初中数学人教版八上13.3.2等边三角形第2课时 习题（含解析）

13.3.2等边三角形（第2课时）
1. 如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AC的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
2. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则ON为（ ）
A．1cm B．3cm C．4cm D．5cm
4. 如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航程AD的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝15°，AB＝AC＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．25 C．26 D．30
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC上任意一点，分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果BC＝12，那么DE+DF＝（ ）
A．5 B．7.5 C． 6 D．8
7.如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝10 cm，则BD＝cm，∠BDE＝ °.
9. 如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE=___ __.
10. 如图，在中，，以顶∠C=90°点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则_____．
11. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，说明线段BE与线段EC的数量关系.
12. 如图，线段AE⊥BD于C，AB＝DE，∠A＝30°，∠E＝50°，F是DE的中点，求∠DBF的度数.
13. 如图，等边△ABC中，点F，E分别在AB，BC上，把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在AC上．若∠AFD＝90°，CD＝1．计算CE的长度．
14. 如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
15. 在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝4，求DF的长．
参考答案
1. C
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AC＝AD+CD＝6．
2. A
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝90°，∠BED＝30°，
∵BD＝2，
∴EB＝2BD＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣4＝2.
3.D
解析：过P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1cm，
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4cm，
∴ON＝OD+ND＝5cm.
4.C
解析：由题意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝BA＝2×20＝40，
∵∠CDB＝90°，
∴BD＝BC＝20，
∴AD＝BD+AB＝20+40＝60，
则轮船航程AD的距离是60海里．
5.B
解析：过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，
，
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，
∴∠C＝∠ABC＝15°，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB＝5，
∴△ABC的面积为：．
6. C
解析：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝BD，DF＝CD．
∵BC＝12，
∴DE+DF＝BC＝6．
7. C
解：连接OC，过点O作于F，如图，
∵，，
∴，
在Rt△CDE中，，
∴，，
∵D为AC的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在Rt△OEF中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
8.5；30
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=10cm，∠BAC=60°，
又∵AD⊥BC，
∴BD=∠BAC=30°.
9. 3
解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°.
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=30°.
∴AE=AF=AB=3.
10.
解析：由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
11.解：BE＝2EC，理由如下：
在△ABC中，AB＝AC，∠BC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
如图，连接EA，
由尺规作图可知直线MN是线段CA的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
在Rt△BAE中，∠B＝30°，
∴BE＝2EA，
∴BE＝2EC．
12. 解：连接CF，
∵AE⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵F为DE中点，∠A＝30°，
∴CF＝DF＝EFDE，CBAB，
∵AB＝DE，
∴BC＝CF，
∴∠DBF＝∠CFB，
∵CF＝DF，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠DCE＝90°，∠E＝50°，
∴∠D＝40°，
∴∠DCF＝40°，
∵∠DBF＝∠CFB，∠DBF+∠CFB＝∠DCF，
∴∠DBF20°.
13. 解：∵把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在AC上．
∠AFD＝90°，
∴∠BFE＝∠EFD＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠FEB＝∠FED＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠DEC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵CD＝1，
∴CE＝2.
14.证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
15. 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝4，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝8．
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