初中数学人教版八下19.1.1变量与函数教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八下19.1.1变量与函数教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 13:12:38 | ||
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文档简介
19.1.1变量与函数
教学内容分析
本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量.有了变量的概念，便为研究函数关系两变量的关系打下基础.函数概念是中学数学的核心概念，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础.函数与方程、不等式等知识也有密切的联系，在概念探索过程中可以让学生感受到函数的模型的思想.
教学目标
1.了解变量与常量的意义，在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式；
2.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系；
3.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围.
教学重难点
【重点】理解变量和常量的概念，从而理解函数的概念.
【难点】能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）图片导入
图片展示，“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化......在我们周围事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
意图：多媒体展示现实生活中事物变化的图片，让学生初步感受运动变化中的数量关系，引入课题.
效果：学生初步感受到一个量随另一个量的变化而变化的现象在生活中大量存在.
新课讲授
常量与变量：
问题1 填表并完成下列四个小题
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，填写下表：
t/时 1 2 3 4 5
S/千米
问：s的值随t值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含t的式子表示s.
（2）每张电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售x张，票房收入y元，填写下表:
x/张 150 203 310
y/元
问：y的值随x值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含x的式子表示y.
（3）圆的半径r分别为10cm、20cm、30cm时，圆的面积s分别为多少？填写下表：
r/cm 10 20 30
问：s的值随r值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含r的式子表示s.
用10m的长的绳子围一个矩形，当矩形的一个边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，他的邻边长为y，填写下表：
x/m 2 3.5 4.5
Y/m
问：y的值随x值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含x的式子表示y.
教师和学生通过一起计算填表，并分析以上四个问题中的每一个问题，发现其中有些量的数值是变化的，有些量的数值是不变的.在这个过程中领会“变量”“常量”的含义.
思考归纳 上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
学生思考并回答，教师给予引导，归纳总结出“变量”“常量”的含义.
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量；例如时间t，路程s，售出票数x，票房y......
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量；例如速度60 km/h，x票价10元/张......
意图：通过例子，为概念的产生提供了丰富全面的素材，有利于学生对概念抽象的理解感知“变量”“常量”的含义，为后面学习函数概念做准备.
效果：学生经过归纳和思考概括出了变量和常量的定义.
典例精析 例1 指出下列事件过程中的常量与变量
某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；
周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；
例2 阅读并完成下面一段叙述：
（1）某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ，变量是 .
（2） s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ，变量是 .
（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： .
方法归纳 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
意图：通过实例练习，加深学生对常量、变量概念的理解.
效果：学生加深了对常量和变量的理解.
函数的相关概念
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，试填下表：
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)？
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
练一练 如果弹簧原长为12 cm，每1 kg重物使弹簧压缩0.5 cm，则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为 .
思考：上面的四个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、路程 s；
②票数x、收入y；
③半径r、面积S；
④边长x、邻边y.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
归纳 每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
知识要点 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
练一练 填表并回答问题：
对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？
答： 不是.
（2）y是x的函数吗？为什么？
答：不是，因为y的值不是唯一的.
例3 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；③y =2|x|；④；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
归纳 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
意图：首先对能用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括.在此基础上，概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征，形成函数概念.
效果：学生通过实例理解了函数的概念.
确定自变量的取值范围
问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
思考 问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
例4 汽车的油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
写出表示y与x的函数关系的式子.
y = 50－0.1x
叫做函数的解析式.
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0
得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
归纳 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
当 x = 200时，函数 y 的值为y=50－0.1×200=30.因此，当汽车行驶200 km时，油箱中还有油30 L.
想一想：下列函数中自变量x的取值范围是什么？
教师引导学生：使函数解析式有意义的自变量的全体.
意图：从实际意义和数式的意义出发，求函数中自变量的取值范围，加深学生对函数模型的理解.
效果：学生明白了自变量要符合实际意义.
课堂练习
1.若球体体积为V，半径为R，则V=，其中变量是 V 、 R ，常量是 ， π .
2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 50 .
3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是 Q=40-5t ，其中的常量是 40，5 ，变量是 Q，t .
4.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C )
A. B.
C. D.
5.油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 .
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
意图：更深入的理解了常量变量和函数的概念，确定函数自变量的取值范围.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：
1. 常量和变量
常量：数值始终不变的量.变量：数值发生变化的量.
2.函数的概念
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.自变量的取值范围
使函数解析式有意义的自变量的全体.
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
（五）作业布置
完成配套练习
六、板书设计
19.1变量与函数
1. 常量和变量
常量：数值始终不变的量.变量：数值发生变化的量.
2.函数的概念
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.自变量的取值范围
使函数解析式有意义的自变量的全体.
七、教学反思
本课从万物皆变引入课题，然后用四个简单的实际问题归纳出常量和变量的概念，引导学生用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化，归纳出变量之间的关系，从而引出函数的概念.函数是描述物体运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系.本节课着重培养学生从实际问题中建立简单数量关系的建模思想，和观察归纳概括的能力，培养学生的数学核心素养.
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教学内容分析
本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量.有了变量的概念，便为研究函数关系两变量的关系打下基础.函数概念是中学数学的核心概念，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础.函数与方程、不等式等知识也有密切的联系，在概念探索过程中可以让学生感受到函数的模型的思想.
教学目标
1.了解变量与常量的意义，在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式；
2.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系；
3.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围.
教学重难点
【重点】理解变量和常量的概念，从而理解函数的概念.
【难点】能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）图片导入
图片展示，“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化......在我们周围事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
意图：多媒体展示现实生活中事物变化的图片，让学生初步感受运动变化中的数量关系，引入课题.
效果：学生初步感受到一个量随另一个量的变化而变化的现象在生活中大量存在.
新课讲授
常量与变量：
问题1 填表并完成下列四个小题
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，填写下表：
t/时 1 2 3 4 5
S/千米
问：s的值随t值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含t的式子表示s.
（2）每张电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售x张，票房收入y元，填写下表:
x/张 150 203 310
y/元
问：y的值随x值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含x的式子表示y.
（3）圆的半径r分别为10cm、20cm、30cm时，圆的面积s分别为多少？填写下表：
r/cm 10 20 30
问：s的值随r值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含r的式子表示s.
用10m的长的绳子围一个矩形，当矩形的一个边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，他的邻边长为y，填写下表：
x/m 2 3.5 4.5
Y/m
问：y的值随x值变化吗？变化的量是_____，不变的量是______；试着用含x的式子表示y.
教师和学生通过一起计算填表，并分析以上四个问题中的每一个问题，发现其中有些量的数值是变化的，有些量的数值是不变的.在这个过程中领会“变量”“常量”的含义.
思考归纳 上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
学生思考并回答，教师给予引导，归纳总结出“变量”“常量”的含义.
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量；例如时间t，路程s，售出票数x，票房y......
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量；例如速度60 km/h，x票价10元/张......
意图：通过例子，为概念的产生提供了丰富全面的素材，有利于学生对概念抽象的理解感知“变量”“常量”的含义，为后面学习函数概念做准备.
效果：学生经过归纳和思考概括出了变量和常量的定义.
典例精析 例1 指出下列事件过程中的常量与变量
某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；
周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；
例2 阅读并完成下面一段叙述：
（1）某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ，变量是 .
（2） s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ，变量是 .
（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： .
方法归纳 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
意图：通过实例练习，加深学生对常量、变量概念的理解.
效果：学生加深了对常量和变量的理解.
函数的相关概念
例3 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，试填下表：
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)？
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
练一练 如果弹簧原长为12 cm，每1 kg重物使弹簧压缩0.5 cm，则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)为 .
思考：上面的四个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、路程 s；
②票数x、收入y；
③半径r、面积S；
④边长x、邻边y.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
归纳 每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
知识要点 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
练一练 填表并回答问题：
对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？
答： 不是.
（2）y是x的函数吗？为什么？
答：不是，因为y的值不是唯一的.
例3 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；③y =2|x|；④；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
归纳 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
意图：首先对能用解析式表示的变量之间的对应关系的共同特征进行初步概括.在此基础上，概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征，形成函数概念.
效果：学生通过实例理解了函数的概念.
确定自变量的取值范围
问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
思考 问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
例4 汽车的油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
写出表示y与x的函数关系的式子.
y = 50－0.1x
叫做函数的解析式.
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0
得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
归纳 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
当 x = 200时，函数 y 的值为y=50－0.1×200=30.因此，当汽车行驶200 km时，油箱中还有油30 L.
想一想：下列函数中自变量x的取值范围是什么？
教师引导学生：使函数解析式有意义的自变量的全体.
意图：从实际意义和数式的意义出发，求函数中自变量的取值范围，加深学生对函数模型的理解.
效果：学生明白了自变量要符合实际意义.
课堂练习
1.若球体体积为V，半径为R，则V=，其中变量是 V 、 R ，常量是 ， π .
2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 50 .
3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是 Q=40-5t ，其中的常量是 40，5 ，变量是 Q，t .
4.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C )
A. B.
C. D.
5.油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 .
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
意图：更深入的理解了常量变量和函数的概念，确定函数自变量的取值范围.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：
1. 常量和变量
常量：数值始终不变的量.变量：数值发生变化的量.
2.函数的概念
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.自变量的取值范围
使函数解析式有意义的自变量的全体.
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
（五）作业布置
完成配套练习
六、板书设计
19.1变量与函数
1. 常量和变量
常量：数值始终不变的量.变量：数值发生变化的量.
2.函数的概念
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.自变量的取值范围
使函数解析式有意义的自变量的全体.
七、教学反思
本课从万物皆变引入课题，然后用四个简单的实际问题归纳出常量和变量的概念，引导学生用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化，归纳出变量之间的关系，从而引出函数的概念.函数是描述物体运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系.本节课着重培养学生从实际问题中建立简单数量关系的建模思想，和观察归纳概括的能力，培养学生的数学核心素养.
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