2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--4.2.2　等差数列的前n项和公式（1）

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和及其性质
基础过关练
题组一　求等差数列的前n项和
1.(2023天津和平期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=30,则S20=(　　)
A.40　　　B.70　　　C.90　　　D.100
2.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为(　　)
A.200　　　B.100　　　C.90　　　D.70
3.(2023安徽阜阳期末)等差数列{an}的前n项和为Sn,公差不为0,若S5=S10,则(　　)
A.S5=0　　　　　B.S8=0 C.S15=0　　　　　D.S17=0
4.(2023广东江门期末)已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,a1+a3+a5=45,a2+a4+a6=33,则S10=(　　)
A.250　　　B.410　　　C.50　　　D.62
5.(2023山东枣庄期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,且S1000=S1023,则S2022=　　　　.
6.(2023重庆广益中学月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-3,S4=0.
(1)求{an}的通项公式和Sn;
(2)求a2+a4+…+a8+a10+a12的值.
题组二　等差数列前n项和的性质
7.(2023重庆主城区七校期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,则S30=(　　)
A.90　　　B.80　　　C.60　　　D.30
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2017=S2018,Sk=S2012,则正整数k为(　　)
A.2021　　　　　B.2022　　　C.2023　　　　　D.2024
9.含(2n+1)项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A.　　　　　B. C.　　　　　D.
10.(2023四川雅安中学月考)一个等差数列共有2n项,奇数项的和与偶数项的和分别为24和30,且末项比首项大10.5,则该数列的项数是　(　　)
A.4　　　B.8　　　C.12　　　D.20
11.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且an∶bn=(2n+1)∶(3n-2)(n∈N*),则=　　　　.
题组三　等差数列前n项和的应用
12.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.1
13.(2023广东广州九十七中期末)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S5=25,则a7=　(　　)
A.16　　　B.15　　　C.14　　　D.13
14.(2022河北省级联测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,Sm-4=12,Sm=17,则m的值为(　　)
A.8　　　B.11　　　C.13　　　D.17
15.(2022河南南阳线上测试)已知等差数列前3项的和为34,后3项的和为146,所有项的和为390,则这个数列的项数为(　　)
A.13　　　B.12　　　C.11　　　D.10
16.(2023陕西西安月考)已知等差数列{an}满足a5=8,a7=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求|a1|+|a2|+…+|a15|的值.
17.(2021山东临沂期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=1,S5=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
能力提升练
题组一　求等差数列的前n项和
1.(2023河南新乡模拟)已知等差数列{an}满足an+2an+1=6n+1,则其前20项和S20=(　　)
A.400　　　B.380　　　C.340　　　D.280
2.(2023江西重点中学联考)已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a3+2)=100,f(a2020+2)=-100,则S2022=(　　)
A.2022　　　B.-2022　　　C.4044　　　D.-4044
3.(2023河南名校联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则(　　)
A.a9=17　　　B.a10=19　　　C.S9=81　　　D.S10=91
4.(2022江西抚州临川第十中学月考)若[x]表示不超过x的最大整数(例如:[0.1]=0,[-0.1]=-1),数列{an}满足a1=3,an+1-an=2n+2(n∈N*),则[]+…+[]=(　　)
A.1010×2021　　　　　B.1010×2020
C.1009×2021　　　　　D.1009×2020
题组二　等差数列前n项和的性质
5.(2023辽宁六校协作体联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,m≥2,m∈N*,则m等于(　　)
A.8　　　B.7　　　C.6　　　D.5
6.(2022山东聊城期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.已知等差数列{an}的前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=　　　　.
题组三　等差数列前n项和的应用
8.(2022安徽安庆第一中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=nan,且S2+S4+S6+…+S60=3720,则a1=(　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
9.(2023北京师大附中月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=4,S3=S2+S4,bn=|an|,则{bn}的最小项为　(　　)
A.b1　　　B.b2　　　C.b3　　　D.b4
10.已知等差数列{an}的公差d>0,其前n项和为Sn,则下列命题正确的是　(　　)
A.数列{an}递增
B.数列是递增的等差数列
C.若an=n,且为等差数列,则c=0
D.若a7=0,则方程Sn=0有唯一的根n=13
11.(2023河北衡水二中期中)设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则an=　　　　;的最大值是　　　　.
12.已知等差数列{an}的公差d>0,其前n项和为Sn,且a2a3=45,S4=28.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(c为非零常数),若数列{bn}是等差数列,求c的值.
4.2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和及其性质
基础过关练
1.D 2.B 3.C 4.C 7.A 8.C 9.B 10.B
12.B 13.D 14.D 15.A
1.D　设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以S20=20a1+=100.
故选D.
2.B　设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,则由题意可知,a1=-20,a10=40,所以S10==100.
3.C　因为S5=S10,所以S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,解得a8=0,
故S15==15a8=0.故选C.
4.C　∵{an}为等差数列,a1+a3+a5=45,a2+a4+a6=33,
∴a1+a3+a5=3a3=45,a2+a4+a6=3a4=33,
∴a3=15,a4=11,设等差数列{an}的公差为d,则d=a4-a3=-4,∴a1=a3-2d=15+8=23,
∴S10=10a1+45d=230-45×4=50.故选C.
5.答案　2
解析　因为S1000=S1023,
所以S1023-S1000=a1001+a1002+…+a1023=0,
所以a1012=0,设等差数列{an}的公差为d,则a1+1011d=0,所以d=,则S2022=2022×2+=2.
6.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a1=-3,S4=0,得4a1+6d=-12+6d=0,解得d=2.
∴an=-3+2(n-1)=2n-5,
Sn=-3n+×2=n2-4n.
(2)由(1)得a2=2×2-5=-1,a12=2×12-5=19,∴a2+a4+…+a8+a10+a12==54.
7.A　由等差数列前n项和的性质得S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,∴10,30,S30-40成等差数列,∴10+S30-40=2×30,解得S30=90.故选A.
8.C　因为Sn关于n的函数图象是二次函数图象上的一些点,所以由二次函数图象的对称性及S2017=S2018,Sk=S2012,可得,解得k=2023,故选C.
9.B　设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,
则S奇=,S偶=,
∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴.
10.B　设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,公差为d,由题意得S偶-S奇=nd=6,a2n-a1=(2n-1)d=10.5,解得n=4,∴该数列的项数是2n=8.故选B.
11.答案　
解析　∵{an},{bn}均为等差数列,
∴.
12.B　∵等差数列的前n项和Sn可表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数)的形式,且Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∴1+λ=0,∴λ=-1.
13.D　因为S5==5a3=25,所以a3=5,设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2=2,所以a7=a2+5d=3+5×2=13.故选D.
14.D　因为S4=3,所以a1+a2+a3+a4=3①,
根据题意得Sm-Sm-4=5,即am+am-1+am-2+am-3=5②,
①+②,得4(a1+am)=8,所以a1+am=2,所以Sm==17,解得m=17,故选D.
15.A　设该等差数列为{an},其前n项和为Sn.
由题意得a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146,
∴(a1+a2+a3)+(an-2+an-1+an)=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=3(a1+an)=34+146=180,
∴a1+an=60.
又Sn=,
∴390=,解得n=13,故选A.
16.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得所以an=23-3n.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn.
由(1)知an=23-3n,令an≤0,得n≥,
所以|a1|+|a2|+…+|a15|=a1+a2+…+a7-a8-a9-…-a15
=a1+a2+…+a7-(a8+a9+…+a15)=S7-(S15-S7)=2S7-S15
=2×=169.
17.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意,得解得
∴an=n-3.
(2)由(1)可得Sn=.
∵,
∴数列是首项为-2,公差为的等差数列,
∴Tn=-2n+.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.A 5.D 6.A 8.C 9.B
10.ABD
1.A　∵数列{an}为等差数列,
∴可设an=An+B,
∵an+2an+1=6n+1,
∴An+B+2[A(n+1)+B]=6n+1,
即3An+2A+3B=6n+1,
∴解得故an=2n-1,
∴a1=1,a20=39,
∴S20==400.故选A.
2.D　易知函数f(x)=x3+4x的定义域为R,关于原点对称,
∵f(-x)+f(x)=x3+4x=0,
∴f(x)在R上是奇函数.
∵f(a3+2)=100,f(a2020+2)=-100,
∴f(a3+2)+f(a2020+2)=0,
∴a3+2+a2020+2=0,
∴a3+a2020=-4=a1+a2022,
∴S2022==1011×(-4)=-4044,
故选D.
3.D　当n>1,n∈N*时,由Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,即an+1=an+2,∴an+1-an=2,
∴数列{an}在n>1,n∈N*时是等差数列,且公差为2,∴an=2+(n-2)×2=2n-2(n>1,n∈N*),又a1=1,不满足上式,∴an=
∴a9=2×9-2=16,a10=2×10-2=18,故A,B错误;
S9=1+8×2+×(9×8)×2=91,故C错误,D正确.故选D.
4.A　∵an+1-an=2n+2,
∴an-an-1=2(n-1)+2=2n,an-1-an-2=2n-2,……,a3-a2=6,a2-a1=4,
累加可得an-a1=4+6+…+(2n-2)+2n==n2+n-2,
又a1=3,∴an=n2+n+1,
∵n2故[]+…+[]=1+2+3+…+2020==1010×2021.
故选A.
5.D　解法一:因为am=Sm-Sm-1=2(m≥2,m∈N*),am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列{an}的公差为am+1-am=1,
又Sm==0,所以a1=-2,所以am=-2+(m-1)×1=2,解得m=5.
解法二:由等差数列前n项和的性质知数列成等差数列,
则成等差数列,所以2·,即0=,解得m=5.
解法三:由等差数列的求和公式可得(m-1)(a1+am-1)=-2(m≥2),①
m(a1+am)=0,②
(m+1)(a1+am+1)=3,③
由②可得a1=-am,
由①③得=a1+am+1,
故2a1+am-1+am+1=-2am+am-1+am+1==0,解得m=5.故选D.
6.A　由题意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,因为,所以,即S8-S4=S4,
则数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项,S4为公差的等差数列,
则S12-S8=2S4,S16-S12=S4,所以S8=S4,S16=7S4,所以.故选A.
7.答案　101
解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+=72-63=9.
又∵am-a1=14,∴a1=2,am=16,
∵Sm==135,∴m=15,
∴d==1,
∴a100=a1+99d=101.
8.C　∵Sn=nan,∴Sn=n(Sn-Sn-1),n≥2,
∴nSn-1=(n-1)Sn,n≥2,变形得,n≥2,
∴数列是各项均为S1的常数列,
∴=S1,即Sn=nS1=na1.
又∵S2+S4+S6+…+S60=3720,
∴2a1+4a1+6a1+…+60a1=(2+4+6+…+60)a1=a1=3720,解得a1=4,故选C.
9.B　设等差数列{an}的公差为d,
由题意得Sn=4n+,n∈N*,
因为S3=S2+S4,所以12+3d=8+d+16+6d,解得d=-3,
所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-3)=-3n+7,
令an=0,得n=,又n∈N*,所以a1>0,a2>0,a3<0,a4<0,……,
所以bn=|an|=
当n≤2时,{|an|}单调递减,故bn在n=2时取得最小值,为b2=a2=1,
当n≥3时,{|an|}单调递增,故bn在n=3时取得最小值,为|a3|=2,所以{bn}的最小项为b2,故选B.
10.ABD　因为数列{an}是公差d>0的等差数列,所以an+1-an=d>0,所以数列{an}递增,故A正确;
等差数列{an}的前n项和为Sn=n,所以,所以数列是递增的等差数列,故B正确;
若an=n,则Sn=n(n+1),所以,
因为为等差数列,
所以,
即,
解得c=0或c=1,经检验,均符合题意,故C错误;
若a7=0,则S13==13a7=0,即方程Sn=0有唯一的根n=13,故D正确.故选ABD.
11.答案　2n-1;121
解析　设等差数列{an}的公差为d,
∵a1=1,an>0,∴d>0,S1=1,S2=2+d,S3=3+3d,
∵数列{}为等差数列,∴2,即2,
整理得d2-4d+4=0,∴d=2,
∴an=a1+(n-1)d=2n-1,
∴Sn+10==(n+10)2,
故,
当n=1时,取得最大值,为11,
所以的最大值是121.
12.解析　(1)∵S4==28,
∴a1+a4=14,∴a2+a3=14,
又a2a3=45,公差d>0,∴a2∴a2=5,a3=9,∴解得
∴an=4n-3.
(2)由(1)可得Sn==2n2-n,
∴bn=,
∴b1=.
又{bn}是等差数列,∴b1+b3=2b2,
即,解得c=-(c=0舍去).
当c=-时,bn==2n,数列{bn}是等差数列,符合题意.因此c=-.
解题模板　由数列{bn}是等差数列,确定通项公式中参数的值,可以先用前三项成等差数列确定参数的可能取值,再验证对任意正整数n结论成立,这样一方面可以简化运算,另一方面可以防止产生错解.
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