(共26张PPT)
第四章 图形的相似
第26课时 相似多边形
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
（限时3分钟）
温故知新
1. 如图S4－26－1，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝2∶3，EF＝9，则DE的长是（ B ）
图S4－26－1
B
A. 4
B. 6
C. 7
D. 12
图S4－26－2
A
知识重点
A. 各角分别 相等 、各边 成比例 的两个多边形叫做相似多边形.
相等
成比例
对点范例
3. 如图S4－26－3，下列各选项中的图形与它相似的是（ A ）
图S4－26－3
A
B
C
D
A
B. 相似多边形 对应边的比 叫做相似比.
对应边的比
知识重点
4. 如图S4－26－4，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F.若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB∶BC的值为（ B ）
图S4－26－4
B
对点范例
A. 2
C. 任意两个边数 相等 的正多边形都相似.
相等
知识重点
5. 下列各图中，平行于正多边形一边的直线，把正多边形分割成两部分，则阴影部分（多边形）与原正多边形相似的是（ A ）
A
B
C
D
A
对点范例
课本母题
知识点1 根据相似多边形的定义和性质计算
【例1】如图S4－26－5，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且∠A＝62°，∠B＝75°，∠D'＝140°，AD＝9，A'B'＝11，A'D'＝6，B'C'＝8.
图S4－26－5
（1）请直接写出：∠C＝ 83 °；
（2）求边AB和BC的长.
思路点拨：（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和为360°解决问题即可；
83
图S4－26－5
（2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可.
图S4－26－5
6. 如图S4－26－6，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
图S4－26－6
75°
母题变式
（2）求边x，y的长度.
解得x＝9，y＝12.
图S4－26－6
知识点2 根据相似多边形对应边成比例计算
【例2】（课本P88习题）如图S4－26－7，矩形ABCD∽矩形EFGH，它们的相似比是2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，求EF，FG的长.
课本母题
图S4－26－7
思路点拨：根据相似多边形对应边成比例列出比例式求解即可.
图S4－26－7
母题变式
7. （课本P88随堂练习改编）如图S4－26－8，一个矩形广场的长为60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽均为2 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个
矩形相似？
图S4－26－8
图S4－26－8
创新设计
8. （创新题）如图S4－26－9，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°.若CG＝6，AH＝14，求菱形ABCD的边长.
图S4－26－9
解：如答图S4－26－1，连接AC.
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC.
∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝60°.
设AB＝BC＝AC＝a，
则BH＝a－14，BG＝a－6.
∵∠AGB＝∠AGH＋∠BGH＝∠ACG＋∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°，
答图S4－26－1
答图S4－26－1
9. （创新变式）如图S4－26－10，已知矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'，BC与B'C'，CD与C'D'，DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d.
图S4－26－10
（1）若a＝b＝c＝d＝2，则矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗？为什么？
图S4－26－10
（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足怎样的等量关系？请说明理由.
图S4－26－10
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第四章 图形的相似
第23课时 成比例线段（一）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
（限时3分钟）
温故知新
B. 1 D. 5
2. 正方形的对角线与边长之比为（ B ）
A. 1∶1
D. 2∶1
C
B
知识重点
对点范例
3. 已知线段a＝4 cm，线段b＝7 cm，则a∶b的值是（ C ）
A. 1∶4 B. 1∶7
C. 4∶7 D. 7∶4
C
成
比例线段
知识重点
4. 以下列数据（单位： cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ B ）
A. 2，3，4，5 B. 2，3，4，6
C. 1，2，3，4 D. 1，4，9，16
B
对点范例
ad＝bc
知识重点
5. 已知2a＝3b，则下列比例式错误的是（ D ）
D
对点范例
课本母题
知识点1 两条线段的比
【例1】（课本P79习题）如图S4－23－1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10 cm，在△DEF中，ED＝EF＝12 cm，DF＝8 cm，求AB与EF之比、AC与DF之比.
图S4－23－1
思路点拨：在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比即这两条线段的比求解即可.
图S4－23－1
6. 如图S4－23－2，已知矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A'B'＝4 cm，B'C'＝6 cm，则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？
图S4－23－2
母题变式
图S4－23－2
知识点2 成比例线段
【例2】（课本P79习题改编）如图S4－23－3，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形.如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，求小矩形的长边与短边的比.
课本母题
图S4－23－3
思路点拨：先表示出对折后的矩形的长边和短边，再根据对应边成比例列出比例式，然后求解.
图S4－23－3
母题变式
图S4－23－4
图S4－23－4
知识点3 比例的性质及应用
课本母题
图S4－23－5
思路点拨：根据比例式将各边的值代入求解即可.
图S4－23－5
母题变式
图S4－23－6
图S4－23－6
创新设计
9. （2022青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.
例如：如图S4－23－7①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形.
图S4－23－7
【性质探究】
如图S4－23－7①，用S△ABC，S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积，
图S4－23－7
∵AD＝A'D'，
∴S△ABC∶S△A'B'C'＝BC∶B'C'.
【性质应用】
（1）如图S4－23－7②，D是△ABC的边BC上的一点.若BD＝3，DC＝4，则S△ABD∶S△ADC＝ 3∶4 ；
图S4－23－7
3∶4
（2）如图S4－23－7③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点.若BE∶AB＝1∶2，CD∶BC＝1∶3，S△ABC＝1，求S△BEC与S△CDE的值；
图S4－23－7
图S4－23－7
图S4－23－7
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第四章 图形的相似
第31课时 相似三角形判定定理的证明
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图S4－31－1，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ C ）
图S4－31－1
C
（限时3分钟）
温故知新
A. ∠B＝∠ACD
B. ∠ADC＝∠ACB
D. AC2＝AD·AB
2. 如图S4－31－2，网格中相似的两个三角形是（ D ）
图S4－31－2
D
A. ①与④
B. ②与③
C. ①与⑤
D. ②与⑤
（1）两角分别 相等 的两个三角形相似；
（2）两边 成比例且夹角 相等的两个三角形相似；
（3）三边 成比例 的两个三角形相似.
相等
成比例且夹角
成比例
知识重点
3. 如图S4－31－3，已知在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，则添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是（ D ）
图S4－31－3
D
A. ∠CAB＝∠D
C. AD∥BC
对点范例
知识点1 两角对应相等判定三角形相似
【例1】（课本P102习题）已知：如图S4－31－4，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB.求证：AE2＝AD·AC.
课本母题
图S4－31－4
思路点拨：根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ACB，即可解题.
证明：∵BE平分∠CBD，∴∠DBE＝∠CBE.
∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB.
∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠AEB＝∠C＋∠CBE，
∴∠ABD＝∠C.
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB.
∴AB∶AD＝AC∶AB，即AB2＝AD·AC.
∵AE＝AB，∴AE2＝AD·AC.
图S4－31－4
4. 如图S4－31－5，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E.
图S4－31－5
母题变式
（1）求证：CD2＝DE·AD；
证明：（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°.
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC.
∴CD∶AD＝DE∶CD.
∴CD2＝DE·AD.
图S4－31－5
（2）求证：∠BED＝∠ABC.
证明：（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵CD2＝DE·AD，
∴BD2＝DE·AD.∴BD∶AD＝DE∶BD.
又∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB.
∴∠BED＝∠ABC.
图S4－31－5
知识点2 三边对应成比例判定三角形相似
课本母题
图S4－31－6
思路点拨：根据三组对应边的比相等的两三角形相似可判断△ADE∽△CAB，从而∠AED＝∠B，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
图S4－31－6
图S4－31－7
（1）∠DAB＝∠EAC；
母题变式
（2）DB·AC＝AB·EC.
图S4－31－7
6. （课本P102习题－创新题）如图S4－31－8，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2 cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4 cm/s.如果P，Q两动点同时
运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
创新设计
图S4－31－8
解：设经过t s时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2t cm，BP＝（8－2t） cm，BQ＝4t cm.
∵∠PBQ＝∠ABC，
图S4－31－8
图S4－31－8
7. （创新变式）如图S4－31－9，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝16 cm，AB＝8 cm，动点D从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动.如果点E的运动速度为4 cm/s，点D的运动速度为2 cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△ADE相似？
图S4－31－9
解：设同时运动t s时两个三角形相似.根据题意可知，
AC＝16，AB＝8，AD＝AB－DB＝8－2t，AE＝4t.
解得t＝0.8；
图S4－31－9
解得t＝2.
∴当运动0.8 s或2 s时，△ABC和△ADE相似.
图S4－31－9
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第四章 图形的相似
第36课时 图形的位似（二）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图S4－36－1，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A'，B'.若AB＝6，则A'B'的长为（ B ）
图S4－36－1
A. 8 B. 9
C. 10 D. 15
B
（限时3分钟）
温故知新
2. 如图S4－36－2，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB＝3OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积比为（ D ）
图S4－36－2
D
A. 1∶3 B. 1∶4
C. 1∶5 D. 1∶9
位似
坐标原点
知识重点
D
对点范例
图S4－36－3
B. （2，6）
C. （2，6）或（－2，－6）
知识点1 位似图形在平面直角坐标系中的应用（相似比、面积比）
课本母题
【例1】（课本P117习题改编）如图S4－36－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（－2，3），画出四边形OABC以点O为位似中心的位似图形OA'B'C'，使它和四边形OABC位于点O的同侧，且与四边形OABC的相似比是2∶1.
图S4－36－4
思路点拨：分别作出A，B，C的对应点A'，B'，C'再连线即可.
解：如答图S4－36－1，四边形OA'B'C'即为所求.
答图S4－36－1
4. 如图S4－36－5，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，1），（2，－1）.
图S4－36－5
母题变式
（1）在y轴的左侧以点O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新三角形与原三角形的相似比为2∶1；
解：（1）如答图S4－36－3，△OCD即为所求.
答图S4－36－3
（2）分别写出A，B的对应点C，D的坐标；
解：（2）C（－6，－2），D（－4，2）.
（3）求△OCD的面积.
知识点2 位似图形在平面直角坐标系中的应用（综合应用）
课本母题
解：如答图S4－36－2，△OB'C'即为所求，以这三个点为顶点的三角形与△OBC位似.
思路点拨：利用平面直角坐标系画出图形，进而得出答案.
答图S4－36－2
5. 如图S4－36－6，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（－2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘－2.
图S4－36－6
母题变式
（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
解：（1）如答图S4－36－4所示，四边形OA'B'C'即为所求.
答图S4－36－4
（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比.
解：（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘－2可得出四边形OA'B'C'，
∴各对应边的比为2∶1，对应点的连线都过原点.
∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2∶1.
6. （创新题）（1）以如图S4－36－7所示的正方形网格的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：
图S4－36－7
创新设计
①都是直角三角形；
②都是锐角三角形；
③都是钝角三角形.
解：（1）如答图S4－36－5（答案不唯一）.
答图S4－36－5
（2）如图S4－36－8，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）.
图S4－36－8
①以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2∶1），画出图形；
②分别写出B，C两点的对应点B'，C'的坐标；
③如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M的对应点M'的坐标.
解：（2）①如答图S4－36－6，△OB'C'即为所求.
②点B'的坐标为（－6，2），C'的坐标为（－4，－2）.
③∵点M的坐标为（x，y），
∴点M'的坐标为（－2x，－2y）.
答图S4－36－6
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第四章 图形的相似
第27课时 探索三角形相似的条件（一）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图S4－27－1，若两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ D ）
图S4－27－1
A. ∠α＝100°
D. x＝7
D
（限时3分钟）
温故知新
2. 在如图S4－27－2所示的三个矩形中，相似的是（ A ）
图S4－27－2
A. 甲和乙 B. 甲和丙
C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙
A
A. 三角分别 相等 、三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形.
相等
成比例
知识重点
3. 如图S4－27－3，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与该图中的△ABC相似的是（ B ）
图S4－27－3
A
B
C
D
B
对点范例
B. 两角 分别相等 的两个三角形相似.
分别相等
知识重点
4. 如图S4－27－4，△ABC中，D，E分别在AB，AC上，单独添加下列条件，不能使△ADE与△ACB相似的是（ D ）
图S4－27－4
D
对点范例
A. ∠1＝∠C B. ∠2＝∠B
C. ∠2＝∠C D. ∠1＝∠2
知识点1 相似三角形的判定（两角）和定义计算
【例1】（课本P89例题改编）如图S4－27－5，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB.
课本母题
图S4－27－5
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长.
思路点拨：（1）根据相似三角形的判定定理即可证明；
（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
图S4－27－5
5. 如图S4－27－6，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B. 点E在AD边上，CD＝CE.
图S4－27－6
母题变式
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE.
∵∠CED＝∠EAC＋∠ACE，
∠CDE＝∠BAD＋∠B，∠DAC＝∠B，
∴∠BAD＝∠ACE.∵∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△CAE.
（2）若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长.
图S4－27－6
知识点2 相似三角形的判定（两角）
【例2】（课本P90习题）如图S4－27－7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
图S4－27－7
课本母题
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得到AD2＝BD·DC吗？说说理由.
思路点拨：（1）利用两组角相等即可得到两个三角形相似，由此可找到所有相似的三角形；
（2）利用（1）中的△ADC∽△BDA，可得到结论.
解：（1）∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＋∠B＝∠BAD＋∠B＝90°.
∴∠C＝∠BAD.又∵∠BAC＝∠ADB，
∴△BAC∽△BDA.
在△ADC和△BAC中，∠C＝∠C，∠ADC＝∠BAC，
∴△ADC∽△BAC.
图S4－27－7
在△ADC和△BDA中，
∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠BDA，
∴△ADC∽△BDA.
∴图中相似的三角形有△BAC∽△BDA，
△ADC∽△BAC，△ADC∽△BDA.
图S4－27－7
6. 如图S4－27－8，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为边AC上一点，点D为边BC上一点，且∠CBP＝∠BAD，BP与AD的交点为E.
图S4－27－8
母题变式
图S4－27－8
（2）找出图中所有的相似三角形（用相似符号直接写出结论即可）.
（2）解：图中的相似三角形有△CBP∽△BAD，△CBP∽△EBD，△EBD∽△BAD，△ADC∽△APE.
图S4－27－8
创新设计
7. （课本P90习题—创新题）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图S4－27－9所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由.
图S4－27－9
解：△BAE∽△CDA，△EDA∽△EAB.
理由如下：
∵△ABC和△AFG为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠FAG＝45°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋∠BAD.
∵∠BAE＝∠BAD＋45°，∴∠BAE＝∠ADC.
又∵∠B＝∠C，∴△BAE∽△CDA.
∵∠DEA＝∠AEB，∠DAE＝∠B，
∴△EDA∽△EAB.
8. （创新变式）如图S4－27－10，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上.设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE.
图S4－27－10
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE＝45°.
∴∠BME＋∠MEB＝135°.
又∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝45°.
∴∠NEC＋∠MEB＝135°.
∴∠BME＝∠NEC.
又∵∠B＝∠C＝45°，∴△BEM∽△CNE.
图S4－27－10
谢 谢！(共19张PPT)
第四章 图形的相似
第30课时 探索三角形相似的条件（四）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
B. 2 C. 3 D. 8
2. 等边三角形的一边与这边上的高的比是（ C ）
D
C
（限时3分钟）
温故知新
图S4－30－1
黄金分割
知识重点
3. 若线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，则AP的长为（ B ）
B
对点范例
知识点1 黄金分割概念的应用
图S4－30－2
课本母题
图S4－30－2
母题变式
图S4－30－3
解得x≈10.
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意.
答：她应穿10 cm高的鞋子才能好看.
知识点2 黄金分割作图及应用
【例2】（课本P97习题改编）如图S4－30－4，已知线段AB，按照如下方法画图：
图S4－30－4
课本母题
（2）点C是线段AB的黄金分割点.
5. （创新题）如图S4－30－5，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作
正方形AMEF，点M在AD上.
图S4－30－5
母题变式
（1）求AM，DM的长；
图S4－30－5
（2）求证：AM2＝AD·DM；
图S4－30－5
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？并说明理由.
图S4－30－5
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第四章 图形的相似
第33课时 相似三角形的性质（一）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图S4－33－1，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离墙角1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，则梯子长为（ C ）
图S4－33－1
C
（限时3分钟）
温故知新
A. 3.85 m
B. 4.00 m
C. 4.40 m
D. 4.50 m
2. 如图S4－33－2是小明做的一个风筝支架示意图，已知BC∥DE，AB∶BD＝3∶5，BC＝30 cm，则DE的长是（ D ）
图S4－33－2
D
A. 50 cm
B. 60 cm
C. 70 cm
D. 80 cm
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 相似比 .
相似比
知识重点
3. 如果两个相似三角形对应边的中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ B ）
A. 1∶2 B. 1∶4
C. 1∶8 D. 1∶16
B
对点范例
知识点1 相似比的应用
课本母题
4. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，且AD＝8 cm，A'D'＝3 cm，求△ABC与△A'B'C'对应高的比.
母题变式
知识点2 利用相似比求线段的长
【例2】（课本P108习题）如图S4－33－3，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，求AD·BC的值.
课本母题
图S4－33－3
5. （课本P108习题）如图S4－33－4，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD.已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，求DE的长.
图S4－33－4
母题变式
图S4－33－4
6. （创新题）从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
创新设计
图S4－33－5
（1）如图S4－33－5①，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，则∠ACB＝ 96 °；
96
图S4－33－5
图S4－33－5
图S4－33－5
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第四章 图形的相似
第35课时 图形的位似（一）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图S4－35－1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则AC的长为（ D ）
图S4－35－1
A. 14 B. 12
C. 10 D. 9
D
（限时3分钟）
温故知新
2. 如图S4－35－2，四边形ABCO∽四边形DEFO， OA∶OD＝3∶1，若AC＝6，则DF长为（ D ）
图S4－35－2
A. 18 B. 4 C. 3 D. 2
D
A. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做 位似多边形 ，点O叫做 位似中心 .实际上，k就是这两个相似多边形的相似比.
位似多边
形
位似中心
知识重点
3. 下列各选项的两个图形，不是位似图形的是（ C ）
A
B
C
D
C
对点范例
B. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 .
相似比
知识重点
4. 如图S4－35－3，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ B ）
图S4－35－3
B
对点范例
A. 1∶2
B. 1∶4
C. 1∶5
D. 1∶6
C. 画位似图形的步骤：
（1）确定 位似中心 ；
（2）把位似中心与 对应顶点 连线（或延长）；
（3）根据 相似比 在所连直线上截取相应线段；
（4）把所截各点用实线连接.
位似中心
对应顶点
相似比
知识重点
5. 如图S4－35－4所示是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的有（ D ）
图S4－35－4
D
对点范例
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
知识点1 根据位似概念作图
【例1】（课本P113例题改编）如图S4－35－5，已知△ABC，以点O为位似中心在点O的另一侧作△ABC的位似三角形A'B'C'，并使△A'B'C'与△ABC的相似比为2∶1.
课本母题
图S4－35－5
思路点拨：连接OA，OB，OC，并延长到点A'，B'，C'，使OA'，OB'，OC'是OA，OB，OC的2倍，顺次连接各点即可.
图S4－35－5
解：如答图S4－35－1，△A'B'C'即为所求.
答图S4－35－1
图S4－35－6
母题变式
解：如答图S4－35－3.
答图S4－35－3
知识点2 在网格上画位似图形
【例2】如图S4－35－7，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形.
课本母题
图S4－35－7
（2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O＝2AO，延长BO到B1使B1O＝2BO，延长CO到C1使C1O＝2CO，从而得到△A1B1C1.
（1）在图S4－35－7②所示的网格中画一个与图S4－35－7①的△ABC相似的△DEF；
图S4－35－7
解：（1）如答图S4－35－2①，△DEF即为所求.
答图S4－35－2
（2）在图S4－35－7③中，以O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2∶1.
图S4－35－7
解： （2）如答图S4－35－2②，△A1B1C1即为所求.
答图S4－35－2
7. 如图S4－35－8，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点.
母题变式
图S4－35－8
（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；
（2）△A1B1C1与△ABC的相似比是 3∶1 .
解：（1）如答图S4－35－4，△A1B1C1即为所求.
答图S4－35－4
3∶1
8. （创新题）如图S4－35－9，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
图S4－35－9
创新设计
（1）画出位似中心点O；
解：（1）如答图S4－35－5，点O即为所求.
解：（2）△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2.
（2）求出△ABC与△A'B'C'的相似比；
答图S4－35－5
（3）以O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5.
解：（3）如答图S4－35－5，△A1B1C1即为所求.
答图S4－35－5
9. （创新变式）如图S4－35－10，在方格纸上，△ABC与△A1B1C1是关于点O为位似中心的
位似图形，它们的顶点都在格点上.
（1）画出位似中心O；
解：（1）如答图S4－35－6，点O即为所求.
答图S4－35－6
（2）求出△ABC与△A1B1C1的相似比；
解：（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是1∶2.
（3）以O为位似中心，再画一个△A2B2C2使它与△ABC的相似比等于3.
解：（3）如答图S4－35－6，△A2B2C2即为所求.
答图S4－35－6
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第四章 图形的相似
第25课时 平行线分线段成比例
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
（限时3分钟）
温故知新
1. 已知a，d，c，b是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则d的长度为（ B ）
A. 4 cm B. 1 cm
C. 9 cm D. 5 cm
B
2. 已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，把它改写成比例式，错误的是（ B ）
A. a∶d＝c∶b B. a∶b＝c∶d
C. d∶a＝b∶c D. a∶c＝d∶b
B
知识重点
A. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例 .
成比例
对点范例
3. 如图S4－25－1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，则EF的长为（ A ）
图S4－25－1
A
A. 2.4 B. 3.6
C. 4 D. 0.6
知识重点
B. 平行 于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段 成比例 .
平行
成比例
对点范例
4. 如图S4－25－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，CD＝3，BE＝6，则AE的长为（ A ）
图S4－25－2
A. 4
C. 2 D. 5
A
课本母题
知识点1 用平行线分线段成比例定理计算
【例1】（课本P84习题）如图S4－25－3，两条直线被三条平行线所截.
图S4－25－3
思路点拨：根据平行线分线段成比例定理计算即可.
（1）在图S4－25－3①中，AB＝5，BC＝7，EF＝4，求DE的长；
（2）在图S4－25－3②中，DE＝6，EF＝7，AB＝5，求AC的长.
母题变式
5. 如图S4－25－4，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.
图S4－25－4
（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；
（2）如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长.
图S4－25－4
课本母题
知识点2 用平行线分线段成比例定理推论计算
【例2】（课本P84习题）如图S4－25－5，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.
图S4－25－5
思路点拨：根据平行线分线段成比例定理的推论求解即可.
（1）如果AD＝3.2 cm，DB＝1.2 cm，AE＝2.4 cm，那么EC的长是多少？
图S4－25－5
（2）如果AB＝5 cm，AD＝3 cm，AC＝4 cm，那么EC的长是多少？
图S4－25－5
母题变式
6. （创新题）如图S4－25－6，在△ABC中，AC＝10 cm，D为边AB上一点，且AD＝2BD.
图S4－25－6
（1）实践操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）.过点D作DE∥BC，交AC边于点E；
解：（1）如答图S4－25－1，DE即为所作.
答图S4－25－1
（2）求AE的长.
图S4－25－6
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第四章 图形的相似
第32课时 利用相似三角形测高
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
1. 如图S4－32－1，要使△ACD∽△ABC，则它们必须具备的条件是（ D ）
图S4－32－1
D
（限时3分钟）
温故知新
C. CD2＝AD·BD
D. AC2＝AD·AB
2. 如图S4－32－2，下列条件不能使△ADE∽△ABC的是（ D ）
图S4－32－2
D
A. ∠ADE＝∠B
B. DE∥BC
知识重点
3. 某同学的身高为1.8 m，某一时刻他在阳光下的影子长为1.2 m，与他相邻的一棵树的影子长为3.6 m，则这棵树的高度是 5.4 m.
5.4
对点范例
知识重点
4. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图S4－32－3，标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，
A三点共线，则旗杆AB的高度为 13.5 m.
13.5
对点范例
图S4－32－3
知识重点
5. 如图S4－32－4是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放置一平面镜，光线从点A 发出经平面镜反射后刚好到古城墙的CD顶端C处.已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2 m，BP＝3 m，
PD＝12 m，那么测得该古城墙的高度
CD＝ 8 m.
8
对点范例
图S4－32－4
知识点1 利用太阳光（灯光）测高
课本母题
【例1】如图S4－32－5，夏季的一天，身高为1.6 m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由
B向A走去，当走到点C时，她的影子顶端正好与
树的影子顶端重合，测得BC＝3.2 m，CA＝0.8
m，于是就得出树的高度为（ A ）
A
图S4－32－5
A. 8 m B. 6.4 m C. 4.8 m D. 10 m
思路点拨：注意影高必须是同一时刻下测量的.
6. 如图S4－32－6，一位同学的身高（AF）为1.6 m，晚上站在路灯下，他在地面上的影长（AB）是2 m.若他沿着影长的方向移动2 m站立时，影长（BC）增加了0.5 m，则路灯的高度（EO）是 8 m.
图S4－32－6
8
母题变式
知识点2 利用标杆测高
课本母题
【例2】为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图S4－32－7所示的测量方案. 已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m，标杆高为3.1m，且BC＝1m，CD＝5m，根据所给出的数据可求出树高ED等于（ A ）
A
图S4－32－7
A. 10.6 m
B. 9 m
C. 7.4 m
D. 6 m
思路点拨：观测者的眼睛、标杆的顶端和被测物的顶端必须“三点一线”.
7. 如图S4－32－8，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上.已知此人眼睛距地面1.6 m，标杆高为2.8 m，且BC＝1 m，CD＝8 m，则电视塔ED的高为 12.4 m.
图S4－32－8
12.4
母题变式
知识点3 利用镜面反射测高
课本母题
【例3】如图S4－32－9，有一点光源S在平面镜上方.若点P恰好在点光源S的反射光线上，并测得AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且PC＝12 cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长度为（ C ）
图S4－32－9
C
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 8 cm
思路点拨：“利用反射角等于入射角”构建相似三角形测高，两个相似三角形对应线段都成比例.
8. 如图S4－32－10所示是一面镜子，则有 △ABE ∽ △CDE .
图S4－32－10
△ABE
△CDE
母题变式
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第四章 图形的相似
第34课时 相似三角形的性质（二）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 若△ABC∽△DEF，且AB＝10 cm，BC＝12 cm，DE＝5 cm，则EF的长度为（ C ）
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 7 cm
C
（限时3分钟）
温故知新
2. 一个三角形的边长为2，3，4，另一个和它相似的三角形的最长边为12，则这个三角形的最短边为（ A ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
A
相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似比的平方 .
相似比
相似比的平方
知识重点
3. 已知相似三角形的面积比为9∶16，那么这两个相似三角形的周长比为（ C ）
A. 9∶16 B. 16∶9
C. 3∶4 D. 4∶3
C
对点范例
知识点1 周长比
思路点拨：根据已知条件得出两三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解.
课本母题
4. 已知△ABC中，AB＝5 cm，BC＝7 cm，AC＝10 cm，△ABC∽△DEF，且△DEF的周长为33 cm，求△DEF的各边长.
母题变式
知识点2 面积比
【例2】（课本P111习题）如图S4－34－1，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝
∠EDF.
课本母题
图S4－34－1
（1）中线AG与DH的比是多少？
（2）△ABC与△DEF的面积比是多少？
思路点拨：（1）根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似，再利用相似三角形的性质（1）即可解决问题；
（2）利用相似三角形的性质（2）解决问题即可.
图S4－34－1
5. （课本P111习题）如图S4－34－2所示，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC和△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比.
图S4－34－2
母题变式
图S4－34－2
6. （创新题）如图S4－34－3，在四边形ABCD中，E是AD上的一点，EC∥AB，EB∥DC.
图S4－34－3
创新设计
（1）△ABE与△ECD相似吗？为什么？
解：（1）相似.
理由：∵AB∥CE，
∴∠A＝∠CED.
∵BE∥CD，
∴∠BEA＝∠D.
∴△ABE∽△ECD.
图S4－34－3
图S4－34－3
图S4－34－3
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第四章 图形的相似
第28课时 探索三角形相似的条件（二）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
1. 如图S4－28－1，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有（ B ）
图S4－28－1
B
（限时3分钟）
温故知新
A. 4对
B. 3对
C. 2对
D. 1对
2. 如图S4－28－2，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（ C ）
图S4－28－2
C
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
两边 成比例 且夹角 相等 的两个三角形相似.
成比例
相等
知识重点
3. 如图S4－28－3，线段AD，BC交于点O，由下列条件不能得出△AOB∽△DOC的是（ C ）
图S4－28－3
C
对点范例
A. OB∶OC＝OA∶OD
B. OA∶OB＝OD∶OC
C. OA∶OD＝AB∶CD
D. AB∥CD
知识点1 运用两边成比例且夹角相等判断相似
【例1】（课本P93习题改编）一个直角三角形的两条边长分别为6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似？请说明理由.
课本母题
思路点拨：注意要分类讨论，即分为当一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和4 cm时，和当一个直角三角形的斜边长为6 cm，直角边长为4 cm，根据勾股定理得另一直角边长，并分别用相似三角形的判定定理进行判断.
解：这两个直角三角形不一定相似.
4. （课本P93习题）在△ABC中，∠B＝39°，AB＝1.8 cm，BC＝2.4 cm；在△DEF中，∠D＝39°，DE＝3.6 cm，FD＝2.7 cm.这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似.
母题变式
知识点2 两边成比例且夹角相等判断相似的应用
【例2】（课本P93习题）如图S4－28－4，P是△ABC的边AB上的一点.
图S4－28－4
课本母题
（1）如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？
（2）由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以进行判断，要特别注意是“夹角”相等，如果“夹角”不相等，那么就不一定相似.
解：（1）△ACP∽△ABC.
理由如下：
∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC.
图S4－28－4
图S4－28－4
图S4－28－5
母题变式
解：①如答图S4－28－1①，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
∵BC＝6，∴MN＝3.
答图S4－28－1
②如答图S4－28－1②，作∠ANM＝∠B，则△ANM∽△ABC，
答图S4－28－1
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第四章 图形的相似
第29课时 探索三角形相似的条件（三）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图S4－29－1，下列选项不能判定△ACD∽△ABC的是（ D ）
图S4－29－1
A. ∠ACD＝∠B B. ∠ADC＝∠ACB
C. AC2＝AD·AB D. BC2＝BD·AB
D
（限时3分钟）
温故知新
2. 如图S4－29－2，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ D ）
图S4－29－2
D
B. ∠B＝∠D
C. ∠C＝∠AED
三边 成比例 的两个三角形相似.
成比例
知识重点
3. 下列各选项中的三角形，与如图S4－29－3所示三角形相似的是（ B ）
图S4－29－3
A
B
C
D
B
对点范例
知识点1 应用三边成比例判断相似
【例1】（课本P95习题）一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三角形相似吗？为什么？
思路点拨：利用三边成比例的两个三角形相似即可判断.
课本母题
解：这两个三角形相似.
4. （课本P95习题）如图S4－29－4，△ABC与△EFG相似吗？为什么？
图S4－29－4
母题变式
解：△ABC与△EFG相似.
图S4－29－4
知识点2 三边成比例判断相似的应用
【例2】（课本P95习题）如图S4－29－5，已知一个等腰三角形和一条线段，以这条线段为边画三角形，使之与已知的等腰三角形相似.你能画出几个符合要求的三角形？
课本母题
图S4－29－5
思路点拨：根据等腰三角形的性质结合对应边的关系，利用4为底边或腰分别得出符合要求的答案即可.
解：如答图S4－29－1，可以画出两个符合要求的三角形.
答图S4－29－1
5. （课本P95习题）在一张8×8的方格纸上任意连接不在同一条直线上的三个格点，便可画出一个三角形.请用这种方式画出三对两两相似、大小不同的三角形，并指出它们的相似比.
母题变式
答图S4－29－2
解：如答图S4－29－2.
三角形①与②，③与④，⑤与⑥相似，相似比都是1∶2.
创新设计
图S4－29－6
图S4－29－6
图S4－29－7
图S4－29－7
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第四章 图形的相似
第24课时 成比例线段（二）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
（限时3分钟）
温故知新
1. 已知9x－7y＝0，那么下列等式一定成立的是（ B ）
B. 9x＝7y
C. 7x＝9y D. xy＝63
B
A
知识重点
对点范例
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
D
课本母题
知识点1 等比性质在代数中的应用
思路点拨：直接利用已知设出未知数，进而代入求出答案.
母题变式
知识点2 等比性质在几何中的应用
【例2】（课本P81习题）如图S4－24－1，已知每个小方格的边长均为1，求AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比.
课本母题
图S4－24－1
思路点拨：先根据勾股定理求出AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，再求出△ABC与△EDC的周长并比较即可得出结论.
母题变式
图S4－24－2
图S4－24－2
创新设计
图S4－24－3
图S4－24－3
答图S4－24－1
答图S4－24－1
（2）如图S4－24－3③，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形.
图S4－24－3
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