2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--4.1　数列的概念

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第四章　数列
4.1　数列的概念
基础过关练
题组一　数列的概念及分类
1.(2023山西太原英才学校月考)给出下面四个结论:
①数列的通项公式是唯一的;
②每个数列都有通项公式;
③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数;
④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.
其中正确的有(　　)
A.0个　　　　　B.1个
C.2个　　　　　D.3个
2.(2023重庆永川北山中学月考)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,…
B.sin,…
C.-1,-,…
D.1,,…,
题组二　数列的通项公式及其应用
3.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为(　　)
A.1,0,1,0　　　　　B.0,1,0,1　　　
C.,0　　　　　D.2,0,2,0
4.(2023江苏南通崇川期末)在数列{an}中,若an=则a4+a5的值为(　　)
A.17　　　B.23　　　C.25　　　D.41
5.(2023陕西西安长安七中月考)数列,…的一个通项公式可以是(　　)
A.an=(-1)n·　　　　　B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n-1·　　　　　D.an=(-1)n-1·
6.(2023河南周口郸城期末)观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多为(　　)
(
4
条直线相交
,
最多有
6
个交点
) (
3
条直线相交
,
最多有
3
个交点
) (
2
条直线相交
,
最多有
1
个交点
)
A.40　　　　　B.45　　　C.50　　　　　D.55
7.下列四个命题中,正确的有(　　)
A.数列的第k项为1+
B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的第7项
C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n-1
D.数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}是递增数列
8.写出下列各数列的一个通项公式:
(1),…;
(2)-1,,…;
(3)2,,…;
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,….
9.(2023江苏仪征中学期中)已知数列{an}的通项公式是an=.
(1)写出该数列的第10项;
(2)是不是该数列中的项 为什么
(3)在区间内是否存在数列中的项 若存在,求出有几项;若不存在,请说明理由.
题组三　数列的递推公式及简单应用
10.已知数列{an}满足an+1=若a1=21,则a5=(　　)
A.3　　　B.6　　　C.11　　　D.12
11.(2023江苏南通海安期中)已知数列{an}满足an+1=(-1)nan,且a1=1,则a18+a19=(　　)
A.-2　　　B.0　　　C.1　　　D.2
12.(2023山东潍坊月考)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则这个数列的第19项与第20项的和为(　　)
A.364　　　　　B.380　　　
C.384　　　　　D.396
13.(2023广东汕头金山中学阶段性检测)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照,的分形规律生长成的一个树形图,则第10行的实心圆圈的个数是(　　)
A.89　　　　　B.55　　　
C.34　　　　　D.144
14.(2023江苏常熟月考)已知数列{an}满足,a1=1,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=
C.an=
题组四　数列的前n项和公式及简单应用
15.(2023湖北孝感期末)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)在函数y=3x-2的图象上,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=6n-5　　　　　B.an=3n-2
C.an=6n+5　　　　　D.an=3n+2
16.(2023湖南郴州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+7n,则下列结论正确的是(　　)
A.{an}是递增数列
B.a10=-14
C.当n>4时,an<0
D.当n=3或n=4时,Sn取得最大值
17.(2023湖北武汉期末)已知数列{an}为递减数列,其前n项和Sn=-n2+2n+m,则实数m的取值范围是　　　　.
18.(2023河南郑州四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足log2(Sn+1)=n+1,求数列{an}的通项公式.
19.(2023江苏扬州中学期末)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
能力提升练
题组一　数列的通项公式及其应用
1.(2023江苏扬州江都中学期末)下列是递增数列的是(　　)
A.{1+3n}　　　　　B.{3n-2n+2} C.{2n-n}　　　　　D.{(-3)n}
2.(2023福建福州期中)已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的最大项的值为(　　)
A.
3.(2023天津五校期中联考)已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn,则“k≥-2”是“{an}为递增数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
4.(2022江苏张家港期中)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以为(　　)
A.an=　　　　　B.an=1+(-1)n+1
C.an=2
5.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为四个简单的图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.
题组二　数列的递推公式及其应用
6.(2023湖北荆门期中)数列{an}的构成法则如下:a1=1,若an-2为自然数且之前未出现过,则用递推公式an+1=an-2,否则用递推公式an+1=3an,则a6=(　　)
A.7　　　　　B.3　　　
C.15　　　　　D.81
7.(2023河南驻马店期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2023=(　　)
A.-1011　　　　　B.-1012　　　
C.2022　　　　　D.2023
8.已知数列{an}满足a1=,则an=　(　　)
A.
9.已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<1
10.(2021山东济南期末)已知数列{an}满足a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),其前n项和为Sn,则下列结论成立的是(　　)
A.a7=13　　　　　
B.a1+a3+a5+…+a2019=a2020
C.S7=54　　　　　
D.a2+a4+a6+…+a2020=a2021
11.(2022北京四中期中)已知数列{an}满足 m,n∈N*,am+n=am·an,且a1=,则:
(1)a4=　　　　;
(2)数列{n2·an}的最大项为第　　　项.
12.(2022福建师大附中期末)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为　　　　.
题组三　数列的前n项和公式及其应用
13.(2023天津西青期末)如图,第1个图案的总点数记为a1,第2个图案的总点数记为a2,第3个图案的总点数记为a3,……,依此类推,第n个图案的总点数记为an,则+…+=(　　)
…
A. C.
14.(2023四川宜宾开学考试)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,若 n∈N*,λan≤4+S2n恒成立,则实数λ的最大值是(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
15.(2023河南郑州中学开学考试)已知数列{an}满足an=anan+1+an+1+1,a1=,则9a9+10a10+11a11+…+18a18+19a19=(　　)
A.-
16.(2021江苏南通如东期末)数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),求an.
17.已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Sn,求证:Sn<.
答案与分层梯度式解析
第四章　数列
4.1　数列的概念
基础过关练
1.B 2.C 3.A 4.A 5.D 6.B 7.ABD 10.B
11.A 12.B 13.C 14.A 15.A 16.CD
1.B　数列的通项公式可以不唯一,故①错误;并不是所有的数列都有通项公式,如根据精确度,π的不同近似值可形成一个数列:3,3.1,3.14,3.141,…,但它没有通项公式,故②错误;数列可以看作一个定义在正整数集或正整数集的子集上的函数,故③错误;易知④正确.故选B.
2.C　观察可知A中数列是递减数列,B中数列是摆动数列,D中数列是有穷数列,均不符合题意.故选C.
3.A　解法一:由an=,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.
解法二:当n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.
4.A　由题意得a4+a5=23+2×5-1=17.故选A.
5.D　这个数列前4项的绝对值是,n∈N*,且奇数项为正,偶数项为负,所以该数列的一个通项公式可以是an=(-1)n-1·.故选D.
6.B　由题图可得,交点个数的最大值构成数列1,3,6,…,即,…,由此猜想该数列的一个通项公式为an=,易知10条直线相交的交点个数的最大值为该数列的第9项,∴a9==45,故选B.
7.ABD　对于A,数列的第k项为,A正确;
对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正确;
对于C,将3,5,9,17,33,…的各项均减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{bn},则其通项公式为bn=2n,因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=bn+1=2n+1,C错误;
对于D,an=,则an+1-an=>0,因此数列{an}是递增数列,D正确.故选ABD.
8.解析　(1)数列中每一项的分子比分母小1,且分母依次可写成21,22,23,24,25,…,所以数列的一个通项公式为an=.
(2)数列的奇数项为负,偶数项为正.把-1看成-,则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1,分子依次为3,8,15,24,…,可化为1×3,2×4,3×5,4×6,…,可写成n(n+2).所以数列的一个通项公式为an=(-1)n·.
(3)数列可写成,…,所以数列的一个通项公式为an=.
(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以数列的一个通项公式为an=n+.
9.解析　an=.
(1)令n=10,得a10=.
(2)令an=,得n=,不是正整数,所以不是数列{an}中的项.
(3)令,得,又n∈N*,故n=2,所以在区间内,存在数列中的项,且只有一项,为数列的第二项.
10.B　由a1=21,得a2=a1+1=22,a3==6.故选B.
11.A　解法一:由题意可得a2=-a1=-1,a3=a2=-1,a4=-a3=1,a5=a4=1,a6=-a5=-1,a7=a6=-1,a8=-a7=1,……,可得数列{an}是周期为4的周期数列,所以a18+a19=a2+a3=-2,故选A.
解法二:∵an+1=(-1)nan,∴=(-1)n,
∴···…·
=(-1)1·(-1)2·(-1)3·…·(-1)17,
即=(-1)1+2+3+…+17=(-1)153=-1,
∴a18=-1,∴a19=(-1)18a18=-1,
∴a18+a19=-2.
规律总结　
　　　(1)周期数列的常见结论:若an+1=,则数列{an}的周期为3;若an+1=1-,则数列{an}的周期为3;若an+1=,则数列{an}的周期为4;若an+2=an+1-an,则数列{an}的周期为6.
(2)若=f(n),则通常用累乘法求{an}的通项公式.
12.B　观察数列的前10项可发现偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项的通项公式为a2n-1=a2n-2n=2n2-2n,
则这个数列的第20项为a20=2×102=200,
第19项为a19=a20-20=180,
所以这个数列的第19项与第20项的和为380.
13.C　设第n行实心圆圈的个数为an,
由题图可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,
则an=an-2+an-1(n≥3),
故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.
故选C.
14.A　由题意可知,……,,将以上各式左、右两边分别相乘,
可得×…×,
又a1=1,∴an=.故选A.
15.A　依题意得=3n-2,即Sn=3n2-2n,所以a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5,又a1=1满足上式,所以an=6n-5,故选A.
16.CD　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,又a1=S1=6,满足上式,所以an=-2n+8,故{an}是递减数列,故A中结论错误;
a10=-2×10+8=-12,故B中结论错误;
当n>4时,an=8-2n<0,故C中结论正确;
易知Sn=-n2+7n的图象开口向下,对称轴方程为n=,又n是正整数,且直线n=3和直线n=4与对称轴之间的距离相等,所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故D中结论正确.
故选CD.
17.答案　(-2,+∞)
解析　当n=1时,a1=S1=-12+2×1+m=1+m.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+2n+m-[-(n-1)2+2(n-1)+m]=-2n+3,an+1-an=[-2(n+1)+3]-(-2n+3)=-2<0,
∴当n≥2时,an+1∴若{an}为递减数列,只需满足a2-2.
18.解析　由条件得Sn=2n+1-1.
当n=1时,a1=S1=22-1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,
又21=2≠a1,
故an=
易错警示　由数列{an}的前n项和Sn求通项公式时,要注意验证当n=1时的情况.若a1=S1适合an(n≥2)的表达式,则通项公式可以合并,否则就分段表示.
19.解析　(1)当n=1时,a1=S1=12+1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,
∵当n=1时,a1=2也满足上式,
∴an=2n,n∈N*.
(2)由(1)可得bn=,
则Tn=b1+b2+…+bn
=+…+
=
=.
能力提升练
1.AC 2.B 3.A 4.ABC 6.C 7.B 8.B 9.D
10.AB 13.A 14.C 15.A
1.AC　令an=1+3n,则an+1-an=1+3(n+1)-(1+3n)=3>0,故{1+3n}是递增数列,符合题意;
令an=3n-2n+2,则a1=-5,a2=-7,不符合题意;
令an=2n-n,则an+1-an=2n+1-(n+1)-2n+n=2n-1>0,故{2n-n}是递增数列,符合题意;
令an=(-3)n,则a1=-3,a3=-27,不符合题意.
故选AC.
2.B　由题意可知an=,易知y=在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,而2<<3,经计算可知a2=a3=,所以该数列的最大项的值为,故选B.
3.A　由题意得数列{an}为递增数列等价于对任意n∈N*,an+1-an=2n+k+1>0恒成立,即k>-2n-1对任意n∈N*恒成立,故k>(-2n-1)max=-3,所以“k≥-2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
4.ABC　对于A,∵an=∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;
对于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;
对于C,∵an=2=0,故C正确;
对于D,∵an==1,故D错误.故选ABC.
5.答案　61
信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1.
数学建模　本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.题中的四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列构成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结得出f(n).
解析　由题图得,f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+2×2-1,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+2×3-1,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+2×4-1,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
所以f(6)=2×6×5+1=61.
6.C　由a1=1,a1-2=-1 N,得a2=3a1=3.
又a2-2=1=a1,所以a3=3a2=9.
又a3-2=7∈N,所以a4=a3-2=7.
又a4-2=5∈N,所以a5=a4-2=5.
又a5-2=3=a2,所以a6=3a5=15.故选C.
7.B　由an+1+an=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),得a2+a3=(2+1)×cos=5,
a6+a7=(6+1)×cos=-7,
a8+a9=(8+1)×cos=9,
a10+a11=(10+1)×cos=-11,
……
a2020+a2021=(2020+1)×cos=2021,
a2022+a2023=(2022+1)×cos=-2023,
∴S2023-a1=a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+…+a2020+a2021+a2022+a2023
=-3+5-7+9-11+…+2021-2023=2×-2023=-1013,
∴S2023=-1013+a1=-1012.故选B.
8.B　因为an+1=an+,
所以an+1-an=,
则当n≥2,n∈N*时,a2-a1=1-,……,an-an-1=,将这(n-1)个式子左、右两边分别相加可得an-a1=1-+…+,
因为a1=,所以an=1-,
当n=1时,a1=符合该式,
所以an=,n∈N*.故选B.
9.D　∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,
∴an+2-an+1>an+1-an,因此(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,
∴{an+1-an}为递增数列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.
解题模板　数列单调性问题可以类比函数单调性问题求解,解题时一般先分析数列自身的特点,再考虑作差,如an+1-an,判断其符号,符号为正,则数列单调递增;符号为负,则数列单调递减.
10.AB　由题可得a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5,a6=a5+a4=8,a7=a6+a5=13,因此A正确;
S7=1+1+2+3+5+8+13=33,所以C不正确;
a1+a3+a5+…+a2019=a1+a2+a1+a4+a3+…+a2018+a2017=a1+S2018=1+S2018,
又an+2=an+1+an=an+an-1+an-1+an-2=an+an-1+an-2+an-3+an-3+an-4=…=Sn+1,
所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+…+a2019,所以B正确;
a2+a4+a6+…+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+…+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2019=S2019,
但S2019+1=a2021,所以a2+a4+a6+…+a2020≠a2021,所以D不正确.故选AB.
11.答案　(1)　(2)5
解析　(1)因为am+n=am·an,a1=,所以a4=a2·a2==(a1·a1)2=.
(2)因为am+n=am·an,
所以an=an-1·a1=an-2·a1·a1=…=a2·,所以n2an=n2.
设数列{n2·an}的第k项最大,
则有
即
解得2+≤k≤3+.
因为k∈N*,所以k=5,所以第5项最大.
12.答案　
解析　依题意得,a2-a1=2,a3-a2=4,……,an-an-1=2(n-1)(n≥2),
∴an-a1=2+4+…+2(n-1)=n(n-1)=n2-n(n≥2).
∴an=n2-n+33(n≥2),
又n=1时,a1=33满足上式,
∴an=n2-n+33,∴-1.
设f(x)=x+-1(x>0).
易知f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
∵5<<6,f(5)=5+,f(6)=6+的最小值为.
13.A　由题图得,a1=1,a2=3=3×(2-1),a3=6=3×(3-1),a4=9=3×(4-1),a5=12=3×(5-1),……,
∴当n>1,n∈N*时,an=3(n-1)=3n-3,
又当n>1,n∈N*时,,
∴+…++…+
=1-.故选A.
14.C　当n=1时,a1=S1=22-2=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,
当n=1时,an=2n成立,∴an=2n>0.
∵Sn=2n+1-2,∴S2n=22n+1-2.
∵ n∈N*,λan≤4+S2n恒成立,
∴λ≤恒成立,
易知当n=1时,2有最小值,为5,∴λ≤5.
故实数λ的最大值是5.故选C.
15.A　因为an=anan+1+an+1+1,所以an+1=,
因此a2=,同理a3=-2,a4=3,a5=,又an+4==an,所以数列{an}是以4为周期的周期数列,
所以9a9+10a10+11a11+…+18a18+19a19=9a1+10a2+11a3+12a4+13a1+14a2+15a3+16a4+17a1+18a2+19a3
=.故选A.
奇思妙解　本题可以先找出规律,再求解.具体过程如下:由已知得a4k-3=,a4k-1=-2,a4k=3,其中k∈N*,设Tk=(4k-3)a4k-3+(4k-2)a4k-2+(4k-1)·a4k-1+4ka4k=(4k+1),则9a9+10a10+11a11+…+18a18+19a19=T3+T4+T5-20a20=,故选A.
16.解析　数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)·(n+2)①,
当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n(n-1)(n+1)②,
①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n-1)=3n(n+1),
因此an=3(n+1)(n≥2).
当n=1时,a1=1×2×3=6,适合an=3(n+1),
故an=3(n+1).
17.解析　(1)数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=2n,①
当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=2(n-1),②
①-②,得(2n-1)an=2(n≥2),
即an=(n≥2),
经检验,当n=1时,a1=2,满足上式,
所以an=.
(2)证明:设cn=,
则cn=,
∴Sn=c1+c2+…+cn
=×+…+
=
=,
∵n∈N*,∴Sn<.
方法技巧　令(2n-1)·an=bn,则a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an可以看成数列{bn}的前n项和,因此此类问题可转化为已知数列的前n项和求通项公式的问题,解题时要注意首项要单独验证.
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