初中数学人教版八下17.2勾股定理的逆定理教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八下17.2勾股定理的逆定理教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 123.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 13:02:00 | ||
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文档简介
17.2勾股定理的逆定理
教学内容分析
勾股定理的逆定理是利用边长关系来判定三角形是直角三角形的一种方法.勾股定理和它的逆定理是互为逆定理的关系，两个定理的题设和结论正好相反，应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，逆命题不一定为真命题.在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法.
运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题.
教学目标
理解勾股定理的逆定理，经历“实验测量—猜想—论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想.
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题
教学重难点
【重点】探究并证明勾股定理的逆定理.
【难点】灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
教学方法
问题启发法、探究法、几何直观法.
教学过程
（一）情境导入
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你认为结论正确吗？
学生测量课本中的三角形的角度，并计算三边长的关系.
意图：介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.
效果：学生通过情境创设，知道了本节课的学习内容.
新课讲授
勾股定理的逆定理
动手验证 具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第4个结和第8个结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.
画图验证 教师指导学生按要求用尺规画出三角形，接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.
发现结论 2.52+62=6.52，42+7.52=8.52.通过度量发现最大角都为90°.
猜想 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
意图：教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论.这种动手、作图、测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程.
效果：学生通过动手、动脑、动口，经历了数学几何中探究猜想的过程.
证一证 要证明一个命题是真命题，我们首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证，请大家完成.
师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过幻灯片(或板书)显示图形、已知及求证.
已知：如图2，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
求证：△ABC是直角三角形
教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A′B′C′全等，那么就证明了△ABC是直角三角形. 为此，我们可以先作出Rt△A′B′C′.
教师在此基础上进一步引导学生分析：构造Rt△A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b，∠C=90°，则△A′B′C′是一个以a，b为直角边长的直角三角形.根据勾股定理得A′B′2=a2+b2.又因为a2+b2=c2，所以A′B′2=c2，即A′B′=c.△ABC和△A′B′C′三边对应相等，可得两个三角形全等，因此∠C=∠C′=90°.△ABC为直角三角形，即猜想是正确的.师生共同规范地完成证明.
当我们证明了猜想是正确的，那么猜想就成为一个定理.我们可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形.
归纳总结：勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长A.B.c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
注意：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务，并规范写出证明过程，培养学生几何语言的运用.
效果：学生学会了规范的几何语言.
例1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=15， b=8，c=17；
(2) a=13， b=14，c=15；
归纳：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
练一练 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC的三边A.B.c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
意图：这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习.通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
效果：学生学会了用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
3.互逆命题与互逆定理
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长A.B.c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2 两个命题的条件和结论有何联系？
归纳总结 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
练一练 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
意图：通过对比和辨析，理解命题和逆命题之间的关系.
效果：学生对命题和逆命题的概念有了清晰的认识.
4.勾股定理的逆定理的应用
例2某港口位于东西方向的海岸线上，远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道远航号沿东北方向航行，你能知道海天号沿哪个方向航行吗？
学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题，教师通过梯次性问题的展示，适时点拨，学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答.
问题1：请同学们认真审题，弄清已知是什么？解决的问题是什么？
学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，“远航”号的航向--东北方向；解决的问题是“海天”号的航向.
问题2：在所画的图中哪个角能够表示“海天”号的航向？图中知道哪个角的度数.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
学生小组讨论交流回答问题，“海天”号的航向只要能确定∠QPR的大小即可.组内讨论解答，小组代表展示解答过程，教师适时点评，多媒体展示规范解答过程.
解：由题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
所以∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°.
归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息，明确已知和所求；应用数学知识求解.
练一练
1.A.B.C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
意图：学生在规范化的解答过程、方法归纳总结及练习中，提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.
效果：学生加深了对勾股定理逆定理的理解，培养了将实际问题转化为几何问题的建模思想和几何直观的素养.
课堂练习
1.下列各组数能构成直角三角形三边的是 ( B )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( A )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A， ∠B， ∠C的对边分别a，b，c.
①若∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形；
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，在四边形ABCD中AB＝4 m，BC＝3 m，CD＝13 m，AD＝12 m，∠B＝90°.
求四边形ABCD的面积.
解：连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4m，BC=3m
在△ADC中，AD=12 m，AC=5 m，CD=13 m
意图：考查运用勾股定理的逆定理解决几何问题和实际生活问题.
效果：检测了学生对勾股定理逆定理的掌握情况.
课堂小结
教师引导学生参照下面两个方面回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流.
（1）知识总结：勾股定理逆定理实际应用.
（2）方法归纳：勾股定理逆定理的实际应用.
（3）思想提升：数学建模的思想、几何直观的数学素养.
意图：通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
17.2勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
2.勾股定理逆定理的应用
课后反思
本节课创设古埃及人绳子打结构建直角三角形的情境导入，抛出问题，激发学生学习本节课来解决问题的好奇心. 在探究勾股定理的逆定理时，让学生经历画图、测量、猜测、验证的几何探究过程，使学生手、脑、口三位一体的进行学习，充分的调动了学生的学习能动性，实现了深度思考和学习.在用勾股定理逆定理解决实际问题时，本节课有意识的引导学生将实际问题转化成几何模型，培养学生建模的思想，再结合所学的勾股定理逆定理的知识来解决问题，培养学生几何直观的数学核心素养.
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教学内容分析
勾股定理的逆定理是利用边长关系来判定三角形是直角三角形的一种方法.勾股定理和它的逆定理是互为逆定理的关系，两个定理的题设和结论正好相反，应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，逆命题不一定为真命题.在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法.
运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题.
教学目标
理解勾股定理的逆定理，经历“实验测量—猜想—论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想.
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题
教学重难点
【重点】探究并证明勾股定理的逆定理.
【难点】灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
教学方法
问题启发法、探究法、几何直观法.
教学过程
（一）情境导入
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你认为结论正确吗？
学生测量课本中的三角形的角度，并计算三边长的关系.
意图：介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.
效果：学生通过情境创设，知道了本节课的学习内容.
新课讲授
勾股定理的逆定理
动手验证 具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第4个结和第8个结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.
画图验证 教师指导学生按要求用尺规画出三角形，接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为90°.
发现结论 2.52+62=6.52，42+7.52=8.52.通过度量发现最大角都为90°.
猜想 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
意图：教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论.这种动手、作图、测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程.
效果：学生通过动手、动脑、动口，经历了数学几何中探究猜想的过程.
证一证 要证明一个命题是真命题，我们首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证，请大家完成.
师生活动：学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过幻灯片(或板书)显示图形、已知及求证.
已知：如图2，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
求证：△ABC是直角三角形
教师启发，如果能证明△ABC与一个以a，b为直角边长的Rt△A′B′C′全等，那么就证明了△ABC是直角三角形. 为此，我们可以先作出Rt△A′B′C′.
教师在此基础上进一步引导学生分析：构造Rt△A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b，∠C=90°，则△A′B′C′是一个以a，b为直角边长的直角三角形.根据勾股定理得A′B′2=a2+b2.又因为a2+b2=c2，所以A′B′2=c2，即A′B′=c.△ABC和△A′B′C′三边对应相等，可得两个三角形全等，因此∠C=∠C′=90°.△ABC为直角三角形，即猜想是正确的.师生共同规范地完成证明.
当我们证明了猜想是正确的，那么猜想就成为一个定理.我们可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形.
归纳总结：勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长A.B.c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
注意：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务，并规范写出证明过程，培养学生几何语言的运用.
效果：学生学会了规范的几何语言.
例1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=15， b=8，c=17；
(2) a=13， b=14，c=15；
归纳：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
练一练 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC的三边A.B.c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
意图：这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习.通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
效果：学生学会了用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
3.互逆命题与互逆定理
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长A.B.c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2 两个命题的条件和结论有何联系？
归纳总结 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
练一练 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
意图：通过对比和辨析，理解命题和逆命题之间的关系.
效果：学生对命题和逆命题的概念有了清晰的认识.
4.勾股定理的逆定理的应用
例2某港口位于东西方向的海岸线上，远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道远航号沿东北方向航行，你能知道海天号沿哪个方向航行吗？
学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题，教师通过梯次性问题的展示，适时点拨，学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答.
问题1：请同学们认真审题，弄清已知是什么？解决的问题是什么？
学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，“远航”号的航向--东北方向；解决的问题是“海天”号的航向.
问题2：在所画的图中哪个角能够表示“海天”号的航向？图中知道哪个角的度数.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
学生小组讨论交流回答问题，“海天”号的航向只要能确定∠QPR的大小即可.组内讨论解答，小组代表展示解答过程，教师适时点评，多媒体展示规范解答过程.
解：由题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
所以∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°.
归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息，明确已知和所求；应用数学知识求解.
练一练
1.A.B.C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
意图：学生在规范化的解答过程、方法归纳总结及练习中，提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.
效果：学生加深了对勾股定理逆定理的理解，培养了将实际问题转化为几何问题的建模思想和几何直观的素养.
课堂练习
1.下列各组数能构成直角三角形三边的是 ( B )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( A )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A， ∠B， ∠C的对边分别a，b，c.
①若∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形；
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，在四边形ABCD中AB＝4 m，BC＝3 m，CD＝13 m，AD＝12 m，∠B＝90°.
求四边形ABCD的面积.
解：连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4m，BC=3m
在△ADC中，AD=12 m，AC=5 m，CD=13 m
意图：考查运用勾股定理的逆定理解决几何问题和实际生活问题.
效果：检测了学生对勾股定理逆定理的掌握情况.
课堂小结
教师引导学生参照下面两个方面回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流.
（1）知识总结：勾股定理逆定理实际应用.
（2）方法归纳：勾股定理逆定理的实际应用.
（3）思想提升：数学建模的思想、几何直观的数学素养.
意图：通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
17.2勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
2.勾股定理逆定理的应用
课后反思
本节课创设古埃及人绳子打结构建直角三角形的情境导入，抛出问题，激发学生学习本节课来解决问题的好奇心. 在探究勾股定理的逆定理时，让学生经历画图、测量、猜测、验证的几何探究过程，使学生手、脑、口三位一体的进行学习，充分的调动了学生的学习能动性，实现了深度思考和学习.在用勾股定理逆定理解决实际问题时，本节课有意识的引导学生将实际问题转化成几何模型，培养学生建模的思想，再结合所学的勾股定理逆定理的知识来解决问题，培养学生几何直观的数学核心素养.
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