初中数学人教版八上13.1.2线段的垂直平分线的性质 习题（含答案）

13.1.2线段的垂直平分线的性质
1.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，若△ABC的周长为17，BE=3，则△ABD的周长为( )
A．6 B．10 C．11 D．20
2.如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为( )
A．8 B．11 C．16 D．17
3.如图，已知△ABC，求作一点O，使O到的两边的距离相等，且OA=OB、下列确定O点的方法正确的是( )
A．O为∠A，∠B两角平分线的交点 B．O为两边上的高的交点
C．O为两边的垂直平分线的交点
D．O为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
4.到三角形三个顶点距离相等的点是( )
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
5.如图，根据图中尺规作图痕迹，计算∠1的度数是( )
A．22° B．32° C．34° D．68°
6.三角形纸片DEF上有一点M，量得ME=2，MF=2，则点M一定( )
A．是边DE的中点 B．在边DE的中线上
C．在边DE的高上 D．在边EF的垂直平分线上
7.如图，△ABC中，∠B=66°，∠C=28°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为( )
A．65° B．58° C．55° D．44°
8.如图，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是( )
A． B．
C． D．
9.已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
10.在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若△BCE的周长为16，则AC的长为___________．
11.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB被DE垂直平分，若∠B＝30°，求∠CAE的度数．
12.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．∠MFN＝68°，求∠MCN的度数．
13.如图，直线l与m分别是边AC和BC的垂直平分线，它们分别交边AB于点M和点N.
（1）若，则△CMN的周长是多少？为什么？
（2）若，求∠MCN的度数.
14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AP、BP，BP⊥AP，延长AP交BC的延长线于点F. 已知AD=2 cm，BC=5 cm.
（1）求证：FC=AD；
（2）求AB的长.
15.已知在△ABQ中，∠QAB的平分线AD与BQ的垂直平分线DE交于点D，DP⊥AB于P，DN⊥AQ的延长线于N．
（1）证明：BP=QN；
（2）当∠BAQ=70°时，求∠DQB的度数．
参考答案
1.C
解析：∵DE为BC的垂直平分线，
∴BD=CD，BE=CE=3，
∵△ABC的周长为16，BE=3，
∴AB+AC=11，
∴的周长为.
2.A
解析：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴的周长.
3.D
解析：∵O到∠A的两边的距离相等，
∴O为∠A的角平分线；
∵OA=OB，
∴O为AB的垂直平分线，
∴O为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
4.A
解析：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
5.A
解析：由尺规作图痕迹，可知：CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠1=∠ABC=90°-68°=22°.
6.D
解析：∵ME＝2 ，MF=2
∴点M一定在边EF的垂直平分线上．
7.B
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC=28°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=86°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=58°.
8.C
解析：∵点P在AB上，∴PB+PA=AB，
又∵PB+PC=AB，∴PC=PA，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
且线段AC的垂直平分线交AB于点P．
∴选项C符合要求.
9.∠BOC=4∠BPC-360°
解析：平分，平分，
，，
，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，
，
．
10.9
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
由题意得，BC+CE+BE=16，
则BC+CE+AE=16，即BC+AC=16，又BC=7，
∴AC=16-BC=9.
11.解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝90°，∴∠CAB＝90°-∠EAB＝60°，
∴∠CAE＝60°﹣30°＝30°．
12.解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，∠ADM=∠CDM＝90°，∠ADM=∠CDM＝90°，
在Rt△AMD和Rt△CMD中，，
所以Rt△AMD≌Rt△CMD，
∴∠AMD＝∠NMF，
同理，∠BNE＝∠MNF，
△MNF中，∠MNF+∠NMF＝180°﹣∠MFN＝180°﹣68°＝112°，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝112°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣112°＝68°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×68°＝44°．
13.解：（1）△CMN的周长为10
∵l是AC的垂直平分线，∴CM=AM，
同理CN=BN
∴△CMN的周长=CM+CN+MN=AM+MN+BN=AB=10.
（2）∵l是AC的垂直平分线∴∠MCA=∠A，
同理∠BCN=∠B.
∴∠CMN=2∠A，∠CNM=2∠B，
∵∠CMN+∠CNM+∠NCM=180°，
∴∠NCM+2∠A+2∠B=180°，①
∵∠MCN+∠ACM+∠NCA=125°，
∴∠MCN+∠A+∠B=125°，②
联立①②，解得：∠MCN=70°.
14.解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC=∠PCF ，
∵P是CD的中点，∴DP=PC ，
∵在△ADP与△FCP中， ，
∴△ADP≌△FCP ，∴FC=AD ；
（2）∵△ADP≌△FCP，∴AP=PF，AD=CF ，
又∵BP⊥AP ，∴BP是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF ，∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).
15.解：（1）证明：连接BD、QD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DP⊥AB，DN⊥AQ，∴DP=DN，
∵DE垂直平分线BQ，∴DB=DQ，
在Rt△DPB和Rt△DNQ中，
∴Rt△DPB≌Rt△DNQ，
∴BP=QN；
（2）由（1）得：∠BDP=∠QDN，
∵AD是∠QAB的平分线，DP⊥AB，DN⊥AQ，∴DP=DN，
在Rt△DPA和Rt△DNA中，
∴Rt△DPA≌Rt△DNA，∴∠ADP=∠ADN
∵∠BAQ=70°，∴∠PDN=360°-90°×2-70°=110°，∠ADP=∠ADN=110°÷2=55°，
∴∠BDQ=∠PDN=110°
∵AD是BQ的垂直平分线，∴∠EDQ=55°
∴∠DQB=90°-∠EDQ=90°-55°=35°.
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