初中数学人教版八上13.4课题学习 最短路径问题 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八上13.4课题学习 最短路径问题 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 490.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-14 15:59:48 | ||
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文档简介
13.4课题学习 最短路径问题
【教学目标】
1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.
3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.
【教学重难点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
【教学方法】
情境学习法、探究实践法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
答：②最短，因为两点之间，线段最短
问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
答：PC最短，因为垂线段最短.
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.
由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.
新课讲授：
（一）牧人饮马问题
问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.
动手探究：
探究1：现在假设点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
探究2：如果点A，B分别是直线l 同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.
解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，
∴点B与点C关于直线AD对称.
∵点F在AD上，∴BF=CF，∴BF+EF=CF+EF，
∴连接CE，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
∵当CE⊥AB时，CE最小，
∴当CE⊥AB时，BF+EF的最小值.
∵AB·CE=BC·AD，∴CE=AD=5，
∴BF+EF的最小值是5.
归纳结论：
求线段和的最小值问题:
找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
（二）造桥选址问题
活动探究：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
抽象出数学习题思考：
1.当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
2.将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N，点A移到点A′，则AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
如图，连接A′B与b相交于N，N点即为所求.
试说明桥建在M′N′上时，从A到B的路径AMNB增大.（两点之间线段最短）
例2：如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′，D′.作DD′，EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
归纳结论：
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课堂练习：
1.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.
2.（1）如图①，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．
答案：
课堂小结：
说一说哪些问题是线段最短问题.
说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.
说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.
作业布置：
1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
答案：A
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.
最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.
饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.
造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.
【课后反思】
创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.
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【教学目标】
1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.
3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.
【教学重难点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
【教学方法】
情境学习法、探究实践法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
答：②最短，因为两点之间，线段最短
问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
答：PC最短，因为垂线段最短.
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.
由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.
新课讲授：
（一）牧人饮马问题
问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.
动手探究：
探究1：现在假设点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
探究2：如果点A，B分别是直线l 同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.
解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，
∴点B与点C关于直线AD对称.
∵点F在AD上，∴BF=CF，∴BF+EF=CF+EF，
∴连接CE，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
∵当CE⊥AB时，CE最小，
∴当CE⊥AB时，BF+EF的最小值.
∵AB·CE=BC·AD，∴CE=AD=5，
∴BF+EF的最小值是5.
归纳结论：
求线段和的最小值问题:
找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
（二）造桥选址问题
活动探究：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
抽象出数学习题思考：
1.当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
2.将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N，点A移到点A′，则AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
如图，连接A′B与b相交于N，N点即为所求.
试说明桥建在M′N′上时，从A到B的路径AMNB增大.（两点之间线段最短）
例2：如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′，D′.作DD′，EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
归纳结论：
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课堂练习：
1.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.
2.（1）如图①，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．
答案：
课堂小结：
说一说哪些问题是线段最短问题.
说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.
说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.
作业布置：
1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
答案：A
2.完成本节配套习题.
【板书设计】
最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.
最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.
饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.
造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.
【课后反思】
创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.
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