第三章 圆锥曲线的方程 —2023-2024学年数学人教A版(2019)选择性必修第一册大单元思维强化（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程
——2023-2024学年数学人教A版(2019)选择性必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝．
②在双曲线中c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1 (－c,0)，F2 (c,0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1 (0，－c)，F2 (0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝ ．
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝ ．
3.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝　
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①x1x2＝，y1y2＝；
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
4.有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
5.弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
大单元综合试题训练
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过左焦点作直线交椭圆C于A，B两点，则的周长为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
2.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A.3 B. C. D.5
3.抛物线上存在一点，M到抛物线焦点F的距离为3，直线MF交抛物线C于另一点N，则线段MN的长为( )
A. B. C. D.
4.已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点.点P为椭圆C上一点，且轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点()，作，垂足为K，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆右顶点为，上顶点为B，该椭圆上一点P与A的连线的斜率，AP的中点为E，记OE的斜率为，且满足，若C，D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
8.抛物线的焦点为F，准线l与坐标轴交于点P，过点P的直线与抛物线交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则点A到准线l的距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( )
A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，
C.离心率为 D.的最小值为3
10.（多选）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，（点O为坐标原点），则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为 B.的面积为
C. D.
11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，M是l上一点，Q是直线与C的一个交点.若，则__________.
12.已知是椭圆上关于原点对称的两点，其中，过点A作与垂直的直线l与椭圆C交于两点.若分别表示直线的斜率，则________________.
13.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线左支上的一点，满足为上一点，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_____________.
14.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段，的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由椭圆方程知，椭圆的长轴长为.由椭圆的定义，知，，所以的周长为.故选C.
2.答案：A
解析：双曲线的一条有近线方程为，可得，.故选：A.
3.答案：B
解析：由题可知，，，则，解得，故拋物线C的方程为，，不妨取直线MF的方程为，与抛物线C的方程联立得，解得或，则，，故选B.
4.答案：A
解析：不妨设OE的中点为N，，直线l的方程为，令可得，令，可得，所以，又易知，所以，整理可得.故选A.
5.答案：A
解析：设弦的两端点分别为，，则，
两式相减得，.
又，，，
因此直线PQ的方程为，即，
经验证，直线与双曲线相交.
因此适合题意的直线方程为，故选A.
6.答案：D
解析：由题得焦点，则直线MN的方程为，联立解得，则点K的坐标为，，同理可得.由抛物线定义可知，所以为等边三角形，所以外接圆的半径，所以外接圆的面积，故选D.
7.答案：A
解析：由题意知：，直线PA的方程为，
联立方程可得，
因为是其中一个解，则另一个解满足，即，
所以，则可得AP的中点，则，
因为，所以，解得，则即，
设，则由四边形ABCD的面积为2，有，即，由基本不等式得，，
从而三角形COD的面积，等号当，时取到.
所以三角形COD面积的最大值为.故选：A.
8.答案：C
解析：如图所示，由可得，点B为PA的中点，过点A，B分别作，，垂足分别为点M，N，则，则N为PM的中点，BN为的中位线，.由抛物线定义可知，，，，坐标原点O为PF的中点，B为PA的中点，OB为的中位线，，.由抛物线知，B点的纵坐标为，，，则点A到准线l的距离为3，故选C.
9.答案：ABD
解析：由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD.
10.答案：BC
解析：由于，故点M为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故，所以双曲线C的离心率，故选项A错误.
因为，所以，所以的面积为，故的面积为，故选项B正确.
由于，所以，故选项C正确.
由于，故选项D错误.
综上所述，选BC.
11.答案：
解析：抛物线C的焦点为，准线为，
设点、，则，，
由可得，可得，因此，.
故答案为.
12.答案：6
解析：由题意，令，则，设，且.记直线的斜率为，所以.因为，所以，又，且所以，所以，所以.
13.答案：
解析：由题意知点N在第一象限，设点，直线的斜率为.则直线的方程为，所以，所以.由双曲线的定义得.因为，所以.由，点O为的中点可知N为线段的中点，所以，所以，解得，则，所以.因为N是的中点，所以.又因为点M在双曲线上，则，整理得，所以双曲线的离心率.
14.答案：13
解析：如图，连接，，，
因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.
15.（1）答案：
解析：M，N分别为线段，的中点，O是坐标原点，
，，
四边形OMPN的周长为，
，
，，
，
椭圆C的标准方程为.
（2）答案：直线l过定点
解析：设，，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
，.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
2