初中数学人教版八上13.1.2线段的垂直平分线的性质 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八上13.1.2线段的垂直平分线的性质 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 214.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 14:08:13 | ||
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文档简介
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
【教学目标】
1．知识与技能：理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定，并会运用其性质和判定解决有关问题；会用尺规作已知线段的垂直平分线.
2.过程与方法：经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力.
3.情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线性质的探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.
【教学重难点】
重点：探索并证明线段垂直平分线的性质；理解线段的垂直平分线的判定定理，能运用其解决简单的问题.
难点：证明“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”；过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.
【教学方法】
观察、实验法、启发式教学法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
1.说出图形轴对称的性质有哪些.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
2.某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
复习旧知后，设疑思考，激发求知的欲望，引起学习兴趣，进入新课学习.
新课讲授：
（一）线段垂直平分线的性质定理
动手探究：
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离，你有什么发现？
用一句话概括这个发现.
小组合作展示探究结论：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
提出问题：你能用不同的方法验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上.求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
学习垂直平分线的性质时，利用教材安排的“探究”栏目，先让学生动手测量，进行猜想，然后通过对折进行验证，最后引导学生运用三角形全等进行证明，让学生经历线段垂直平分线性质的探索和证明的全过程，积累探索经验，提高研究图形性质的能力．
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长.
解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35 cm，
又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
∴BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，不需要证明三角形全等.证明更便捷.
结论：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：
∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴PA =PB．
（二）线段垂直平分线的判定定理
反过来，
线段垂直平分线的判定：
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
几何语言：
∵ PA =PB，∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
已知：如图，在△ABP中，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
例2：如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
解决问题：
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？快动手做一做吧.
答案：建在△ABC三边的垂直平分线的交点上.
课堂练习：
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______．
答案：8
（三）尺规作图
例3：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C .
已知：直线AB和AB外一点C .
作法：
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF.即为所求.
思考：
（1）为什么任意取一点K，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
作图依据是垂直平分线的性质和判定，问题与（1）是创造垂直平分线的条件，问题（2）是当半径取值不大于它时，不存在弧的交点，问题（3）此时符合垂直平分线的判定定理.
让学生在动手探究和思考中理解作图的原理，而不是死记硬背.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
解：延长BC、B′C′交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.
及时引导学生归纳发现：
如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.
延伸：
作轴对称图形的对称轴的方法：
1.作对应点连线的垂直平分线；
2.折叠法；
3.延长对应线段确定其交点，两个这样的交点确定图形的对称轴.
课堂练习：
1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于1/2 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD. CD即为所求.
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
垂直平分线的性质与判定定理；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
学会运用线段垂直平分线的性质证明线段相等，体会其证明线段相等的简捷性，防止学生在能利用线段垂直平分线的性质证明线段相等时，还用三角形全等的方法来证明．
作业布置：
1.完成本节配套习题.
2.在课本上找一个轴对称图形，用不同的方法画出图形的对称轴.
【板书设计】
垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用，见垂直平分线，得线段相等.
垂直平分线的判定：到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
方法：作垂直证平分，作平分证垂直.
尺规作图：
作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
【课后反思】
在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量、运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，然后再进行证明，这与单纯给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的．两者相比，前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力．
1
【教学目标】
1．知识与技能：理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定，并会运用其性质和判定解决有关问题；会用尺规作已知线段的垂直平分线.
2.过程与方法：经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力.
3.情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线性质的探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.
【教学重难点】
重点：探索并证明线段垂直平分线的性质；理解线段的垂直平分线的判定定理，能运用其解决简单的问题.
难点：证明“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”；过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.
【教学方法】
观察、实验法、启发式教学法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
1.说出图形轴对称的性质有哪些.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
2.某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
复习旧知后，设疑思考，激发求知的欲望，引起学习兴趣，进入新课学习.
新课讲授：
（一）线段垂直平分线的性质定理
动手探究：
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离，你有什么发现？
用一句话概括这个发现.
小组合作展示探究结论：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
提出问题：你能用不同的方法验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上.求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
学习垂直平分线的性质时，利用教材安排的“探究”栏目，先让学生动手测量，进行猜想，然后通过对折进行验证，最后引导学生运用三角形全等进行证明，让学生经历线段垂直平分线性质的探索和证明的全过程，积累探索经验，提高研究图形性质的能力．
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长.
解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35 cm，
又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
∴BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，不需要证明三角形全等.证明更便捷.
结论：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：
∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴PA =PB．
（二）线段垂直平分线的判定定理
反过来，
线段垂直平分线的判定：
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
几何语言：
∵ PA =PB，∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
已知：如图，在△ABP中，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
例2：如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
解：∵ AB =AC，
∴ 点A 在BC 的垂直平分线．
∵ MB =MC，
∵ 点M 在BC 的垂直平分线上，
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
解决问题：
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？快动手做一做吧.
答案：建在△ABC三边的垂直平分线的交点上.
课堂练习：
如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______．
答案：8
（三）尺规作图
例3：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C .
已知：直线AB和AB外一点C .
作法：
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF.即为所求.
思考：
（1）为什么任意取一点K，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
作图依据是垂直平分线的性质和判定，问题与（1）是创造垂直平分线的条件，问题（2）是当半径取值不大于它时，不存在弧的交点，问题（3）此时符合垂直平分线的判定定理.
让学生在动手探究和思考中理解作图的原理，而不是死记硬背.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
解：延长BC、B′C′交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.
及时引导学生归纳发现：
如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.
延伸：
作轴对称图形的对称轴的方法：
1.作对应点连线的垂直平分线；
2.折叠法；
3.延长对应线段确定其交点，两个这样的交点确定图形的对称轴.
课堂练习：
1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于1/2 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD. CD即为所求.
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
垂直平分线的性质与判定定理；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
学会运用线段垂直平分线的性质证明线段相等，体会其证明线段相等的简捷性，防止学生在能利用线段垂直平分线的性质证明线段相等时，还用三角形全等的方法来证明．
作业布置：
1.完成本节配套习题.
2.在课本上找一个轴对称图形，用不同的方法画出图形的对称轴.
【板书设计】
垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用，见垂直平分线，得线段相等.
垂直平分线的判定：到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
方法：作垂直证平分，作平分证垂直.
尺规作图：
作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
【课后反思】
在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量、运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，然后再进行证明，这与单纯给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的．两者相比，前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力．
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