4.1指数
一．选择题（共4小题）
1．正实数，及函数满足，且，则的最小值为
A．4 B．2 C． D．
2．设，，是自然对数的底数，则
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知函数，则的零点个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量．已知时，铯137含量的变化率是（太贝克年），则
A．5太贝克 B．太贝克 C．太贝克 D．150太贝克
二．填空题（共4小题）
5．由，得成立．已知函数，对于实数，，满足，，则实数的最大值为 ．
6．已知函数，，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“翔宇一品数”．若已知函数，则在，上的“翔宇一品数”是 ．
7．已知实数、满足，且，则的取值范围是 ．
8．化简的结果是 ．
三．解答题（共2小题）
9．已知函数．
（1）求证：不论为何实数，在上均为增函数；
（2）若为奇函数，求的值；
（3）在（2）的条件下，求在区间，上的最大值和最小值．
10．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
4.1指数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．正实数，及函数满足，且，则的最小值为
A．4 B．2 C． D．
【分析】由已知须先求出的解析式，然后代入，及可得含有入，的式子
，再利用均值不等式求出的范围，即可解答的最小值来．
【解答】解：由已知得，由
于是可得：，
所以得：，①
设，则①式可得：，又因为，
于是有：或（舍，从而得，即：，
所以得：．
所以有：的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查函数最值的求法，指数函数的性质，函数解析式的运算，指数的运算，均值不等式的应用，考查的思想方法较综合，考查学生的运算能力要求较强．
2．设，，是自然对数的底数，则
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】将等式进行转化，构造函数，利用函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：方程等价为，
设，则函数在上单调递增，
，
，
即（a）（b），，故正确．
由，得，若，则，
即，则，
由，得，若，则，
即，则，
即若，则或都有可能，故，不一定正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
3．已知函数，则的零点个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先利用导数与函数单调性的关系分析在时的图象，再利用分段函数图象的作法作出函数的图象，然后利用换元法令，将零点问题转化为方程根的个数，先求出的值，然后再利用数形结合，求出根的个数，从而得到的零点个数．
【解答】解：当时，，则在上单调递减，令（a），则，
作出函数的图象如图所示，
令，则，解得或，
所以或，
当时，根据图象可得，与有两个交点，则方程有两个根，所以有两个零点；
当时，根据图象可得，与有一个交点，则方程有一个根，所以有一个零点；
综上可得，的零点个数为3个，
故选：．
【点评】本题考查了函数零点个数的判断，对于零点个数问题一般转化为方程根的个数，进一步转化为两个函数图象的交点个数，再利用数形结合法分析，本题解题的关键是正确作出函数的图象，经常运用了导数与函数单调性的关系分析函数的特征进行作图．
4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量．已知时，铯137含量的变化率是（太贝克年），则
A．5太贝克 B．太贝克 C．太贝克 D．150太贝克
【分析】由时，铯137含量的变化率是（太贝克年），先求出，再由，求出，然后能求出的值．
【解答】解：，
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用．
二．填空题（共4小题）
5．由，得成立．已知函数，对于实数，，满足，，则实数的最大值为 ．
【分析】由得：，依题意，可求得，令，则、是的解，利用△，可求得的范围，进一步可求得，利用该函数的单调性即可求得的最大值，继而可得的最大值．
【解答】解：由得：，
，
，
设，
则、是的解，
△，
或（舍去）．
又，
，
，
显然越大，越小，
当时，取最大值，又，
取到最大值时，也取到最大值，即．
故答案为：．
【点评】本题考查抽象函数的性质，着重考查对数函数的性质，求得之后，设，构造方程，、是的解是关键，也是难点，考查创新思维与综合分析与运算能力，属于难题．
6．已知函数，，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“翔宇一品数”．若已知函数，则在，上的“翔宇一品数”是 ．
【分析】根据已知中函数，，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“翔宇一品数”．根据函数，为单调减函数，可得在，上的“翔宇一品数”是其最大值和最小值的几何平均数．
【解答】解：由已知中翔宇一品数的定义可得即为函数，最大值与最小值的几何平均数
又函数为减函数
故其最大值，最小值
故
故答案为
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据已知判断出等于函数在区间上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．
7．已知实数、满足，且，则的取值范围是 ．
【分析】由题意画出图形，令，利用线性规划知识求出的范围，把化为含有的二次函数分段求解得答案．
【解答】解：由，且作出可行域如图，
令，
联立，解得，
联立，得，
由△，解得．
由图可知，当直线过点时，有最大值为14．
的取值范围为，．
，且，
．
当时，；
当时，，．
取并集得：的取值范围为：．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．化简的结果是 ．
【分析】只在原式的基础上乘以，就可以不断的形成平方差，从而求得结果．
【解答】解：
故答案为
【点评】此题考查了有理数指数幂的化简，巧妙运用是解题的关键，属于中档题．
三．解答题（共2小题）
9．已知函数．
（1）求证：不论为何实数，在上均为增函数；
（2）若为奇函数，求的值；
（3）在（2）的条件下，求在区间，上的最大值和最小值．
【分析】（1）利用单调性的定义：任取，通过作差证明即可；
（2）因为为上的奇函数，所以，由此可求值；
（3）在（2）的条件下得到表达式，利用的单调性即可求出在区间，上的最大值和最小值．
【解答】（1）证明：的定义域为，任取，
则
，
，
，
，即，
所以，无论为何实数，总为增函数．
（2）解：因为为上的奇函数，所以，即
解得．
（3）由（2）知，
由（1）知为区间，上的增函数，
所以在，上的最小值为（1），最大值为（5）．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，定义是解决函数奇偶性、单调性的基本方法．
10．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）由结合完全平方公式可求出的值，进而求出的值，代入所求式子即可求出结果．
（2）解方程组，用表达出，的值，代入所求式子化简，即可求出结果．
【解答】解：（1），
，，
，
，
又，
，
．
（2）由，得，
．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了数学公式的应用，是基础题
第1页（共1页4.2指数函数
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为
A． B．
C． D．
2．已知函数满足（1），若函数的图象不过第二象限，则的取值范围是
A． B．， C． D．，
3．已知函数，则对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集都不可能是
A．， B．， C．，3， D．，2，3，
二．填空题（共3小题）
4．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立．则的取值范围是 ．
5．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④
上述结论中正确结论的序号是 ．
6．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的，，，都有，则实数的最大值为 ．
三．解答题（共4小题）
7．已知函数为常数，且的图象过点和点．
（1）求函数的解析式；
（2）是奇函数，求常数的值；
（3）对任意的，且，试比较与的大小．
8．设函数且是奇函数．
（1）求常数的值；
（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；
（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．
9．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求值；
（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围．
10．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．
（1）求，的值．
（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．
（3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数，
使得式子对一切大于1的自然数都成立，
则称函数为“，上的函数”（其中，．
试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值；
若不是，则请说明理由．（注．
4.2指数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为
A． B．
C． D．
【分析】先根据基本不等式求出，的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求
【解答】解：，
，
当且仅当时取等号，此时函数有最小值1
，，
此时，
此函数可以看成函数的图象向左平移1个单位
结合指数函数的图象及选项可知正确
故选：．
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键
2．已知函数满足（1），若函数的图象不过第二象限，则的取值范围是
A． B．， C． D．，
【分析】利用指数函数的单调性可得．由于函数的图象不过第二象限，可得，求解即可得答案．
【解答】解：（1），
，
即
函数的图象不过第二象限，
，
，
的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数学转化思想方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
3．已知函数，则对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集都不可能是
A．， B．， C．，3， D．，2，3，
【分析】关于的方程的解集可能只有一个正实数根或有两个不同的正实数根，再利用指数函数类型函数的性质即可得出．
【解答】解：关于的方程的解集都不可能是．下面给出证明：
若此方程关于只有一个正实数根不等，则则，可以有两个不同的实数根，可能为
，，或，．
若此方程关于若有两个不同的正实数根，（均不等，则则或，可以有四个不同的实数根（两两对称），又，可能为，2，3，．若此方程关于若有两个不同的正实数根1，，则
或，可以有三个不同的实数根，需两个关于剩余一个对称，不可能为，3，．因此关于的方程
的解集都不可能是．
故选：．
【点评】本题考查了指数函数类型函数的性质、一元二次方程的实数根，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
二．填空题（共3小题）
4．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立．则的取值范围是 ．
【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立．则的取值范围是
【解答】解：，当时，，
又，或，
在时恒成立，
即在时恒成立，
则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，
，
即，
解得，
实数的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
5．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④
上述结论中正确结论的序号是 ①④ ．
【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．
【解答】解：点在函数且图象上，
，解得：，
，
①，故①正确；
②，故②错误；
③，在递增，故，故③错误；
④
故④正确；
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了指数的基本运算性质，指数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．
6．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的，，，都有，则实数的最大值为 ．
【分析】先求出的解析式，求出的最小值，然后分，和两种情况判断的单调性，再根据条件求出的范围，再求出的最大值．
【解答】解：由的图象向右平移3个单位后可得，再向上平移2个单位，可得．
当，时，是增函数，（3）．
函数，
当，时，是增函数，此时（5）（5），
当时，单调递减，由，得，
，当时，，
若对于任意的，，，都有，
则，的最大值为，
综上，的最大值为．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质平移，根据分段函数最值的讨论以及性质的运用，属于难题．
三．解答题（共4小题）
7．已知函数为常数，且的图象过点和点．
（1）求函数的解析式；
（2）是奇函数，求常数的值；
（3）对任意的，且，试比较与的大小．
【分析】（1）将、的坐标代入，求出，的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据函数奇偶性的定义求出的值即可；
（3）分别求出与的表达式，根据基本不等式的性质判断其大小即可．
【解答】解：（1）将和点代入得：
，解得：，
故；
（2）由（1），
若是奇函数，
则，
解得：；
（3）的图象是凹函数，
，
证明如下：
，
，
故．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数值的大小比较，考查不等式的性质，是一道中档题．
8．设函数且是奇函数．
（1）求常数的值；
（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；
（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．
【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数的值；
（2）当时，在上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）根据（1），求出，然后利用函数的最小值建立方程求解．
【解答】解：（1）且是奇函数．
，即，解得．
（2）且，
当时，在上递增．
理由如下：设，则
，
由于，则，即，
，即，
则当时，在上递增．
（3）（1），，
即，
解得或（舍去）．
，
令，
，
（1），
，
当时，，解得，不成立舍去．
当时，，
解得，满足条件，
．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．
9．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求值；
（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数当时的函数值为0，列出方程求出的值；
（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值作差变形判断符号下结论；
（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；
（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出的范围．
【解答】解：（1）由题设，需，，
，
经验证， 为奇函数，．
（2）减函数
证明：任取，，，△，
，
；
，
该函数在定义域 上是减函数．
（3）由 得，
是奇函数，，
由（2）知， 是减函数
原问题转化为，即 对任意 恒成立，
△，得 即为所求．
（4）原函数零点的问题等价于方程
由（3）知，，即方程有解
，当， 时函数存在零点．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值作差变形判断符号下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．
10．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．
（1）求，的值．
（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．
（3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数，
使得式子对一切大于1的自然数都成立，
则称函数为“，上的函数”（其中，．
试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值；
若不是，则请说明理由．（注．
【分析】（1）把点、的坐标代入函数的解析式中，求得、和的解析式；
（2）由题意构造函数，根据题意结合函数的单调性求出函数最值以及的取值范围；
（3）根据的单调性，结合题意求得的值，
从而求得的最小值．
【解答】解：（1）点，代入函数的解析式中，
得，两式相比得，
，，，；
（2）函数的图象恒在函数图象的上方，
代入，得函数的图象恒在函数图象的上方，
设，
在，上单调递减，在，上单调递减，
在，上为单调递减函数，
，
要使在轴上方恒成立，即恒成立，即；
（3）在，上单调递增，
（3）
，
的最小值为．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是难题
第1页（共1页）4.3对数
一．选择题（共5小题）
1．已知实数、，满足，，关于、下列判断正确的是
A． B． C． D．
2．已知是定义在上的单调函数，满足，且（a）（b），若，则与的关系是
A． B． C． D．
3．若，则
A． B． C． D．
4．已知，我们把使乘积为整数的数叫做“劣数”，则在内的所有“劣数”的和为
A．1016 B．2018 C．2024 D．2026
5．设实数，，，满足，则的最小值是
A．2 B．1 C． D．
二．填空题（共4小题）
6．若存在正数，，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是
7．已知表中的对数值有且只有两个是错误的：
1.5 3 5 6 7 8 9 14 27
请你指出这两个错误 ．（答案写成如的形式）
8．已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是 ．
9．已知数列满足，且，则 ．
三．解答题（共2小题）
10．若，且，（a）且，
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求的最小值及相应的值；
（Ⅲ）若（1）且（1），求的取值范围．
11．已知，且，设函数．
（1）求的值；
（2）记为函数在闭区间，上的最小值，利用（1）中所求的值，试写出的函数表达式，并求出的最小值．
4.3对数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知实数、，满足，，关于、下列判断正确的是
A． B． C． D．
【分析】，再构造函数和0比大小，可解决此题．
【解答】解：，不选；
令，
设，则，，，，
，，
故选：．
【点评】本题考查导数运算、不等式性质、考查数学运算能力，属于难题．
2．已知是定义在上的单调函数，满足，且（a）（b），若，则与的关系是
A． B． C． D．
【分析】设，则，由，得，令，得，解得，则，由（a）（b）（1），得到，从而，由此能求出结果．
【解答】解：是定义在上的单调函数，满足，
是一个常数，设，则，
由，得，
令，得，解得，
，（1），
（a）（b）（1），
，，
，，
解得或．（舍去），
．
故选：．
【点评】本题考查两个实数的关系的求法，考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3．若，则
A． B． C． D．
【分析】由已知可知，，结合不等式的特点，考虑构造函数，结合函数的单调性可判断
【解答】解：，
即，
令，则
在上单调递增，且，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了利用对数函数的单调性及复合函数单调性的应用，解题的关键是构造函数并能灵活利用函数的单调性．
4．已知，我们把使乘积为整数的数叫做“劣数”，则在内的所有“劣数”的和为
A．1016 B．2018 C．2024 D．2026
【分析】，可得．时，；时，；若，则，不满足题意．利用数列求和公式即可得出．
【解答】解：，则．
时，；；时，；
若，则，不满足题意．
在内的所有“劣数”的和
．
故选：．
【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．设实数，，，满足，则的最小值是
A．2 B．1 C． D．
【分析】由可知点是曲线上的点，是直线上的点，由导数的几何意义可知，过曲线上的点且与线平行时，有最小值，然后求导，再由点到直线间的距离求解即可得答案．
【解答】解：，
点是曲线上的点，是直线上的点，
．
要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．
，
由得，；由得．
当时，取得极小值．
由，可得（负值舍去），
点到直线的距离为，则．
，
的最小值为2．
故选：．
【点评】本题考查函数最值的应用，分析得到点是曲线上的点，是直线上的点，是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．
二．填空题（共4小题）
6．若存在正数，，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 ，
【分析】令，分类参数得，求出的值域，从而得出的范围．
【解答】解：则可化为：，令，得．
令，，
则，
则，
故为上的增函数，
又因为（e）（e），
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在存在最小值（e），
即的值域为，
，
所以，，
故填：，，
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．属于难题．
7．已知表中的对数值有且只有两个是错误的：
1.5 3 5 6 7 8 9 14 27
请你指出这两个错误 ， ．（答案写成如的形式）
【分析】用反证法，先假设是错误的，根据题意转化为，，，则，也是错误不符合题意；所以一定对，可知，都对．若错，则，均错，得知对，转化为，推知，均对的．
【解答】解：（1）假设是错误的，即，，
于是，也均是错误的，
这与“有且只有两个是错误的”矛盾，故假设不成立，
的对数值是正确的．
（2）由（1）知一定对，则，都对．若错，则，均错（不符），
所以对的，可得，即有，均对的．
，
表中是错的．又易知是错的，
，事实上
故答案为：，
【点评】本题主要考查对数的运算性质和反证法的应用，要注意基本步骤，先否定结论，肯定假设，推出矛盾，肯定结论，否定假设．
8．已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是 ， ．
【分析】画出的图象，推导出，从而，，设（a），则（a），由此能求出的取值范围．
【解答】解：画出的图象如图：
且（a）（b），
，
，
，
，即，
，，
，，
设（a），
则（a），
则（a），得，（舍去，
当，时，（a），（a）是减函数，
当，时，（a），（a）是增函数，
（1），，
的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．已知数列满足，且，则 100 ．
【分析】由，得到数列是公比的等比数列，根据等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解即可．
【解答】解：，
，即，
．
数列是公比的等比数列．
则，
．
故答案为：100．
【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中档题．
三．解答题（共2小题）
10．若，且，（a）且，
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求的最小值及相应的值；
（Ⅲ）若（1）且（1），求的取值范围．
【分析】代入利用对数的运算性质即可得出．
利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．
（Ⅲ）由题意知：，利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ），，
，．
又（a），（a）．，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
当，即时，有最小值．
（Ⅲ）由题意知：，
解得，
，
．
【点评】本题考查了对数的运算性质、二次函数与对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知，且，设函数．
（1）求的值；
（2）记为函数在闭区间，上的最小值，利用（1）中所求的值，试写出的函数表达式，并求出的最小值．
【分析】（1）由已知中，且，我们易根据换底公式得到，，进而根据对数的运算性质，构造关于的方程，解方程求出的值．
（2）根据（1）中结论，我们将问题转化为一个二次函数在定区间上的最小值问题，分类讨论后，即可得到的函数表达式，结合二次函数的性质及分段函数最小值的确定方法得到的最小值．
【解答】解：（1），
，
又，
（2）由（1）中
当，即时，
当，即时，
（2）
当时，
则
的最小值为
【点评】本题考查的知识点是换底公式的应用，函数的最值及其几何意义，其中利用换底公式和对数的运算性质，求出值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．
第1页（共1页）4.4对数函数
一．选择题（共5小题）
1．设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为
A． B． C．8 D．4
3．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为
A． B． C． D．
4．若，则
A． B．
C． D．
5．已知是自然对数的底数，设，，，则
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数与，若对任意的，，都存在，，使得，则实数的取值范围是 ．
7．已知，，，则，，的大小关系为
8．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是 ．
9．设为，，的反函数，则的最大值为 ．
三．解答题（共3小题）
10．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数在，上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．
11．已知函数是上的偶函数，且当时，．
（1）求（1）的值；
（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若，求实数的取值范围．
12．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．
4.4对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，则答案可求．
【解答】解：构造函数，
则，
当时，，
则在上为增函数，
（3），即，
，即，则；
设，则，
当时，，
在上为增函数，则（3），
即，则．
又．
．
故选：．
【点评】本题考查对数值大小的比较，考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，属难题．
2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为
A． B． C．8 D．4
【分析】设，，，的横坐标分别为，，，，由题意求出四个点的横坐标，然后表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．
【解答】解：设，，，的横坐标分别为，，，，
由题意可得，，，，，
则有，，，，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，即的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了对数函数的应用，主要考查了对数式与指数式的互化，基本不等式求最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
3．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为
A． B． C． D．
【分析】求出，的坐标，设出的坐标，根据中点坐标公式求出的值即可．
【解答】解：由题意，，，
设，因为是等边三角形，
所以点到直线的距离为，所以，，
根据中点坐标公式可得，
所以，解得，
故选：．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查中点坐标公式，是中档题．
4．若，则
A． B．
C． D．
【分析】通过构造函数，得到时递增函数，再构造函数，利用在，上单调递减，得到（a）（b）（c），即，变形可得到．
【解答】解：设，，令，，
，递增函数，
设，，
，当时，，，
在，上单调递减，
，，
（a）（b）（c），，
，，，
，，，
，
故选：．
【点评】本题考查了通过构造函数，利用构造函数的单调性 再通过合理变形解决问题，属于中档题．
5．已知是自然对数的底数，设，，，则
A． B． C． D．
【分析】构造新函数，利用函数的单调性比较大小即可．
【解答】解：已知是自然对数的底数，，，，
设，
则，
当时，，函数在上是增函数，
当时，，函数在上是减函数，
（3），（2），而，
所以，
又因为，，为常用不等式，可得，
令，
，
当时，，函数在上是减函数，
故（2）（e），
则，即，
则，
故：
故选：．
【点评】本题考查了利用函数的单调性比较大小，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数与，若对任意的，，都存在，，使得，则实数的取值范围是 ，， ．
【分析】分别求出和的值域，令的值域为的值域的子集列出不等式解出．
【解答】解：，，（2）（6），即，的值域为，．
的图象开口向上，对称轴为，
（1）若，则在，上是增函数，（2），即的值域为，，
，解得．
（2）若，则在，上是减函数，（2）（1），即的值域为，，
，解得．
（3）若，则（a），（2），的值域为，，
，解得．
（4）若，则（a），，的值域为，，
，解得．
综上，的取值范围是，，，，，，．
故答案为，，．
【点评】本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题．
7．已知，，，则，，的大小关系为
【分析】构造函数，，，利用导数和函数的单调性即可判断．
【解答】解：，，，
令，，
令，则，，
，
，
在上单调递增，
（1），
，，
同理令，
再令，则，，
，
，
在上单调递减，
（1），
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．
8．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是 ， ．
【分析】由题意，对定义域内任意实数，使得恒成立，由此进行讨论分析可求的取值范围．
【解答】解：由题意，其定义域内任意实数，使得，
，解析式要有意义，则有，
①当时，，定义域为，满足恒成立；
②当时，，定义域为，满足恒成立；
③当时，有在上恒成立，
所以，解得；
④当时，在时，有，不符合题意．
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键，属于中档题．
9．设为，，的反函数，则的最大值为 ．
【分析】根据是，上的增函数，且与的单调性相同，得出的定义域为，，进而可得的最大值．
【解答】解：，是，上的单调增函数，且为，，的反函数，
和的单调性相同，
当时，的最大值为，
且当时，
的定义域为，，
且当时，
的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了反函数的性质，函数的定义域值域．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
三．解答题（共3小题）
10．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数在，上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出的值即可；
（2）先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）问题转化为在，上恒成立，通过换元法求解即可．
【解答】解：（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
即，得，而当时不合题意，故．
（2）由（1）得：，
而，易知在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的值域为，，所以，
故函数在区间上的所有上界构成集合为，．
（3）由题意知，在，上恒成立，，．
在，上恒成立．
设，，，由，，得．
易知在，上递增，
设，，
所以在，上递减，在，上的最大值为（1），在，上的最小值为（1），
所以实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的新定义问题，考查换元思想，是一道中档题．
11．已知函数是上的偶函数，且当时，．
（1）求（1）的值；
（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出（1）即的值即可；
（2）令，得到，根据函数的奇偶性求出的解析式，从而求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为，得到关于的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）（1）；
（2）令，则，
则，
故时，，
故；
故在，递增，在递减；
（3）若，即，
时，（1），则，
时，，则，
故或，
解得：或，
即，，
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．
12．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．
【分析】（1）函数的图象关于原点对称，可得，整理得恒成立，即可得出答案
（2）时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出的取值范围
（3）由于在，上是增函数，在，上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案
【解答】解：（1）函数的图象关于原点对称，
，即，
，恒成立，
即，即恒成立，所以，解得，
又时，无意义，故；
（2）时，恒成立，即，
在恒成立，
由于是减函数，故当，函数取到最大值，
，即实数的取值范围是；
（3）在，上是增函数，在，上是减函数，
只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．
代入函数解析式得，解得，
即当时关于的方程在，上有解．
【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识
第1页（共1页）4.5函数的应用（二）
一．选择题（共5小题）
1．函数，则满足的所有实数的和为
A． B．6 C．8 D．
2．已知函数有且只有一个零点，则的值为
A． B． C． D．
3．已知定义域为的函数在，上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在，上的零点个数为
A．404 B．804 C．806 D．402
4．已知函数满足，当，，，若在区间，内，函数有两个不同零点，则实数的取值范围是
A． B．， C．， D．，
5．已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为、
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
7．已知函数有三个不同的零点，，且，若，2，，则的值为 （注：题中为自然对数的底数，即
8．已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是 ．
9．设，，若关于的方程在区间，上有5个解，且它们的和为，则 ．
三．解答题（共3小题）
10．已知函数，关于的方程恰有两个不相同的实根，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
11．已知函数，，，且关于的不等式的解集为，设．
（1）若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
12．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．
（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；
（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：
假设1：家具呈长方体的形状：
假设2：转角两侧的过道宽度相同：
假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；
假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：
假设5：过道的转角为直角：
假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．
根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内
4.5函数的应用（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．函数，则满足的所有实数的和为
A． B．6 C．8 D．
【分析】先求出奇偶性，函数为偶函数，则可得或，可求出解，得出结果．
【解答】解：，则为偶函数，
则由可得或，
即或，
则或，
所以满足的所有实数的和为，
故选：．
【点评】本题考查奇偶性性质应用，函数的零点问题，属于难题．
2．已知函数有且只有一个零点，则的值为
A． B． C． D．
【分析】令，得，设，可求得，且，进一步分析可得当时，取得最小值，从而可得的值．
【解答】解：令，得，
令，则，
当时，，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，取得极小值．
又时，，，，
所以，当时，取得最小值，为，
此时函数有且只有一个零点，
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与函数的零点判定定理的应用，考查化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
3．已知定义域为的函数在，上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在，上的零点个数为
A．404 B．804 C．806 D．402
【分析】根据题意可求得函数周期为10，以此可解决此题．
【解答】解：与都是偶函数，
与，
与，
，，
是函数的周期，
又，，，，，
，
函数在，上有1和3两个零点，
函数在，上的零点个数为：．
故选：．
【点评】本题考查函数周期性与奇偶性、函数零点，考查数学运算能力及推理能力，属于难题．
4．已知函数满足，当，，，若在区间，内，函数有两个不同零点，则实数的取值范围是
A． B．， C．， D．，
【分析】根据条件关系求出函数在，上的解析式，利用函数与方程之间的关系，利用参数分离法进行转化，构造函数，求出函数的导数和极值极限求解即可．
【解答】解：由，得，
当时，，此时，
即，
若在区间，内，函数有两个不同零点，
即在区间，内，，即有两个不同零点，
设，
当时，，那么，此时为增函数，
当时，，那么，
由，得，得，
那么，即在时，单调递增，
则（4），要使有两个不同零点，
则，
即实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．属于难题．
5．已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个根，，可解决此题．
【解答】解：由题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个根，，
；则，作出的图象，函数与三个不等实根，，，且，
那么，
可得；根据，则，
构造新函数
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，取得最小值为，即的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．
二．填空题（共4小题）
6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
【分析】，通过解或得函数单调区间，然后得函数最大值，令，
关于的方程有4个不同的实数根在上有2个不等实数根，
以此可解决此题．
【解答】解：根据题意可知函数定义域为：，
，
由得：，
函数单调递增区间为：，单调递减区间为：，，
，
令，则关于的方程有4个不同的实数根在上有2个不等实数根，
，得，解得：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查导数应用、函数性质、一元二次方程根与系数关系，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．
7．已知函数有三个不同的零点，，且，若，2，，则的值为 （注：题中为自然对数的底数，即
【分析】运用分离变量法构造新函数，通过分析新函数的性质，结合函数的图象，确定函数的零点，即可得到答案．
【解答】解：因为有三个不同的零点，，且，
又，
因为，可得，即，
即，其中，
令，
则，
当或时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
当时，，
当且时，，
当且时，，
又（1），
故函数的图象大致如图所示，
令，则或，
可得，
令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
则的图象大致如图所示，
因为有三个零点，结合和的函数图象，
当时，至多有2个零点；
当时，的解，必有一个为，否则必存在四个零点，
所以，，
又因为，
所以，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．
8．已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是 ．
【分析】由题意可得，方程可变形得，构造函数，利用导数得到该函数的单调性及最值，作出图像，数形结合即可．
【解答】解：令，则，所以，
因为，所以，解得，则，
故方程化简可得，则，
令，则时，，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数有最大值（e），当时，，当时，，
作出函数的图像如图所示：
由图可知，实数的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查函数的图象与性质的综合运用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是较难的题目．
9．设，，若关于的方程在区间，上有5个解，且它们的和为，则 或． ．
【分析】先把方程的解转化为函数的零点，记为，，，，，不妨设，再结合三角函数的图形及其性质可得，，，再建立，的方程，解出，，最后利用解出．
【解答】解：令，则，
因为关于 的方程 在区间，上有 5 个解，
则函数 在，上有 5 个零点，记为，，，，，不妨设，
因为，即，的区间长度等于 2 个周期，
所以必有，，，如下图所示，
结合三角函数的图象可知，
于是，又因为函数 的对称轴为，
所以，即，
又因为，，所以 或．
故答案为： 或．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与方程的根之间的关系，考查数形结合的数学思想，属于难题．
三．解答题（共3小题）
10．已知函数，关于的方程恰有两个不相同的实根，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）将问题转化为方程有两个不同的实数根，分，两种情况，去掉绝对值，然后转化为一元二次方程根的问题进行分析求解，即可得到答案；
（Ⅱ）先判断不符合题意，当时符合题意，再求解以及时，使得成立的关系，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）恰有两个不相同的实根，恰有两个不相同的实根，其中，
①当，即时，，
则有两个不相同的实根，
故△，解得；
②当，即时，
当时，原方程等价，
故△恒成立，
故在有一根；
当时，原方程等价于，
故△恒成立，
故在上有一根，
故满足题意；
综上所述，实数的取值范围为；
（Ⅱ）当时，，，此时，不合题意；
当时，，，，符合题意；
当时，由（1）可知，，
，
故
，
又，
当时，由（1）可知，，
故，
又，
故，
则成立，
故
因为，所以，
解得，结合，
则；
综上所述，当时，成立．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于较难题．
11．已知函数，，，且关于的不等式的解集为，设．
（1）若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【分析】（1）说明，是方程的两个根，求出，，得到函数的解析式，存在，，使不等式成立，等价于在，上有解，利用基本不等式转化求解即可．
（2）化简方程，令，则，则有两个不同的实数解，，
其中，，或，，构造函数，利用函数的零点判定定理，列出关系式，求解即可．
【解答】解：（1）不等式的解集为，
，是方程的两个根，
，解得，
．．
存在，，使不等式成立，
等价于在，上有解，
而，
当且仅当，即时等号成立，
的取值范围为；
（2）原方程可化为，
令，则，，则有两个不同的实数解，，
其中，，或，，
记，
则①，解得，
或②，不等式组②无实数解，
实数的取值范围为．
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．
12．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．
（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；
（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：
假设1：家具呈长方体的形状：
假设2：转角两侧的过道宽度相同：
假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；
假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：
假设5：过道的转角为直角：
假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．
根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内
【分析】（1）作出图形，提出问题即可；
（2）利用三角函数的知识结合题中的等量关系，求出矩形的长与角度的函数关系式，然后由导数求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）提出的问题为：如下图，在不同的角度下，求的最小值，
这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长与角度的函数关系式，
并对，时，求这个函数的最小值．
（2）画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：
右图可知，，
所以，
故矩形的长与角度的函数关系式为，
当，时，，
所以
，
因为，则，，
所以，，
故，
由，即，解得，
由，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值为，
所以当，时，函数的最小值为．
【点评】本题考查了函数模型的旋转应用，开放性问题对学生的能力要求较高，涉及了三角函数的化简，三角恒等变换的应用，利用导数研究函数的单调性与最值问题，综合性强，考查了逻辑推理能力、化简运算能力
声明：试
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