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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
专题强化练6 利用导数研究函数的零点
1.(2023湖南株洲二中月考)已知函数f(x)=+lnx,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)有零点
B.当a>1+ln2时,函数y=f(x)-a有两个零点
C.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点
D.函数g(x)=f(x)-x有且只有两个零点
2.(2023江苏南京师范大学附属中学期末)若a为实数,函数f(x)=有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.(2023福建漳州期末)已知函数f(x)=2x+lnx+1-a和函数g(x)=x-有相同的零点x0,则ln的值为( )
A.2 B.-e C.-4 D.e2
4.已知函数f(x)=ax-ax(a>1),且f(x)在[1,2]上有两个零点,则a的取值范围为( )
A.(1,2] B.(1,e) C.[2,e) D.(e,e2]
5.(2023福建龙岩上杭一中期中)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),若F(x)=f(x)+f(-x),且F(x)有四个零点,则实数m的取值可以为( )
A.1 B.e C.2e D.3e
6.(2023北京朝阳八十中期中)若函数f(x)=有两个零点,则实数k的取值范围是 .
7.(2023山西晋城期末)已知函数f(x)=x2-x+lnx.
(1)若函数f(x)在定义域内单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a∈[1,e)时,讨论方程f(x)=ax-的根的个数.
8.(2023江苏南京第一中学质检)已知函数f(x)=+a.
(1)试讨论函数f(x)的零点个数;
(2)设g(x)=x2-f(x),x1,x2为函数g(x)的两个零点,证明:x1x2<1.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6 利用导数研究函数的零点
1.BC 2.C 3.C 4.C 5.CD
1.BC 易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,
令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0
所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=1+ln2>0,所以函数f(x)没有零点,故A错误.
当x→0+时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
结合A中分析可知,当a>1+ln2时,函数y=f(x)-a有两个零点,故B正确.
易得g'(x)=-<0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=1>0,g(2)=ln2-1<0,所以函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点,故C正确,D错误.故选BC.
2.C 当x≤0时,f(x)=x-ex+2,则f'(x)=1-ex≥0,且f'(x)不恒为零,
所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)≤f(0)=1,
又f(-2)=-e-2<0,所以函数f(x)在(-∞,0]上只有一个零点.
因为函数f(x)有且仅有一个零点,所以函数f(x)在(0,+∞)上无零点,故只需x>0时,f(x)min>0.当x>0时,f(x)=x3-4x+a,则f'(x)=x2-4,
令f'(x)<0,得00,得x>2,
所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以此时f(x)min=f(2)=a->0,解得a>.故选C.
3.C 由题意得f(x0)=2x0+lnx0+1-a=0,g(x0)=x0-=0,
两式联立,得x0-2x0-lnx0-1=0.
令h(x)=xe2x-2x-lnx-1(x>0),
则h'(x)=(1+2x)e2x-.
令m(x)=e2x-,则m(x)在(0,+∞)上单调递增,
又m-4<0,m(1)=e2-1>0,
∴m(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点t,且t∈,即2t=-lnt.
∴当x∈(0,t)时,h'(x)<0;当x∈(t,+∞)时,h'(x)>0,
∴h(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,
∴h(x)min=h(t)=te2t-2t-lnt-1=1+lnt-lnt-1=0,
又x0-2x0-lnx0-1=0,∴t=x0,
∴ln=e2tlnt2=2e2tlnt=·(-2t)=-4.故选C.
4.C 令f(x)=0,得ax=ax,则xlna=lnx+lna,
令g(x)=xlna-lnx-lna,则g(x)在[1,2]上有两个零点,显然g(1)=0,易得g'(x)=lna-,显然g'(x)在[1,2]上单调递增,
所以lna-1≤g'(x)≤lna-,当lna-1≥0或lna-≤0,即a≥e或10,则函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,则g(x)min=g要使函数g(x)在[1,2]上有两个零点,当且仅当g(x)在上有一个零点,即有g(2)=lna-ln2≥0,解得a≥2,所以2≤a综上,a的取值范围为[2,e).故选C.
5.CD 由F(x)=f(x)+f(-x),可得F(x)=F(-x),
又定义域关于原点对称,故F(x)为偶函数,
由题意可得,当x>0时,F(x)有两个零点,
当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-2mx+m,
即当x>0时,F(x)=ex(x-1)+ex-2mx+m=xex-2mx+m,令F(x)=0,可得xex-2mx+m=0,
则问题等价于方程xex-2mx+m=0(x>0)有两个不相等的实根,等价于函数y=xex的图象与直线y=2mx-m在(0,+∞)上有两个不同的交点,在同一平面直角坐标系内作出y=xex的图象与直线y=2mx-m,如图.
设函数y=xex的图象与直线y=m(2x-1)相切时的切点为(t,tet),t>0,
易知y=xex的导数为y'=(x+1)ex,可得切线的斜率为(t+1)et,故切线的方程为y-tet=(t+1)et(x-t),
由切线经过点,可得-tet=(t+1)et,
解得t=1或t=-(舍去),即切线的斜率为2e,
故2m>2e,所以m>e.结合选项可知选CD.
6.答案
解析 ∵函数f(x)=有两个零点,∴方程=0有两个不相等的实数根,即有两个不相等的实数根.
设g(x)=(x>0),则函数g(x)的图象与直线y=有两个不同的交点.
易得g'(x)=,令g'(x)>0,得0e,
∴函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e)=.
又当x→0时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)>0且g(x)→0,
∴函数g(x)的大致图象如图所示.
由图可知,当0<,即07.解析 (1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax-1+.
若函数f(x)在定义域内单调递增,则f'(x)=ax-1+≥0对任意的x>0恒成立,
即a≥对任意的x>0恒成立.
易得,∴a≥.
(2)设g(x)=f(x)-,则g(x)=x2-x+lnx-ax+,
∴g'(x)=ax-1+.
当a=1时,g'(x)=≥0,且不恒为0,故函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵g(1)=-1,g(4)=+ln4>0,∴函数y=g(x)有唯一的零点.
当a∈(1,e)时,令g'(x)>0,得01;令g'(x)<0,得∴函数y=g(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴函数g(x)的极大值为g-lna-1+-lna-1+.
设H(a)=--lna-1+,a∈(1,e),则H'(a)=>0恒成立,
∴函数y=H(a)在(1,e)上单调递增,
∴H(a)∴函数y=g(x)在(0,1)上无零点.
∵g(1)=-1,g(4)=a-4+ln4>+ln4>0,
∴函数y=g(x)在(1,+∞)上有唯一零点.
综上,当a∈[1,e)时,方程f(x)=ax-有且仅有一个根.
8.解析 (1)令f(x)=0,则=-a,令h(x)=,则h'(x)=,
当00;当x>e时,h'(x)<0,
所以h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,则h(x)≤h(e)=.
当x→0时,h(x)→-∞,当x>1时,h(x)>0,作出h(x)的图象,如图.
所以当-a≤0,即a≥0时,h(x)的图象与直线y=-a有一个交点,故f(x)有一个零点;
当0<-a<,即-当-a=,即a=-时,h(x)的图象与直线y=-a有一个交点,故f(x)有一个零点;
当-a>,即a<-时,h(x)的图象与直线y=-a没有交点,故f(x)没有零点.
综上,当a≥0或a=-时,f(x)有一个零点;
当-(2)证明:g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=2x-,
设r(x)=x3+lnx-1,所以r'(x)=3x2+>0在(0,+∞)上恒成立,
所以函数r(x)在(0,+∞)上单调递增,易得r(1)=0,即g'(1)=0.
列表如下:
x (0,1) 1 (1,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
不妨设x1因为g(x1)=g(x2)=0,
所以g(x1)-g=
=,x2>1,
设φ(x)=x--2lnx(x>1),则φ'(x)=1+>0,故函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以φ(x2)=x2--2lnx2>φ(1)=0,
所以g(x1)-g>0,即g(x1)>g,
又函数g(x)=x2--a在(0,1)上单调递减,
所以0方法总结 利用导数研究函数零点或方程根的问题,通常有三种思路:(1)利用最值或极值研究;(2)利用数形结合思想研究;(3)构造辅助函数研究.常见的有以下两种题型:
①确定零点的个数问题:可利用数形结合判断交点个数,如果函数较为复杂,可用导数知识确定极值点和单调区间,从而确定其大致图象;
②方程有解问题,即对应函数存在零点问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题.也可以通过构造函数求解.
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