及有意义的条件
共同特征：含有二次根号；被开方数为非负数.
2.二次根式的性质：
双重非负性：；
；
.
3.代数式的定义
课后反思
本节课运用复习导入，符合学生的学习规律，无论是导入还是方法总结，都注重让学生体会数学的各个知识点是相互联系的.本节课设置了一系列的问题来启发学生的思考，培养学生观察，思考，归纳的数学学习方法，从特殊到一般，循序渐进，让学生在探究中学到知识，学会学习.
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教学内容分析
本章二次根式是继之前有理数、整式、分式之后的又一重要内容，要重点培养学生的数感，体会代数式的简洁性和一般性. 在“实数”一章中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法，学生对实数的概念有了初步体会，这些都为本章学习打下了基础. 本节课是本章的第一节，起着承上启下的作用，学习二次根式的概念和性质，有助于学习后续二次根式的运算.
教学目标
1.理解二次根式的概念，归纳出二次根式的共同特征，掌握二次根式有意义的条件，会利用二次根式有意义来求字母的取值范围.
2.探究二次根式的性质，并会运用二次根式的性质来解决简单的化简计算问题.
3.理解代数式的定义.
教学重难点
【重点】运用二次根式有意义求字母的取值范围.
【难点】运用二次根式的性质来解决化简计算问题.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法
教学过程
（一）复习导入
多媒体依次出示问题：
问题1 什么是平方根？怎么表示？
问题2 什么是算术平方根？怎么表示？
问题3 上两个问题中，“”有什么要求？
通过七年级下册实数的学习，我们知道了：一般地，若一个数的平方等于，则这个数就叫做的平方根.的平方根是.正的平方根叫做它的算术平方根，用表示.一个数的平方不能是负数，所以.那么今天我们就一起学习一下这类式子的共同特征.
意图：让学生回顾实数中平方根和算术平方根的概念，引入新课二次根式的学习.
效果：通过复习，学生们回忆了算术平方根的概念，自然过渡到本节要学的二次根式，体会到数学知识间的联系性.
新课讲授
二次根式的概念及有意义的条件：
自主思考：用学过的知识填空.
（1）如图1，海报是正方形，其面积为2 m2，则它的边长是 m .如果其面积为S，则它的边长是 .
（2）如图2，一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 m.
（3）如图3，一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 .
观察：刚才写出的结果的特点是共同特征：
外形上，有；
被开方数为非负数；
归纳概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.
练一练：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
意图：从观察中归纳共同特征，从而得出二次根式的概念.
效果：学生通过观察、总结，体会了数学中归纳总结的研究方法.
例1 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
学生先自主思考，然后教师提问，最后教师规范板书.
自主探究： 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 呢？
总结方法：保证二次根式有意义，只需要被开方数大于等于0即可.当二次根式作分母时，还要保证分式有意义，此时被开方数大于0.
意图：通过例题讲解和探究学习，得出二次根式有意义的条件和解题的方法.
效果：通过探究和方法总结，使学生学会了学习的方法.
二次根式的性质
（1）二次根式的性质1：双重非负性
思考：我们已经知道了
负数没有算术平方根，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0.因此
归纳：二次根式的双重非负性.
初中阶段学过的绝对值、偶数次方、二次根式都具有非负性，二次根式具有双重非负性.
例2
意图：通过思考和例题，归纳二次根式的双重非负性，并加以运用.
效果：学生知道了如何将所学知识归纳总结和灵活运用.
（2）二次根式的性质2:
自主探究：根据算术平方根的意义填空，并发现规律.
归纳总结：二次根式的性质2:
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
例3 计算
；（2）.
让学生体验二次根式的性质=（）的运用，注重运算步骤，在例题（2）中用到了八年级上册学的=（为正整数）.
练一练：计算
；（2）
意图：引导学生辨析二次根式的性质运用中的常见错误.
效果：学生学会了二次根式的简单计算.
（3）二次根式的性质3：
探究：填空，并发现规律.
思考：当a＜0时，？
归纳总结：二次根式的性质3：
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
意图：让学生用算术平方根的意义分析具体数字得出结果，然后概况它们的共同特征，由特殊到一般地归纳得出结论.
效果：学生又一次经历了观察归纳的数学学习方法.
例4 化简
；（2）；（3）；（4）.
练一练（1）；（2）
意图：引导学生辨析二次根式的性质运用中的常见错误.
效果：学生学会了二次根式的简单化简.
议一议：如何区别与？
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
代数式的定义
学生认真阅读课本第四页下方的内容，填空.
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
想一想：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
初中阶段，到现在为止，我们已经学过的代数式有整式、分式、二次根式.
练一练：1.在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A.7 B.3＞2 C. D．
2.右图是冬奥会的奖牌，正面面积为S，用代数式表示出奖牌的半径为__________.
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.
意图：通过学生自主学习代数式的概念，培养学生从文本中提取关键信息的能力，学会学习.
效果：培养了学生自主阅读学习的能力.
课堂练习
1.下列式子中，不属于二次根式的是（C ）
A. B. C. D.
2.当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
3. 化简：
（1）＝ 3 ; （2） ＝ 4 ;
（3） = 7 ; （4） 81 .
4.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 1 .
5.要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
解：设长方形的宽为cm，根据题意得
解得（负值舍去）
答：它的长为6 cm，宽为4 cm.
6.
意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件，运用非负性解决问题.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
二次根式的概念及有意义的条件；
共同特征：含有二次根号；被开方数为非负数.
二次根式的性质：
双重非负性：；
；
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3.代数式的定义
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
16.1二次根式
1.二次根式的概念及有意义的条件
共同特征：含有二次根号；被开方数为非负数.
2.二次根式的性质：
双重非负性：；
；
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3.代数式的定义
课后反思
本节课运用复习导入，符合学生的学习规律，无论是导入还是方法总结，都注重让学生体会数学的各个知识点是相互联系的.本节课设置了一系列的问题来启发学生的思考，培养学生观察，思考，归纳的数学学习方法，从特殊到一般，循序渐进，让学生在探究中学到知识，学会学习.
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