2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--专题强化练3　数列的递推公式及通项公式

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
专题强化练3　数列的递推公式及通项公式
1.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=　　　　　B.an=　　　C.an=　　　　　D.an=
2.(2022安徽宣城中学开学考试)已知{an}是等比数列,a3=1,a6=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)
A.16(1-4-n)　　　B.16(1-2-n) C.(1-4-n)　　　　　D.(1-2-n)
3.(2023重庆巴蜀中学月考)已知数列{an}中,a1=2,+an+1=3an+1(n∈N*),Sn是数列的前n项和,则S2023=(　　)
A.1-　　B.1- C.1-　　D.1-
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn+1=4an,则使不等式+…+<1000成立的正整数n的最大值为(　　)
A.7　　　B.8　　　C.9　　　D.10
5.(2023福建福州一中期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,an+an+1=4n+2(n∈N*),则使得Sn<2023成立的n的最大值为(　　)
A.32　　　B.33　　　C.44　　　D.45
6.(2023河南安阳重点高中联考)已知数列{an}满足a1=2,log43·an-=log25·log53·an+1an,则a8=　　　　.
7.已知在数列{an}中,a1=2,a1++…+=an+1-2,则an=　　　　.
8.(2023湖南常德临澧一中开学考试)已知数列{an}满足a1=1,a2=6,an+1+an-1=2an+2n-1+2(n∈N*,且n≥2).
(1)求证:数列{an+1-an-2n}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
9.(2023辽宁丹东期末)设数列{an}的前n项和是Sn,数列{Sn}的前n项积是Tn,Sn+Tn=1.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)数列中的第几项最接近2023
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　数列的递推公式及通项公式
1.D 2.C 3.B 4.C 5.C
1.D　由an+1=(n∈N*),得,即,又=1,
所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以,所以an=,故选D.
2.C　设等比数列{an}的公比为q.
由a3=1,a6=,得,
所以q=,
所以an=a3qn-3=1×,
所以anan+1=·,
所以,
所以数列{anan+1}是以a1a2=8为首项,为公比的等比数列.
所以a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n).故选C.
3.B　因为+an+1=3an+1,所以+an-2=3an+1-3,即(an+2)(an-1)=3(an+1-1),
两边同时取倒数得,
整理得,即,
所以S2023=+…++…+.故选B.
4.C　∵3Sn+1=4an,
∴Sn=,
当n=1时,a1=S1=,即a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1,即an=4an-1,
∴数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,
则an=1×4n-1=4n-1,
即=2n-1,
∴+…+=20+21+…+2n-1==2n-1,
若使不等式+…+<1000成立,
则需2n-1<1000,即n≤9,
所以满足题意的正整数n的最大值为9.
故选C.
5.C　由题意得an+1=-an+4n+2,
构造an+1+k(n+1)+b=-(an+kn+b),k,b∈R,
化简得an+1=-an-2kn-2b-k,则
解得即an+1-2(n+1)=-(an-2n),
令bn=an-2n,则bn+1=-bn,
故数列{bn}是首项为b1=a1-2=2,公比为-1的等比数列,
故bn=2×(-1)n-1,则an=2n+2×(-1)n-1,
所以数列{an}的前n项和Sn==n2+n+1-(-1)n,
当n为偶数时,Sn=n2+n<2023,
即n(n+1)<2023,
因为44×45=1980<2023,46×47=2162>2023,
所以此时n的最大值为44;
当n为奇数时,Sn=n2+n+2<2023,
即n(n+1)<2021,
因为43×44=1892<2021,45×46=2070>2021,
所以此时n的最大值为43.
综上可得,n的最大值为44.故选C.
方法技巧　求形如an+1=pan+qn+r形式的递推数列的通项公式时,可设an+1+(n+1)x+y=p(an+nx+y),移项整理,对比系数可得解得则有an+1+,
所以数列是以a1+为首项,p为公比的等比数列.
6.答案　
解析　由题意得log43·an-log2·an+1=log23·an·an+1,
即log23·an-log23·an+1=log23·an·an+1,可得an-an+1=2an·an+1,整理可得=2,即数列是公差为2的等差数列,又,
故+(n-1)·2=2n-,
所以an=,故a8=.
7.答案　2n
解析　因为a1++…+=an+1-2①,
所以当n=1时,a1=a2-2=2,得a2=4;
当n≥2时,a1++…+=an-2②,
①-②,得=an+1-an,即nan+1=(n+1)an,
易知an≠0,所以(n≥2).
因为=2,所以(n≥1),所以···…·×…×=n,所以=n,所以an=2n.
8.解析　(1)证明:当n=1时,a2-a1-21=6-1-2=3,
当n≥2时,由an+1+an-1=2an+2n-1+2,
得an+1-an=an-an-1+2n-1+2,
则(an+1-an-2n)-(an-an-1-2n-1)
=(an-an-1+2n-1+2-2n)-(an-an-1-2n-1)=2,
∴数列{an+1-an-2n}是首项为3,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得an+1-an-2n=3+(n-1)×2=2n+1,即an+1-an=2n+2n+1,
∴当n≥2时,a2-a1=21+3,a3-a2=22+5,……,an-an-1=2n-1+(2n-1),
将以上各式左右两边分别相加,
可得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=21+22+…+2n-1+[3+5+…+(2n-1)],即an-a1==2n+n2-3,
又a1=1,所以an=2n+n2-2.
解题模板　求数列通项公式的常用方法:①利用an=求数列的通项公式;②若递推公式为an-an-1=f(n)(n≥2),则利用累加法求通项公式;③若递推公式为=f(n)(n≥2),则利用累乘法求通项公式.
9.解析　(1)证明:由题可得,当n=1时,T1=S1,
∵Sn+Tn=1,∴S1+T1=1,解得T1=,
当n≥2时,Sn=,则+Tn=1,即=1,
∴数列是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由(1)得=2+(n-1)×1=n+1,
则Tn=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1==n(n+1),
又n=1时,=2,符合上式,
∴=n(n+1),n∈N*.
易知数列单调递增,
当n=44时,n(n+1)=1980,当n=45时,n(n+1)=2070,∵2023-1980=43,2070-2023=47,
∴数列中的第44项最接近2023.
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