初中数学人教版八上12.3角平分线的性质第2课时 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八上12.3角平分线的性质第2课时 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 478.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 14:01:33 | ||
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文档简介
12.3角平分线的性质第2课时
【教学目标】
1．知识与技能：了解角的平分线的判定定理；会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
2.过程与方法：在探究角的平分线的判定定理的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
3.情感态度与价值观：在探究作角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
【教学重难点】
重点：角的平分线的判定定理的证明及.
难点：角的平分线的判定的应用.
【教学方法】
情境教学法、动手实践法.
【教学过程】
新课导入：
回顾：说出角平分线的性质条件与结论.画出基本图形并分析图形特征.
创设情境，提出问题：
思考1：如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
提醒学生：根据已有的知识经验判断：在S 区建一个集贸市场，建在公路、铁路的角平分线上.
新课讲授：
（一）角平分线的判定
思考2：在这个问题中我们已有的条件和得出的结论分别是什么呢？用数学语言来描述.
条件：点到角的两边距离相等，结论:点在角的平分线上.
在学习了角平分线的性质的前提下结合实际问题，由学生动脑探索，引入新知归纳：
角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）．
思考3：你能证明这个结论的正确性吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴∠AOP=∠BOP
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
角相等 线段相等
从左到右的推理是角平分线的性质；从右到左的推理是角平分线性质的逆定理.
综合以上所学进行概括，角平分线的性质与判定，为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.
开展活动一：别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
学生动手实践得出如下图形：
学生归纳活动结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
开展活动二：在上图中，分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
学生根据所画图形通过测量归纳结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
证明这个结论：
例2：如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
证明：过P 点作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线，点P 在BM 上，
∴PD = PE .
同理 PE = PF .
∴ PD = PE = PF .
即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
课堂练习：
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，
∴FM＝FH.∴ FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
2. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
答案：D.
3.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
答案：A.
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
课堂小结：
1．本节课学习了哪些主要内容？
2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的判定的？
3．应用角平分线的判定应注意哪些问题？
作业布置：
1. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
2.收集2道角的平分线和判定综合运用的习题并完成解答.
3.完成本节课配套习题.
【板书设计】
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件 OP平分∠AOB， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E. PD=PE， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，
结论 PD=PE OP平分∠AOB
【课后反思】
本节课借助于小组实践活动引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握. 不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.
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【教学目标】
1．知识与技能：了解角的平分线的判定定理；会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
2.过程与方法：在探究角的平分线的判定定理的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
3.情感态度与价值观：在探究作角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
【教学重难点】
重点：角的平分线的判定定理的证明及.
难点：角的平分线的判定的应用.
【教学方法】
情境教学法、动手实践法.
【教学过程】
新课导入：
回顾：说出角平分线的性质条件与结论.画出基本图形并分析图形特征.
创设情境，提出问题：
思考1：如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
提醒学生：根据已有的知识经验判断：在S 区建一个集贸市场，建在公路、铁路的角平分线上.
新课讲授：
（一）角平分线的判定
思考2：在这个问题中我们已有的条件和得出的结论分别是什么呢？用数学语言来描述.
条件：点到角的两边距离相等，结论:点在角的平分线上.
在学习了角平分线的性质的前提下结合实际问题，由学生动脑探索，引入新知归纳：
角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）．
思考3：你能证明这个结论的正确性吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴∠AOP=∠BOP
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
角相等 线段相等
从左到右的推理是角平分线的性质；从右到左的推理是角平分线性质的逆定理.
综合以上所学进行概括，角平分线的性质与判定，为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.
开展活动一：别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
学生动手实践得出如下图形：
学生归纳活动结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
开展活动二：在上图中，分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
学生根据所画图形通过测量归纳结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
证明这个结论：
例2：如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
证明：过P 点作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线，点P 在BM 上，
∴PD = PE .
同理 PE = PF .
∴ PD = PE = PF .
即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
课堂练习：
1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，
∴FM＝FH.∴ FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
2. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
答案：D.
3.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
答案：A.
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
课堂小结：
1．本节课学习了哪些主要内容？
2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的判定的？
3．应用角平分线的判定应注意哪些问题？
作业布置：
1. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
2.收集2道角的平分线和判定综合运用的习题并完成解答.
3.完成本节课配套习题.
【板书设计】
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件 OP平分∠AOB， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E. PD=PE， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，
结论 PD=PE OP平分∠AOB
【课后反思】
本节课借助于小组实践活动引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握. 不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.
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