第三章 函数概念与性质——2023-2024学年高一数学人教A版(2019)必修第一册大单元复习学案（含解析）

第三章 函数概念与性质
——2023-2024学年数学人教A版(2019)必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
2.函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则.
3.分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.
4.函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.
（1）函数在区间D上是增函数，，且.
（2）函数在区间D上是减函数，且.
5.函数的最值
（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.
（2）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.
6.函数的奇偶性
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.
（3）对于偶函数而言，有.
7.幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
8.幂函数的性质
幂函数
定义域 R R R
值域 R R
单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 在上 单调递增， 在上 单调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 都经过点
大单元综合试题训练
1.若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.已知函数，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.若函数是定义在上的偶函数，则( )
A. B.0 C.1 D.3
4.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知幂函数在区间上单调递增，且的图像关于y轴对称，则m的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的关系是，，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是( )
A.3台 B.5台 C.6台 D.10台
7.若函数与的图像关于直线对称，且，则的图像必过定点( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是( )
①；
②；
③；
④.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（多选）函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则( )
A. B.
C.为偶函数 D.为奇函数
10.（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有( )
A.为偶函数
B.在定义域内为增函数
C.若，则
D.若，则
11.已知的定义域和值域都是，则实数b的值为___________.
12.已知，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围为___________.
13.若幂函数经过点，则满足不等式的实数a的取值范围是__________.
14.已知函数的定义域为R，且，当时，.若，则实数m的取值范围为_________.
15.定义在R上的单调函数满足恒等式，且.
（1）求，；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由或解得.
2.答案：B
解析：因为，所以令，则，所以，所以.故选B.
3.答案：D
解析：由题意，得，则，所以.又为偶函数，所以，解得.所以.故.选D.
4.答案：C
解析：函数的定义域为R，关于原点对称.由，得，所以函数为偶函数，故排除B.当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A，D.选C.
5.答案：C
解析：因为幂函数在区间上单调递增，所以，解得.所以m的值为0，1，2.当时，不满足条件；当时，满足条件；当时，不满足条件.故选C.
6.答案：A
解析：依题意，得，即，解得或（舍去）.因为，所以，所以生产者不亏本时的最低产量是3台.故选A.
7.答案：D
解析：，，，函数的图像过定点.函数与的图像关于直线对称，函数必过定点.故选D.
8.答案：D
解析：因为是偶函数，所以.令，得，故，所以，即，所以函数的图像关于直线对称.因为是奇函数，所以，且函数的图像关于点对称.因为函数的图像是由函数的图像向右平移1个单位长度得到的，所以函数的图像关于点对称，所以，所以，则，即，故有，故①正确.由函数的图像关于直线对称，，得，所以，故②正确.因为，且函数的图像关于点对称，所以，所以，故③正确.，故④正确.所以正确命题的个数为4.故选D.
9.答案：BCD
解析：因为为奇函数，为偶函数，所以的图像关于点对称，同时关于直线对称，所以，A错误；，，B正确；，即函数为周期函数，周期为4，所以，即函数为偶函数，C正确；，所以函数为奇函数，D正确.故选BCD.
10.答案：BCD
解析：设.将点的坐标代入，得，则，所以，所以的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；因为，所以函数在定义域上为增函数，所以B正确；当时，，即，所以C正确；若，则，即，所以D正确.故选BCD.
11.答案：3
解析：由，，且，解得.
12.答案：
解析：设.，.要使在上恒成立，只需在上的最小值大于即可.在上单调递增，，，解得.实数a的取值范围是.
13.答案：
解析：不妨设.因为幂函数的图像过点，所以，解得.所以.易知为定义在R上的奇函数，且为增函数.又，所以，则，解得.所以实数a的取值范围是.
14.答案：
解析：当时，，.又，当时，；当时，，.在R上单调递减，且，
等价于，则，解得.
15.答案：（1），
（2）函数是奇函数
（3）实数k的取值范围为
解析：（1）令，得.
令，，得，
，.
（2）函数是奇函数.证明如下.
令，得，
，即，
函数是奇函数.
（3）因为是奇函数，且在上恒成立，
在上恒成立.
是定义域在R上的单调函数，且，
是R上的增函数，
，
即在上恒成立，
在上恒成立.
令.
，.
由抛物线的图像，得，.
故实数k的取值范围为.
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