初中数学人教版八上13.3.1等腰三角形第2课时 习题（含答案）

13.3.1等腰三角形（第2课时）
1. 如图，在△ABC中，， AB＝5，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2. 已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3. 下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4. 如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（　　）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
5. 如图，在中，//，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．9
6.如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
7.如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝9，AD＝5，则AB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8. 如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝________．
9. 如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝ ．
10.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．
11.(1)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)已知内角度数的两个三角形，如图2，图3，请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
12.已知：如图，AC和BD交点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD．
13.如图，∠CAD是△ABC的外角，AE平分∠DAC，AE∥BC，求证：AB=AC.
14.如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD为△ABC的一条角平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，过点D作DH⊥BE，垂足为H.
(1)求证：H为BE的中点；
(2)探究：当∠A为多少度时，AD＝HC？请加以证明．
15.如图，∠AOB=60°，C是OB延长线上一点，若OC=18cm，动点P从点C出发沿CB以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t值为多少s时，△POQ是等腰三角形？
参考答案
1.D
解析：∵，∴AC=AB=5.
2. C
解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，
∴一共有4个点满足题意，
3.C
①∠C=180 -∠A-∠B=180 -70 -56 =54 ，∠B=56 ，∠C≠∠B，不是等腰三角形，
②∠C=∠140 -∠B=70 =∠B，是等腰三角形，
③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50 ，∠C=∠B=50 ，△ABC是等腰三角形，
④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180 ，∵∠ABC=120 ，∴∠BAD=60 ，∵∠CAD=30 ，∠CAB=60 -∠CAD=60 -30 =30 ，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30 ，∴∠BCA=∠CAB=30 ，∴△ABC是等腰三角形，
⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30 ，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60 -30 =30 , △ABC是等腰三角形．
4.B
解：∵∠1=∠BEF，
∴CD∥AB，
∴∠FGE=∠BEG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG=∠BEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=EF=3.
5. 解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB＋EC＝DF＋GE＝ED FG＝6 2＝4.
6.C
解析：解：当BC=BP时，△ BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
7.C
解析：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE=9，
∵AB=AD+BD，∴AB=5+9=14．
8．7
解析：∵△ABC的角平分线CD交AB于D，∴∠DEC=∠BCD，
∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE，
∴AC=DE+CE=3+4=7.
9.（0，4）或（0，-4）或（8，0）或（-4，0）
解析：分别以点A，点O为圆心，4为半径作圆，与坐标轴的交点即为所求.
10.2
解：作EH⊥OA于H．
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．
∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．
11.（1）解：如图1，直线CD即为所求．
（2）解：图②能画一条直线将原三角形分割成两个等腰三角形．如图2，分割成的两个等腰三角形的顶角度数分别是132°和84°.图③不能分割成两个等腰三角形．
12.证明：∵OA=OB，∴∠A=∠B，
∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠C=∠D，
∴OC=OD．
13. 证明：∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C，∴AB=AC.
14.（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4.∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2.∵CE＝CD，∴∠3＝∠E.∵∠4＝∠3＋∠E，
∠ABC＝∠1＋∠2，∴∠2＝∠E.
∴BD＝ED，即△BDE为等腰三角形．
∵DH⊥BE，∴H为BE的中点(三线合一)．
（2）解：当∠A＝90°时，AD＝HC.证明如下：
∵BD为△ABC的一条角平分线，DH⊥BE，∠A＝90°，
∴AD＝DH.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠4＝45°.∵∠DHC＝90°，∴△DHC为等腰直角三角形．
∴DH＝HC.∴AD＝HC.
15.解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足，
因此有18 2t=t，
解得t=6(s).
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵，
∴ΔPOQ也是等边三角形，
因此有2t 18=t，
解得t=18(s) ，
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形.
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