初中数学人教版八下18.2.3正方形 教案

18.2.3正方形
教学内容分析
正方形是最特殊的平行四边形，因此正方形具有菱形，矩形，平行四边形的所有性质，当然正方形的判定条件也最多，既是菱形，又是矩形，才能是正方形. 因此正方形的研究思路借鉴了其他特殊平行四边形的研究方法，从动态的角度演示几何图形的变化，这是一个从一般到特殊的动态演变过程，培养学生几何直观的数学素养，同时将学过的几种平行四边形进行对比，辨析各种图形的区别和联系.
二、教学目标
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质和判定定理，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质和判定定理解决相关证明及计算问题.
三、教学重难点
【重点】探索并证明正方形的性质和判定定理，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
【难点】会应用正方形的性质和判定定理解决相关证明及计算问题.
四、教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
五、教学过程
（一）图片导入
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
意图：从身边熟悉的图形出发，并从中抽象出正方形，使学生感受到数学学习是有趣、有用的，从而引入课题.
效果：激发了学生学习正方形的兴趣.
正方形的定义
问题1 矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
归纳总结 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
意图：借助几何图形的动态变化，让学生直观感知矩形的边和菱形的角的变化带来的图形的改变.体会正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，自然引出正方形的概念.
效果：学生直观感受到了正方形和矩形、菱形间的联系.
正方形的性质
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
归纳：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
观察发现：
角：四个角都是直角.
边：四条边相等.
对角线：对角线相等且互相垂直平分.
对称性：轴对称图形（4条对称轴）.
证一证 已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°， AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义），
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，
AB= BC=CD=AD.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC.BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
归纳总结：
意图：从正方形的定义出发，比较正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别和联系，从而引导学生从图像上直观猜想正方形的性质，之后学生自主进行证明，并将正方形的性质转化为几何语言，增强学生的符号意识.
效果：学生通过比较探究出了正方形的性质．
例1 求证： 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知： 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC.BD相交于点O.
求证： △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
意图：通过例题让学生体会正方形中包含等腰直角三角形，可以将四边形转化为三角形来解决相关问题，培养学生转化的思想.
效果：学生理解了可以将正方形转化为等腰直角三角形来解决问题.
练一练 （1）正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( B )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
（2）正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
证一证 对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC， DB是它的两条对角线， AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，
∴ AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
证一证 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC.DB是它的两条对角线， AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，
∴ AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
总结归纳 正方形判定的几条途径：
意图：通过学生熟悉的折纸引入正方形的判定，经历图形变化演绎的过程，初步得出正方形的判定，然后学生自己证明正方形的判定定理，归纳出判定正方形的几条途径，也更清楚的理解了正方形和其他特殊平行四边形的关系.
效果：学生通过观察探究得出正方形判定的几种方法，更清楚的理解了正方形和平行四边形、矩形、菱形间的关系.
练一练
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
例2 在正方形ABCD中，点E.F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗？为什么？
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
意图：学生结合中位线的知识来判断中点四边形的形状，巩固平行四边形、菱形、正方形等平行四边形的判定，培养学生将所学知识进行整合联系解决问题的能力.
效果：学生巩固了平行四边形、菱形、正方形的判定方法.
课堂练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（A　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　A　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　D　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
4.如图，已知正方形ABCD ，以AB为边向正方形外作等边△ABE，连结DE 、 CE ，求∠DEC的度数.
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE，
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE，∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
5.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
（3）由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
意图：让学生初步使用学到的知识解决问题，并体会学习的乐趣.
效果：检测了学生对正方形性质和判定的理解和运用.
课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容，谈谈自己的收获.
1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
2. 正方形的性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
3. 正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
作业布置
完成配套练习
板书设计
18.2.3正方形
1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
2. 正方形的性质：① 四个角都是直角;
② 四条边都相等;
③ 对角线相等且互相垂直平分.
3. 正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
七、教学反思
正方形是学生都比较熟悉的图形，在本节课中没有设置过多的讨论环节，而是让学生从直观的图形演绎角度，让学生自己去比较辨析，去观察并证明正方形的性质，得出正方形是特殊的平行四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.之后让学生利用图形直观观察正方形是怎样得到的，从而归纳正方形判定的几种方法.在整节课中注意将学生本章所学的知识点串联起来，重点培养学生的几何直观的核心素养.
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