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第5课时 矩形的性质与判定（二）
第一章 特殊平行四边形
A组（基础过关）
1.若O是四边形ABCD对角线的交点，且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（ B ）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 正方形 D. 菱形
B
2. （实践探究）如图SF1－5－1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.在某个时刻发现两条对角线长度相等，则此时∠α的度数为（ D ）
图SF1－5－1
D
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
3. 如图SF1－5－2，在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（ D ）
图SF1－5－2
A. ∠BAC＝∠ACB B. ∠BAC＝∠ACD
C. ∠BAC＝∠DAC D. ∠BAC＝∠ABD
D
4.如图SF1－5－3，D，E，F是△ABC各边的中点，请在△ABC中添加一个条件： ∠ A＝90°（答案不唯一） ，使四边形DFAE是矩形.
图SF1－5－3
∠A＝90°（答案不唯
一）
5.如图SF1－5－4，四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，当OE与AB满足条件 OE⊥AB 时，四边形ABCD是矩形.
图SF1－5－4
OE⊥AB
B组（能力提升）
6.如图SF1－5－5，在 ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是矩形.
图SF1－5－5
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∵AE⊥CD，CF⊥AB，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°.
∴∠FCE＝∠EAF＝90°.
∴四边形AFCE是矩形.
7.如图SF1－5－6， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
图SF1－5－6
∴∠H＝90°.
同理∠AEB＝∠F＝90°.
∴∠HEF＝∠F＝∠H＝90°.
∴四边形EFGH是矩形.
图SF1－5－6
C组（探究拓展）
8. （创新题）如图SF1－5－7，在△ABC中，D是边AC的中点，过点D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F.试判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.
图SF1－5－7
解：四边形AECF是矩形.证明如下：
∵PQ∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF.
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF.
∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF.
∴DE＝DC，DF＝DC.
∴DE＝DF.
图SF1－5－7
图SF1－5－7
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第一章 特殊平行四边形
第7课时 正方形的性质与判定（一）
A组（基础过关）
1. 如图SF1－7－1，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，∠BCE＝70°，则∠EAD的度数为（ C ）
图SF1－7－1
A. 10° B. 15°
C. 20° D. 30°
C
2.如图SF1－7－2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（ A ）
图SF1－7－2
A. 9 B. 12 C. 15 D. 20
A
3.如图SF1－7－3，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF.若AE＝1，则EF的长为（ B ）
图SF1－7－3
A. 3 D. 4
B
4.如图SF1－7－4，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的平分线，并交CD的延长线于点E，则∠E＝ 22.5° .
图SF1－7－4
22.5°
B组（能力提升）
5.如图SF1－7－5，四边形ABCD，AEFM都是正方形，连接BE，DM.求证：BE＝DM.
图SF1－7－5
6. 如图SF1－7－6，正方形ABCD的顶点B在直线EF上，AE⊥EF，CF⊥EF，垂足分别为E，F，若AE＝3，CF＝5，求EF的长.
图SF1－7－6
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∴∠ABE＋∠CBF＝90°.
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
∴∠BAE＝∠CBF.
图SF1－7－6
C组（探究拓展）
7. 如图SF1－7－7，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE，DF相交于点M.
（1）当∠ADF＝36°时，求∠DCE的度数；
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝AB，∠CDE＝∠DAF＝90°.
又∵AE＝BF，∴DE＝AF.
图SF1－7－7
图SF1－7－7
（2）判断CE与DF的位置关系，并证明.
解：（2）CE与DF互相垂直.
证明如下：由（1）知∠DCE＝∠ADF.
∵∠ADF＋∠MDC＝∠CDE＝90°，
∴∠DCE＋∠MDC＝90°.
∴∠DMC＝90°.
∴CE⊥DF，即CE与DF互相垂直.
图SF1－7－7
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第1课时 菱形的性质与判定（一）
第一章 特殊平行四边形
A组（基础过关）
1. 如图SF1－1－1，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（ D ）
图SF1－1－1
A.8 B. 15 C. 10 D. 6
D
2.如图SF1－1－2，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变.当AB＝2，∠B＝60°时，AC的长是（ D ）
图SF1－1－2
D. 2
D
3.如图SF1－1－3，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，BD的中点.若EF＝2，则BC的长为 4 .
图SF1－1－3
4
4.（数学文化）中国结，象征着中华民族的历史文化与精致.小明家有一个中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图SF1－1－4的菱形ABCD，测得BD＝12 cm，AC＝16 cm，则菱形ABCD的周长为 40 cm.
40
图SF1－1－4
B组（能力提升）
5.如图SF1－1－5，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.
图SF1－1－5
6.如图SF1－1－6，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF.求证：CF＝CE.
图SF1－1－6
图SF1－1－6
C组（探究拓展）
7.（创新改编）如图SF1－1－7，E为菱形ABCD的对角线BD延长线上一点，连接AE，CE.
（1）求证：AE＝CE；
图SF1－1－7
（2）若BC＝10，AE＝13，∠ABC＝60°，求BE的长.
（2）解：如答图SF1－1－1，连接AC交BD于点O.
图SF1－1－7
答图SF1－1－1
图SF1－1－7
答图SF1－1－1
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第3课时 菱形的性质与判定（三）
第一章 特殊平行四边形
A组（基础过关）
1. 如图SF1－3－1，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，AC＝12，菱形ABCD的面积为96，则OH的长等于（ B ）
图SF1－3－1
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
2.菱形的周长为8 cm，两相邻角度数比是1∶2，则菱形的面积是（ A ）
A
3. 如图SF1－3－2，在菱形ABCD中，BD＝8，AD＝5，则菱形的面积等于 24 .
图SF1－3－2
24
图SF1－3－3
B组（能力提升）
6.如图SF1－3－4，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16 cm，BD＝12 cm，求菱形ABCD的边长和面积.
图SF1－3－4
7. （2022广元）如图SF1－3－5，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE.
图SF1－3－5
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE.∵AB＝2CD，∴CD＝AE.
又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC. ∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD.
∴平行四边形AECD是菱形.
图SF1－3－5
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
（2）解：∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠AEC＝∠D＝120°.∴AE＝CE＝BE，
图SF1－3－5
C组（探究拓展）
8. （2022淄博）如图SF1－3－6，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ B ）
图SF1－3－6
A. 16 D. 30
B
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