初中数学人教版八下17.1.1勾股定理教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八下17.1.1勾股定理教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 13:01:50 | ||
图片预览
文档简介
17.1勾股定理
教学内容分析
勾股定理：直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长，勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．
勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路．
我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；要通过对勾股定理的探索和发现，培养学生学好数学的自信心．
教学目标
1.经历勾股定理的探究过程．了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；
2.能用勾股定理解决一些简单问题.
教学重难点
【重点】掌握勾股定理的内容.
【难点】探索并证明勾股定理.
教学方法
问题启发法、探究法、几何直观法.
教学过程
（一）情境导入
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：
意图：通过穿越式的情境创设来引出本章的研究内容，激发学生兴趣.
效果：通过情境展示，学生明白本节课研究的内容.
新课讲授
1.初识勾股定理
问题1 试问A.B.C面积之间有什么样的数量关系？
学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得到结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．
问题2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
意图：从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）．
效果：学生通过观察几何图形的面积关系，初步形成几何直观的意识.
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A.B.C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出：可以通过割、补两种方法求出其面积．
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）
错误!嵌入对象无效。
错误!嵌入对象无效。
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
思考 正方形A.B.C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
教师在学生回答的基础上归纳方法——割补法．可以求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
猜想 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2).
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
意图：在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成．最后通过动图更形象的感受勾股定理.
效果：学生通过一步步的观察、探究和计算，猜想出勾股定理的内容.
2.证明勾股定理
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
证一证 学生通过独立思考，用a，b表示c的面积．如图7，用“割”的方法可得；如图8，用“补”的方法可得．经过整理都可以得到a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
意图：通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维；使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感．
效果：通过了解勾股定理的证明方法，增强了学生学习数学的自信心．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.如：毕达哥拉斯证法和美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
归纳总结 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5，求c;
（2）若a=1，c=2，求b.
变式题1 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a：b=1：2 ，c=5，求a;
（2）若b=15，∠A=30°，求a，c.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
变式题2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例2 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长.
归纳 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
练一练 求下列图中未知数x、y的值：
意图：通过例题的讲解和方法的归纳，让学生掌握勾股定理的内容，以及能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系．
效果：巩固了学生对勾股定理的理解.
课堂练习
1.下列说法中，正确的是 （ C ）
A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为36 cm .
3. 在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=17 .
（2）若c=13，b=12，则a=5 .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为74或24.
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，直角三角形的面积是.
意图：练习题是本节所学的直接运用，意在巩固基础知识.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的证明：
割补法
利用勾股定理进行计算
方程思想、分情况讨论
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
17.1勾股定理
初识勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理的证明
勾股定理的应用
（1）在直角三角形中
（2）分清直角边和斜边
（3）不确定是直角边和斜边时，要分情况讨论
课后反思
本节课运用情境导入，引起了学生的注意，激发了学生学习的兴趣.本节课在探究勾股定理时，设置了一系列的问题来启发学生的思考，培养学生动口、动手、动脑三位一体的学习方法. 在勾股定理证明时，让学生经历“猜想-拼图-证明”的学习过程，培养学生几何直观的数学核心素养，体会古人“出入相补”的思想，增强学生的民族自豪感.
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教学内容分析
勾股定理：直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长，勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．
勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路．
我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；要通过对勾股定理的探索和发现，培养学生学好数学的自信心．
教学目标
1.经历勾股定理的探究过程．了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；
2.能用勾股定理解决一些简单问题.
教学重难点
【重点】掌握勾股定理的内容.
【难点】探索并证明勾股定理.
教学方法
问题启发法、探究法、几何直观法.
教学过程
（一）情境导入
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：
意图：通过穿越式的情境创设来引出本章的研究内容，激发学生兴趣.
效果：通过情境展示，学生明白本节课研究的内容.
新课讲授
1.初识勾股定理
问题1 试问A.B.C面积之间有什么样的数量关系？
学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得到结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．
问题2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
意图：从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）．
效果：学生通过观察几何图形的面积关系，初步形成几何直观的意识.
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A.B.C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出：可以通过割、补两种方法求出其面积．
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）
错误!嵌入对象无效。
错误!嵌入对象无效。
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
思考 正方形A.B.C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
教师在学生回答的基础上归纳方法——割补法．可以求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
猜想 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2).
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
意图：在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成．最后通过动图更形象的感受勾股定理.
效果：学生通过一步步的观察、探究和计算，猜想出勾股定理的内容.
2.证明勾股定理
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
证一证 学生通过独立思考，用a，b表示c的面积．如图7，用“割”的方法可得；如图8，用“补”的方法可得．经过整理都可以得到a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
意图：通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维；使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感．
效果：通过了解勾股定理的证明方法，增强了学生学习数学的自信心．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.如：毕达哥拉斯证法和美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
归纳总结 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5，求c;
（2）若a=1，c=2，求b.
变式题1 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a：b=1：2 ，c=5，求a;
（2）若b=15，∠A=30°，求a，c.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
变式题2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例2 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长.
归纳 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
练一练 求下列图中未知数x、y的值：
意图：通过例题的讲解和方法的归纳，让学生掌握勾股定理的内容，以及能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系．
效果：巩固了学生对勾股定理的理解.
课堂练习
1.下列说法中，正确的是 （ C ）
A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为36 cm .
3. 在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=17 .
（2）若c=13，b=12，则a=5 .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为74或24.
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，直角三角形的面积是.
意图：练习题是本节所学的直接运用，意在巩固基础知识.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的证明：
割补法
利用勾股定理进行计算
方程思想、分情况讨论
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
17.1勾股定理
初识勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理的证明
勾股定理的应用
（1）在直角三角形中
（2）分清直角边和斜边
（3）不确定是直角边和斜边时，要分情况讨论
课后反思
本节课运用情境导入，引起了学生的注意，激发了学生学习的兴趣.本节课在探究勾股定理时，设置了一系列的问题来启发学生的思考，培养学生动口、动手、动脑三位一体的学习方法. 在勾股定理证明时，让学生经历“猜想-拼图-证明”的学习过程，培养学生几何直观的数学核心素养，体会古人“出入相补”的思想，增强学生的民族自豪感.
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