分式方程（2）
1、 复习旧知
1、 某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有即时到位，只好先用人工装运，6 h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 h完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运x h 可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？
请找出此题中存在的数量关系：
（人工装运的工作效率+机械装运的工作效率）×1=
即
2、 讲授新知
你能设法求出分式方程的解吗？
解方程
解：方程两边都乘以6x，得
x+6=6x
解这个方程，得x=
例1 解方程：
解：方程两边都乘以，得
解这个方程，得
检验：将x=3代入原方程，得
左边=1=右边
所以，x=3是原方程的根。
例2 解方程
解略
议一议：P80
在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式。
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。
想一想：
解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
3、 随堂练习
1、 解方程：
（1） （2）
2、 若方程会产生增根，试求k的值
4、 学习小结：
1、 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2、 在本节课的学习过程中，你有什么感想？
5、 作业P82习题3.7
教学反思：分式（1）
教学目标
（1） 知识与技能目标
1．使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分．
2．使学生能够求出分式有意义的条件．
（1） 过程与方法目标
能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题．
（三）情感与价值目标
在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力．
教学重点和难点
准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点．
教学方法:分组讨论．
教学过程
1. 情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？
（1） 这一问题中有哪些等量关系？
（1） 如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；
根据题意，可得方程 ；
2、解读探究
，，
认真观察上面的式子，方程有什么特点？
做一做1.正n边形的每个内角为 度
2一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，则每千克苹果售价是多少元？
上面问题中出现的代数式，，；它们有什么共同特征？
(1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论：
的分母．
(2)由学生举几个分式的例子．
(3)学生小结分式的概念中应注意的问题．
①分母中含有字母．
②如同分数一样，分式的分母不能为零．
(4)问：何时分式的值为零？(以(2)中学生举出的分式为例进行讨论)
例1（1）当a=1,2时，求分式的值；
（1） 当a取何值时，分式有意义？
解：（1）当a=1时，当a=2时
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。
由分母2a=0,得a=0，所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义。
例2当x取何值时，下列分式有意义？
思考：若把题目要求改为：“当x取何值时下列分式无意义？”该怎样做？
例3 当x取何值时，下列分式的值为零？
解：由分子x+3＝0得x＝-3．
而当x＝-3时，分母2x-7＝-6-7≠0．
∴当x＝-3时，原分式值为零．
小结：若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子值等于零；②分母值不等于零．
课堂小结
本节课你学到了哪些知识和方法？
1．分式与分数的区别．
2．分式何时有意义？
3．分式何时值为零？
练习：教材P．61
作业
教材P．61 A组3．1
教学反思：分式方程（3）
1、 情境导入：
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
（1） 你能找出这一情境中的等量关系吗？
（2） 根据这一情境你能提出哪些问题？
（3） 你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？
2、 解读探究
问：能从不同的角度找出这一情境中的等量关系吗？大家分组探讨一下
探讨后综合：等量关系有下面一些：（1）第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500。（2）第一年出租的房屋间数＝第二年出租的房屋间数。（3）出租的房屋间数＝所有出租的房屋的租金÷每间房屋的租金
若设第一年每间房屋的租金为x元
列出方程为
例3某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5，求该市今年居民用水的价格
相互交流一下，看这道题中有哪些等量关系？
等量关系：小丽家今年7月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量＝5
解：设该去年居民的用水价格为x元/，则今年的水价为（1＋）x元/
根据题意得
练习：1、某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m3的部分每立方米收费多少元？
解：设超出5m3部分的水，每立方米收费x元，则1月份，张家超出5m3部分的水费为（17.5-1.5×5）元，超出5m3的用水量为
李家超出5m3部分的水费为（27.5-1.5×5）元，超出5m3的用水量为
根据题意，得
解这个方程，得
x=2
经检验，x=2是所列方程的根。
所以超出5m3部分的水，每立方米收费2元。
1. （广西壮族自治区，中考题）为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？
解：设普通快车的平均速度为xhm/h，则直达快车的平均速度为1.5km/h，依题意，得
解得：x=46
经检验，x=46，是方程的根，且符合题意。
∴x=46,1.5x=69
2. （宁夏回自治区，中考题）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚。
解 所编应用题为：
甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
解 设甲每小时做x个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有
∴x=5,x-2=5-2=3
答：甲每小时做5个，乙每小时做3个。
分式方程的应用主要是解应用题，能归纳一下列分式解应用题的步骤吗？
教师可以总结列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答．
(1)审——仔细审题，找出等量关系．
(2)设——合理设未知数．
(3)列——根据等量关系列出方程(组)．
(4)解——解出方程(组)．
(5)答——答题．
学习小结：本节课你学到了哪些知识和方法？
作业：P84 习题3.8
教学反思：分式的加减法(一)
教学目标
(一)知识与技能目标
1、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力．
2、引导学生不断小结运算方法和技巧，提高运算能力．
（二）过程与方法目标
经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理
（三）情感与价值目标
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识和能力
教学重点和难点
1．重点：分式的加减运算．
2．难点：异分母的分式加减法运算．
教学方法：启发式、分组讨论．
第一课时
教学过程
1、情境引入：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路，2km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h ,在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么
（1） 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？
（2） 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？
想一想
2、解读探究
同分母分数如何加减？（学生举例）你认为应该等于什么？
猜一猜，同分母的分式应该如何加减？
同分母的分式相加减，分母不变把分式相加减
做一做
（1）_____________
（2）_______________
想一想
（3） 异分母分数如何加减？（学生举例）
（4） 你认为异分母的分式应该如何加减？比如应该怎样计算？
议一议
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。
小明：
小亮：
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
例1 计算
（1）； （2）
解略。
随堂练习P74
3、课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？
作业P74
教学反思：分式方程(一)
教学目标
(一)知识与技能目标
经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．
（二）过程与方法目标
经历“实际问题－分式方程方程模型－求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。
（三）情感与价值目标
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
教学重点和难点
1．教学重点：分式方程的解法及应用．
2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因，分式方程的应用
教学方法
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用．
第一课时
教学过程
1、情境导入：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？分组交流
如果设第一块试验田每公顷的产量为kg，那公第二块试验田每公顷的产量是__________kg。
根据题意，可得方程_____________________
2、解读探究
从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。根据题意，可得方程_________________。
学生分组探讨、交流，列出方程
做一做：
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？
议一议：
上面所得到的方程有什么共同特点？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程与整式方程有什么区别？
3、随堂练习
（1）据联合国《２００３年全球投资报告》指出，中国2002年吸收外国投资额达530亿美元，比上一年增加了13%。设2001年我国吸收外国投资额为亿美元，请你写出满足的方程。你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？
（2）轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度．
（3）根据分式方程编一道应用题，然后同组交流，看谁编得好
4、学习小结
本节课你学到了哪些知识？有什么感想？
作业：P80习题3.6
教学反思：分式的加减法
第二课时
1、 复习旧知
（1） （2）
问： （1）同分母分式的加减法法则是什么？
（2）异分母分式的加减法法则是什么？
2、 讲授新知
例２ 计算
（１）； （２）
解： （１）
（２）
练习：
（1） （2）
例3 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料。两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每资购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饮料。设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m,n是正数，且mn），那么甲、乙所购饲料的平均单价各是多少 哪一个较低？
解：甲两次购买饲料的平均单价为；
乙两次购买饲料的平均单价为
甲、乙所购饲料的平均单价的差是
因为m，n是正数，且mn，所以，因此，即乙购饲料的平均单价较低。
3、 随堂练习
1、 计算：
（1） （2）
2、 用两种方法计算：
4、 探究活动
一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成，甲、乙两人一志完成这项工程需要多长时间？
5、 学习小结：
通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？
作业布置：P77习题3.5
教学反思：分式方程（3）
1、 情境导入：
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
（1） 你能找出这一情境中的等量关系吗？
（2） 根据这一情境你能提出哪些问题？
（3） 你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？
2、 解读探究
问：能从不同的角度找出这一情境中的等量关系吗？大家分组探讨一下
探讨后综合：等量关系有下面一些：（1）第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500。（2）第一年出租的房屋间数＝第二年出租的房屋间数。（3）出租的房屋间数＝所有出租的房屋的租金÷每间房屋的租金
若设第一年每间房屋的租金为x元
列出方程为
例3某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5，求该市今年居民用水的价格
相互交流一下，看这道题中有哪些等量关系？
等量关系：小丽家今年7月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量＝5
解：设该去年居民的用水价格为x元/，则今年的水价为（1＋）x元/
根据题意得
练习：1、某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m3的部分每立方米收费多少元？
解：设超出5m3部分的水，每立方米收费x元，则1月份，张家超出5m3部分的水费为（17.5-1.5×5）元，超出5m3的用水量为
李家超出5m3部分的水费为（27.5-1.5×5）元，超出5m3的用水量为
根据题意，得
解这个方程，得
x=2
经检验，x=2是所列方程的根。
所以超出5m3部分的水，每立方米收费2元。
1. （广西壮族自治区，中考题）为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？
解：设普通快车的平均速度为xhm/h，则直达快车的平均速度为1.5km/h，依题意，得
解得：x=46
经检验，x=46，是方程的根，且符合题意。
∴x=46,1.5x=69
2. （宁夏回自治区，中考题）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚。
解 所编应用题为：
甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
解 设甲每小时做x个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有
∴x=5,x-2=5-2=3
答：甲每小时做5个，乙每小时做3个。
分式方程的应用主要是解应用题，能归纳一下列分式解应用题的步骤吗？
教师可以总结列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答．
(1)审——仔细审题，找出等量关系．
(2)设——合理设未知数．
(3)列——根据等量关系列出方程(组)．
(4)解——解出方程(组)．
(5)答——答题．
学习小结：本节课你学到了哪些知识和方法？
作业：P84 习题3.8
教学反思：分式的乘除法
教学目标
(一)知识与技能目标
使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
（二）过程与方法目标
经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性
（三）情感与价值目标
教学过程中渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学到方法，受到思维训练．
教学重点和难点
重点是掌握分式的乘除运算
难点是分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
教学方法 小组合作交流
教学过程
1、情境导入
有一次鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的构造发明了锯子。鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法。
观察下列运算：
猜一猜与同伴交流。
2、解读探究
经观察、类比不难发现
由学生自己归纳总结出分式乘除法法则
例1计算（1） （2）
注意：分式运算的结果通常要化成最简分式或整式
例2计算（1） （2）
小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分
②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．
做一做：通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都d，已知球的体积公式为（其中R为球的半径，）那么
（1） 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（1） 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
（1） 买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
3、课堂练习
4、课堂小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？
作业教材P．70中3．3
教学反思：分式(2)
教学目标
（一）知识与技能目标
使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式化简．
（二）过程与方法目标
通过分式的化简提高学生的运算能力．
（三）情感与价值目标．
渗透类比转化的数学思想方法．
教学重点和难点
1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．
2．难点：灵活运用分式的基本性质进行分式化简．
教学方法 分组讨论．
教学过程
(一)情境引入1．数学小笑话：
从前有个不学无术的富家子弟，有一次，父母出远门去办事，把他交给厨师照看，厨师问他：“我每天三餐每顿给你做两个馒头，够吗？”他哭丧着脸说：“不够，不够！”厨师又问：“那我就一天给你吃六个，怎么样？”他马上欣喜地说：“够了！够了！”
2．问：这个富家子弟为什么会犯这样的错误？
3．分数约分的方法及依据是什么？
．（1）的依据是什么？呢？
（2）你认为分式与相等吗？与呢？
(二)新课
1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
2．加深对分式基本性质的理解：
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？
解：∵c≠0，
学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)
例2 化简：（1）；（2）
做一做练习 课堂练习
(三)课堂小结1、通过本节课学习，你有什么收获？
作业
教材P．66习题3．2
教学反思：
