初中数学华师大版七上5.1.2垂线 习题（含解析）

《5.1.2垂线》同步检测
选择题：
1．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝25°，则∠AOC的度数（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2.如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝5∠DOB，则∠COD的度数（　　）
A．50° B．55° C．60° D．70°
3．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（　　）的长度．
A．CD B．AD C．BD D．BC
4．如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.3 D．5
5．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC﹣∠AEC＝20°，那么∠AED的度数为（　　）
A．125° B．135° C．140° D．145°
6．如图，点P到直线公路MN共有四条路，若要从点P到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是（　　）
A．PA B．PB C．PC D．PD
7．已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作AB⊥CD，垂足为B，CD为河岸，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（　　）
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
9．如图，为了解决村民饮水困难，需要在河边建立取水点，下面四个点中哪个最方便作为取水点（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
填空题：
10．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 　 　点．理由：　 　．
11．如图，直线AB.EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 　 　．
12．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠AOD＝120°，那么∠COB的度数为 　 　；
13．如图，点P是直线l外一点，过点P作PO⊥l于点O，点A是直线l上任意一点，连接PA，若PO＝3，则PA的长可能是 　 　（写出一个即可）．
14．在△ABC中，D为线段BC上一动点．
（1）当∠ADB＝50°时，可得：∠ADC＝130°，这一步骤的依据是：　 　；
（2）当∠ADB＝90°时，在线段AB，AC和AD中，线段AD的长度最短，理由是：　 　．
15．如图，直线AB.CD相交于点O，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠DOF＝2∠BOD，则∠AOC的度数为 　 　．
16．如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点O为端点的射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为 　．
解答题：
如图，三角形ABC中，∠C=90°，
（1）点A到直线BC的距离是哪条线段的长度？
（2）点B到直线AC的距离是哪条线段的长度？
（3）AB，AC，BC这三条线段中，哪条线段最长？
18.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）①图中与∠AOC互余的角是 　 　；
②与∠COE互补的角是 　 　．（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC＝30°，求∠E0F和∠EOD的度数．
解：（2）因为OE⊥AB，
所以∠AOC+　 　＝90°．
因为OF⊥CD，
∠AOC+　 　＝90°．
因为∠AOC＝30°，
所以∠EOC＝∠AOF＝　 　，
所以∠EOF＝　 　．
因为OE⊥AB，
所以∠EOB＝　 　．
因为∠AOC＝　 　（对顶角相等），
又∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝　 　，
所以∠EOD＝　 　．
19.如图，直线CD，EF相交于点O，OA⊥OB，若∠AOE＝60°，∠COF＝75°，求∠BOD的度数．
20.如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
参考答案：
1.B解：∵m⊥n，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．
故选：B．
2.C解：∵∠AOD＝5∠BOD，设∠BOD＝x°，∠AOD＝5x°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴x+5x＝180．∴x＝30，∴∠BOD＝30°，
∵CO⊥AB，∴∠BOC＝90°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°﹣30°＝60°．
故选：C．
3.解：∵CD⊥AB，
∴点A到AB的距离是线段AD的长度，
故选：B．
4.解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴点P到直线l的距离为垂线段PO的长度，
故选：B．
5.解：设∠AEC为x，则∠FEC＝x+20°；
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠FEC＝90°，
∴x+x+20°＝90°，
解得：x＝35°，
即∠AEC＝35°，
∴∠AED＝180°﹣35°＝145°．
故选：D．
6.解：∵从点P到公路，用相同速度行走，最快到达，
∴需要点P到公路MN的距离最短，
∵垂线段最短，
∴PB是最快到达的路径．
故选：B．
7.解：∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴点P画直线l的垂线，只能画一条．
故选：A．
8.解：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，
故选：D．
9.解：如图，设村庄为点E，
由于EB⊥AD，点B到村庄的距离最近．
故选：B．
填空题：
10.解：根据垂线段最短可得：应建在A处，理由：垂线段最短．故答案为：A，垂线段最短．
11.解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠DOF＝∠EOC＝52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38°．
12.解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BOC＝∠DOC﹣∠DOB＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°．
13.解：∵PO⊥l于点O，点A是直线l上任意一点，PO＝3，
∴3≤AP，
∴AP的长可能是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
14.解：（1）∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝50°，
∴∠ADC＝130°，
故依据是邻补角互补．
故答案为：邻补角互补；
（2）∵AD⊥BC，
∴AD＜AB，AD＜AC，
∴当∠ADB＝90°时，在线段AB，AC和AD中，线段AD的长度最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
15.解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∵∠EOF＝142°，
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠EOD＝52°．
∵∠DOF＝2∠BOD，
∴∠BOD＝∠DOF＝26°．
∴∠AOC＝∠BOD＝26°．
故答案为：26°
16.解：
∵∠BOC＝×180°＝60°，
又∵OE⊥CD
∴∠COE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°．
当点E′在EO的延长线上时，∠BOE′＝∠COE′+∠BOC＝90°+60°＝150°
故答案是：30°或150°．
解答题：
17.解：（1）AC（2）BC（3）AB
18.解：（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOC+∠COE＝90°，
∠AOC+∠AOF＝90°，
∴图中与∠AOC互余的角是∠COE，∠AOF；
②由①得∠COE＝∠AOF，
∵∠COE+∠EOD＝180°，
∠AOF+∠BOF＝180°，
∴与∠COE互补的角是∠EOD，∠BOF，
故答案为：∠COE，∠AOF；∠EOD，∠BOF；
（2）因为OE⊥AB，
所以∠AOC+∠COE＝90°．
因为OF⊥CD，
∠AOC+∠AOF＝90°．
因为∠AOC＝30°，
所以∠EOC＝∠AOF＝60°，
所以∠EOF＝150°．
因为OE⊥AB，
所以∠EOB＝90°．
因为∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
又∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝30°，
所以∠EOD＝120°．
故答案为：∠COE，∠AOF，60°，150°，90°．∠BOD，30°，120°．
19.解：∵∠COF＝75°，
∴∠DOE＝∠COF＝75°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
又∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°．
20.（1）解：∵BF⊥AE，
∴∠EBF＝∠ABF＝90°，
∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，
∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．
证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，
∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，
∵∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．
1