第一章 集合与常用逻辑用语
——2023-2024学年数学人教A版(2019)必修第一册
大单元思维强化
大单元思维知识整合
1.集合的运算性质及重要结论
(1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.
(2)集合与集合之间的关系:,.
(3)空集是任何集合的子集.
(4)含有n个元素的集合的子集有个,真子集有个,非空真子集有个.
(5)a.,,;
b.,,;
c.,;
d.,.
2.集合运算中的常用方法
(1)数轴法:若已知的集合是不等式的解集,用数轴法求解.
(2)图象法:若已知的集合是点集,用图象法求解.
(3)Venn图法:若已知的集合是抽象集合,用Venn图法求解.
3.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p:.它的否定:;
(2)特称命题p:.它的否定:;
4.充分与必要条件的判断
若p、q中所涉及的问题与变量有关,p、q中相应变量的取值集合分别记为A,B,
那么有以下结论:
p与q的关系 集合关系 结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
大单元综合试题训练
1.已知集合,,若,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
3.已知,,若,则( )
A.0 B.1 C. D.
4.设,,,若是的真子集,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若“”是“”的充分不必要条件,则实数m的值为( )
A. B.1 C.或1 D.-1或
6.下列命题中为真命题的是( )
A., B.,
C., D.,
7.已知集合,,,若,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义集合,若,,且集合中有3个元素,则由实数n的所有取值组成的集合的非空真子集的个数为( )
A.2 B.6 C.14 D.15
9.(多选)下列说法正确的是( )
A.“”是“”的必要条件
B.“”是“”的充分不必要条件
C.“”是“”的充分条件
D.“”的充要条件是“”
10.(多选)对于集合A,B,我们把集合叫作集合A与B的差集,记作.例如,,,则有,.下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,则
C.若S是高一(1)班全体同学组成的集合,A是高一(1)班全体女同学组成的集合,则
D.若,则2一定是集合中的元素
11.已知集合,.若,则实数m的取值范围是__________.
12.若条件p是“”的充分不必要条件,则p可以是__________.
13.已知命题“存在,使得等式成立”是假命题,则实数m的取值范围是___________.
14.已知有限集(,),如果A中的元素满足,就称A为“复活集”,给出下列结论:
①集合是“复活集”;
②若,则不可能是“复活集”.
其中所有正确结论的个数为___________.
15.已知非空集合,,全集.
(1)当时,求;
(2)若是成立的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案:D
解析:因为,所以,解得.故选D.
2.答案:B
解析:因为命题“,”为存在量词命题,所以其否定为“,”.故选B.
3.答案:C
解析:因为,所以或解得或或又集合中的元素需满足互异性,所以则.
4.答案:D
解析:因为是的真子集,所以M是N的真子集,又分析知M为非空集合,所以或解得.
5.答案:A
解析:由题意可知,是的解,但不是唯一的解.将代入方程,得,解得或.当时,是的唯一解,不满足题意;当时,原方程为,即,解得或,满足题意.综上,.
6.答案:C
解析:,,故是假命题;当时,,故是假命题;,,故是真命题;方程中,无解,故是假命题.故选C.
7.答案:B
解析:由题意,得,由题意知当时,,所以,所以;当时,成立;当时,,所以,所以.综上,.
8.答案:B
解析:因为,,,所以,,,.当,即时,,满足题意;当,即,(舍去)时,,不符合题意;当,即,(舍去)时,,不符合题意;当,即时,,满足题意.综上,实数n的所有取值组成的集合为,故非空真子集的个数为.
9.答案:BD
解析:当时,,此时,所以推不出,故A错误;由可推出,反之推不出,故B正确;当,时,,所以推不出,故C错误;因为,所以,即,所以,若,则,故D正确.
10.答案:AC
解析:A中,或,,则,故A正确;B中,若,,则,但此时,故B错误;C中,表示高一(1)班全体男同学组成的集合,则必有,故C正确;D中,,,则,,此时,故D错误.
11.答案:或
解析:由题意知.当时,有或,解得或,所以实数m的取值范围是或.
12.答案:,(答案不唯一)
解析:因为当,时,一定成立.而当时,可能有,,也可能有,,所以“,”是“”的充分不必要条件.
13.答案:
解析:命题“存在,使得等式成立”是假命题,所以它的否定“对任意的,都有”是真命题,即,,所以或,即实数m的取值范围是.
14.答案:2
解析:①,故①正确.
②根据集合中元素的互异性知,不妨设,由,可得.,.于是,无解,即不存在满足条件的“复活集”,故②正确.所以正确结论的个数为2.
15.答案:(1)或
(2)实数a的取值范围是
解析:(1)方法一:当时,,
所以或.
因为,
所以或,
所以或.
方法二:当时,,
故,
所以或.
(2)因为是成立的充分不必要条件,
所以.
又,所以或
解得或,
所以实数a的取值范围是.
2