2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题-（含解析）-专题强化练5　数列中的奇偶项问题

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
专题强化练5　数列中的奇偶项问题
1.(2023山西晋城名校联考)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=则解下5个圆环最少需要移动的次数为(　　)
A.7　　　　　B.10　　　C.16　　　　　D.31
2.(2023黑龙江佳木斯期末)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a20=(　　)
A.0　　　　　B.16　　　C.30　　　　　D.60
3.(2023江西省实验中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=an+1an,则S20=(　　)
A.200　　　　　B.210　　　C.400　　　　　D.410
4.(2023广东深圳七中月考)已知数列{an}满足an+1+an=n·,其前n项和为Sn,且m+S2023=1011,则下列说法正确的是(　　)
A.m为定值　　　　　B.m+a1为定值
C.S2023-a1为定值　　　　　D.ma1有最大值
5.(2023山西运城期末)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,则a3=　　　　,S1+S2+…+S100=　　　.
6.(2023江苏如东高级中学月考)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)数列{cn}满足cn=求
7.(2023浙江三市五校联考)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,a2n+1=a2n-1+2,a2n+2=3a2n,数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若amam+1=am+2,求正整数m的值;
(3)是否存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项 若存在,求出所有满足条件的m的值;若不存在,说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　数列中的奇偶项问题
1.C 2.C 3.B 4.BCD
1.C　由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故选C.
2.C　∵an=(-1)n(3n-2),
∴a2n+a2n-1=6n-2-(6n-5)=3,
∴a1+a2+…+a20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=10×3=30.故选C.
方法技巧　对通项公式中含有(-1)n形式的数列求和时,通常是将相邻两项合并,从而可以避开分类讨论.
3.B　因为2Sn=an+1an①,所以当n=1时,2S1=a2a1=2a1,故a2=2,
当n≥2时,2Sn-1=anan-1②,①-②得2an=an(an+1-an-1),易知an≠0,所以an+1-an-1=2,
当n为奇数时,数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,此时an=2n-1,
当n为偶数时,数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,此时an=2n,
所以当n为正整数时,an=n,故S20=1+2+3+…+20==210.故选B.
4.BCD　当n=2k(k∈N*)时,由已知条件可得a2k+a2k+1=2k·(-1)k(2k+1),所以S2023=a1+a2+a3+…+a2023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2022+a2023)
=a1-2+4-6+8-…-2022=a1+2×505-2022=a1-1012,所以S2023-a1=-1012,为定值,C正确;
m+S2023=m+a1-1012=1011,所以m+a1=2023,故B正确;
易得ma1≤,当且仅当m=a1=时等号成立,此时ma1取得最大值,故D正确;
不能确定m为定值,故A错误.故选BCD.
5.答案　-
解析　解法一:∵Sn=(-1)nan-,
∴当n≥2时,Sn-1=(-1)n-1an-1-,
两式相减得Sn-Sn-1=(-1)nan-,
即an=(-1)nan-(-1)n-1an-1+,
当n是偶数时,an=an+an-1+,即当n是奇数时,an=-,故a3=-.
当n是奇数时,2an=-an-1+,即当n是偶数时,an=.
∴an=
∴S1+S2+…+S100=+…+
=(a2+a4+…+a100)-(a1+a3+…+a99)-
=
=.
解法二:∵Sn=(-1)nan-,
∴Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)-(n≥2),
当n是偶数时,Sn=Sn-Sn-1-,所以Sn-1=-,
即当n是奇数时,Sn=-;
当n是奇数时,Sn=-Sn+Sn-1-,
所以Sn-1=2Sn+=0,即当n是偶数时,Sn=0.
∴Sn=
故a3=S3-S2=-,S1+S2+…+S100=-.
陷阱分析　本题要注意第二空求的是数列{Sn}的前100项和,而不是数列{an}的前100项和S100.
6.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得
解得
∴an=2n-1,n∈N*.
∵Tn+,
当n=1时,b1=T1=0,
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-,
又b1=0不符合该式,
∴bn=
(2)ci=c1+c2+c3+c4+c5+c6+…+c2n-1+c2n
=-a1+b2-a3+b4-a5+b6-…-a2n-1+b2n
=-(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)
=-
=-2n2+n+,
令Fn=+…+①,
则+…+②,
①-②得+…+.
∴Fn=.
综上,.
7.解析　(1)由题意知数列{an}的奇数项构成以1为首项,2为公差的等差数列,偶数项构成以2为首项,3为公比的等比数列,
故an=
(2)若m为奇数,由amam+1=am+2得m×2×=m+2,无解;
若m为偶数,由amam+1=am+2得2··(m+1)=2·,即m+1=3,解得m=2.
综上所述,m=2.
(3)由(1)可得S2m=1+2+3+2×3+…+2m-1+2·3m-1
=(1+3+…+2m-1)+(2+2×3+…+2·3m-1)
==3m-1+m2,
S2m-1=1+2+3+2×3+…+2·3m-2+2m-1
=(1+3+…+2m-1)+(2+2×3+…+2·3m-2)
==3m-1-1+m2,
故,易知1<≤3,
所以若为{an}中的某一项,则只能为a2或a3.
若=a2,则1+=2,由m∈N*得m=2;
若=a3,则1+=3,由m∈N*得m=1.
综上所述,存在满足条件的正整数m,且满足条件的m的值为1,2.
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