初中数学人教版八上13.3.1等腰三角形第1课时 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八上13.3.1等腰三角形第1课时 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 15:28:41 | ||
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文档简介
13.3.1等腰三角形第1课时
【教学目标】
1.探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.
2.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，了解作辅助线的技巧，发展“转化”及“分类讨论”的数学思想.
3.引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学习兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心.
【教学重难点】
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
【教学方法】
探究实践法、小组合作法、合情推理法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
欣赏下列图片，找出图片中的三角形，观察它们的特点.
观察图片，从生活常见的现象入手，发现特点，进入新课学习.
新课讲授：
（一）等腰三角形的性质1
动手探究：
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
通过动手体验，小组合作展示探究结论：
所得三角形是等腰三角形，折痕所在直线是对称轴，垂直平分三角形的边，剪痕是三角形相等的两条边.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.你能发现等腰三角形的性质吗？
重合线段：AB与AC，BD与CD，AD与AD
重合的边：∠B与∠C，∠BAD与∠CAD，∠ADB与∠ADC.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B=∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD≌ △CAD，
∴ ∠B= ∠C.
思考: 还有哪些方法可以得到∠B=∠C？
方法二：
证明: 作顶角的平分线AD，则有∠1＝∠2.
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌ △ACD ，
∴ ∠B＝∠C .
方法三：
证明: 作△ABC 的高线AD，则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90 ，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴ ∠B＝∠C .
归纳结论：等腰三角形的性质:
性质1：等腰三角形的两个底角相等；
几何语言：
在△ABC中，
∵ AC=AB（ 已知）
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x，
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
课堂练习：
⒈等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为: 75°， 30°.
⒉等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为: 70°，40°或55°，55°.
3.等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为: 35°，35°.
归纳：
在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角=180°；② 顶角=180°－2×底角；③ 底角=（180°－顶角）÷2；④0°＜顶角＜180°；⑤0°＜底角＜90°.
（二）等腰三角形的性质2
思考： 由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC=90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
归纳结论：等腰三角形的性质:
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
性质2的几何语言：
如图，
在△ABC中，∵AB=AC，∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC，BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC，AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD， ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
通过实践探究，小组讨论，把等腰三角形的性质学习变成看的见的动手活动，降低了学习的难度，完成了本课重点知识的学习.
进一步通过作图认识等腰三角形的三线合一的性质：
如图，作等腰三角形一腰上的中线、高和角平分线.
实践发现：三线不合一.
强调：等腰三角形是轴对称图形，只有底边上的中线、高和角平分线才能重合.
课堂练习：
判断对错：
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
例2：已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
课堂练习：
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．20°或80° D．50°或80°
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°求∠1和∠ADC的度数．
解：∵ AB=AC，D是BC边上的中点，
∴∠ADC＝ 90°，
∵ ∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∴∠1=60°.
课堂小结：
说一说等腰三角形的性质.
等边对等角的注意事项：注意是指同一个三角形中.
三线合一的注意事项：指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
作业布置：
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有 .
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
等腰三角形的性质：
轴对称图形；等边对等角；三线合一.
等腰三角形的辅助线的做法：底边垂线或底边中线或顶角平分线.
运用分类讨论的思想和一题多解来研究等腰三角形的问题.
【课后反思】
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.
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【教学目标】
1.探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.
2.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，了解作辅助线的技巧，发展“转化”及“分类讨论”的数学思想.
3.引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学习兴趣，帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心.
【教学重难点】
重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用.
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
【教学方法】
探究实践法、小组合作法、合情推理法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
欣赏下列图片，找出图片中的三角形，观察它们的特点.
观察图片，从生活常见的现象入手，发现特点，进入新课学习.
新课讲授：
（一）等腰三角形的性质1
动手探究：
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
通过动手体验，小组合作展示探究结论：
所得三角形是等腰三角形，折痕所在直线是对称轴，垂直平分三角形的边，剪痕是三角形相等的两条边.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.你能发现等腰三角形的性质吗？
重合线段：AB与AC，BD与CD，AD与AD
重合的边：∠B与∠C，∠BAD与∠CAD，∠ADB与∠ADC.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B=∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD≌ △CAD，
∴ ∠B= ∠C.
思考: 还有哪些方法可以得到∠B=∠C？
方法二：
证明: 作顶角的平分线AD，则有∠1＝∠2.
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌ △ACD ，
∴ ∠B＝∠C .
方法三：
证明: 作△ABC 的高线AD，则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90 ，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴ ∠B＝∠C .
归纳结论：等腰三角形的性质:
性质1：等腰三角形的两个底角相等；
几何语言：
在△ABC中，
∵ AC=AB（ 已知）
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x，
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
课堂练习：
⒈等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为: 75°， 30°.
⒉等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为: 70°，40°或55°，55°.
3.等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为: 35°，35°.
归纳：
在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角=180°；② 顶角=180°－2×底角；③ 底角=（180°－顶角）÷2；④0°＜顶角＜180°；⑤0°＜底角＜90°.
（二）等腰三角形的性质2
思考： 由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC=90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
归纳结论：等腰三角形的性质:
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
性质2的几何语言：
如图，
在△ABC中，∵AB=AC，∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC，BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC，AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD， ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
通过实践探究，小组讨论，把等腰三角形的性质学习变成看的见的动手活动，降低了学习的难度，完成了本课重点知识的学习.
进一步通过作图认识等腰三角形的三线合一的性质：
如图，作等腰三角形一腰上的中线、高和角平分线.
实践发现：三线不合一.
强调：等腰三角形是轴对称图形，只有底边上的中线、高和角平分线才能重合.
课堂练习：
判断对错：
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
例2：已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
课堂练习：
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．20°或80° D．50°或80°
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°求∠1和∠ADC的度数．
解：∵ AB=AC，D是BC边上的中点，
∴∠ADC＝ 90°，
∵ ∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∴∠1=60°.
课堂小结：
说一说等腰三角形的性质.
等边对等角的注意事项：注意是指同一个三角形中.
三线合一的注意事项：指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
作业布置：
1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有 .
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
等腰三角形的性质：
轴对称图形；等边对等角；三线合一.
等腰三角形的辅助线的做法：底边垂线或底边中线或顶角平分线.
运用分类讨论的思想和一题多解来研究等腰三角形的问题.
【课后反思】
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.
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