初中数学人教版 九下27.2.3相似三角形应用举例 第1课时 同步检测（含解析）

27.2.3相似三角形应用举例
一、单选题
1．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米，若小芳身高只有1.2 m，则她的影长为（　　）
A．1.2m B．1.6m C． 1.4m D．1.8m
2．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．16cm B． 14cm C．25cm D．32cm
3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（　　）
A．21.6m B．6.6m C．20.6m D．7.6m
4．如图，图1是装了液体的高脚杯，加入一些液体后如图2所示，则此时液面AB为（ ）
A．5.6cm B．10cm C．8cm D． 6.4cm
5．如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5 m的标准视力表制作了一个测试距离为3 m的视力表.如果标准视力表中“E”的高a是72.7 mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（ ）
A．121.17 mm B．43.62 mm C．43.36 mm D．29.08 mm
二、填空题
6．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米则球拍击球的高度h为_________米．
7．如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙2米，此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子AB的长为_____米．
8. 为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测BD=120m，
CD=40m，EC=30m，那么河宽 米.
9．雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场有一处积水，若小李距积水2m，他正好从水面上看到距他约10m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水面大小忽略不计）．已知小李身高1.6m，请你计算一下树高大约是 米？（积水与树和人都在同一直线上）
10．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的长度为_____m．
11．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方．
12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径AB=5尺，立木高BD=3尺，BE=寸=0.5尺，则井深AC为______尺．
13．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，则窗户的高度为_________m．
三、解答题
14．如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．
（1）求立柱OC的高度；
（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答.
参考答案
1． C
【解析】设小芳的影长为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出h的值即可．
【详解】解：设小芳的影长为h米
∵同一时刻物高与影长成正比
∴
解得h＝1.4 故选C
2．A
【解析】如图，过O作OG⊥AB于G，过O作OK⊥CD于K再利用相似三角形的对应高之比等于相似比列方程，再解方程即可.
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，过O作OK⊥CD于K
由小孔成像原理可得： △AOB∽△COD
∴而
所以CD=16（cm），经检验符合题意. 故选A
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应高之比等于相似比”是解本题的关键.
3．B
【解析】根据△DEF∽△DCB即可求得BC的长，进而求得树高AB
【详解】解：依题意∠EDF=∠CDB，EF⊥DE，BC⊥DC
∴∠DEF=∠DCB
∴△DEF∽△DCB
∵DE=30cm，EF=15cm，CD=10m，AC=1.6m，
m
∴AB=AC+BC=1.6+5=6.6 m 故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．
4．D
【解析】根据两三角形相似，列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得AB=6.4．故选D
5．B
【解析】给图中图形标上顶点，利用三角形相似，得到对应边的比例式，最后代值即可求出高b．
【详解】解：如下图所示：
由题意可知：△ABC∽△ADE，
故有：，故选：B．
6．1.4
【解析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性质求解．
【详解】解：如图，∵DB//EC，
∴△ADB∽△AEC，
∴即0.8×（4+3）=4h，
∴h=1.4 (m)．
故答案为1.4．
7．6
【解析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
【详解】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴∠AED=∠ACB=90°；
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC
∴△ADE∽△ABC ，
；
设梯子AB的长为x米，
∵BC=2，DE=1.8，BD=0.6，，
∴x=6，即梯子的长度为6米．故答案为：6
8．90 m
【解析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB的长即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B=∠C=90°
又∵∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△ECD，
∴AB：CE＝BD：CD，
即AB：30＝120：40，
∴AB＝90（m），
即这条河的大致宽度是90 m．
9．6.4米
【解析】根据题意得：△CDE∽△ABE，然后利用相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：由题意得：△CDE∽△ABE，
∴，
∵CD=1.6，DE=2，BE=8，
即： ，解得：AB=6.4，所以树高大约是6.4米．
10．2.3
【解析】过N点作ND⊥PQ于点D，根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的得到，求出QD的长，即可求出结果．
【详解】解：如图，过N点作ND⊥PQ于点D，
则四边形DPMN是矩形，
∴DN=PM
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，
∴，
∵AB=2m，BC=1.6m，PM=1.2m，MN=0.8m，
∴，
∴PQ=QD+DP=QD+MN=1.5+0.8=2.3m．
11．60
【解析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
【详解】解：如图，AB=20 cm，OF=15 cm，CD=5 cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴
解得OE=60 cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60 cm的地方．故答案为：60．
12．27
【解析】根据AC∥BD，得到△ACE∽△BDE，进而得到，代入数值，求出AC，问题得解．
【详解】解：∵AC∥BD，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
即，
解得AC=27，
故井深AC为27尺．
故答案为：27
13．2
【解析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
【详解】解：∵BN∥AM，
∴△CBN∽△CAM，
∴，
∵CN=1.5，CM=4.5，BC=1，
∴，
∴AC=3，
∴AB=AC-BC=2m，
答：窗户的高度AB是2m．
14．(1)0.5米
(2)设计方法为：要使小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点O的距离变为0.4BD，即BO=0.4BD
【解析】（1）标注点D，根据题意证明出Rt△ABD∽Rt△CBO，得到，再根据C，O分别为AB，BD的中点，即可得到；
（2）利用三角形相似来设计，同样先证明Rt△ABD∽Rt△CBO，得，根据AD=1.25，CO=0.5，找到BD，BO之间的关系即可．
(1)解：标注点D如下图：
根据题意在Rt△ABD和Rt△CBO中
∵∠B=∠B，∠ADB=∠COB=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△CBO，
，
分别为AB的中点，
，
，
∴OC=0.5（米）；
(2)解：设计方法为：要使小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点O的距离变为0.4BD ，即BO=0.4BD，过程如下：
根据题意作如下图形，
根据题意在Rt△ABD和Rt△CBO，
∵∠B=∠B，∠ADB=∠COB=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△CBO，
，
∵AD=1.25，CO=0.5，
，
∴BO=0.4BD（米）；
∴小明想要把小聪最高翘到1.25米高，只需要将小明距离点O的距离变为0.4BD，即BO=0.4BD即可．
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