2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--4.2.2　等差数列的前n项和公式（2）

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.2　等差数列的前n项和公式
第2课时　等差数列前n项和的综合应用
基础过关练
题组一　等差数列前n项和的最大(小)值
1.(2023北京二中期末)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,S3=2a1,则当Sn取最大值时,n=(　　)
A.3　　　B.4　　　C.3或4　　　D.4或5
2.(2023湖北武汉部分重点中学期末)设Sn为等差数列{an}的前n项和,且 n∈N*,都有,若<-1,则下列结论正确的是(　　)
A.a16<0　　　　　 B.a17<0
C.{Sn}的最小项是S16　　　　　D.{Sn}的最大项是S17
3.(2023广东五校期末)已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a2+3a8<0,a6·a7<0,且数列{an}的前n项和有最大值,那么Sn取得最小正值时n的值为(　　)
A.11　　　B.12　　　C.7　　　D.6
4.(2023江苏南京建邺高级中学开学考试)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是(　　)
A.若S5>S9,则S14>0 B.若S5=S9,则S7是{Sn}中最大的项
C.若S6>S7,则S7>S8 D.若S6>S7,则S5>S6
5.(2023福建福州八县期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足|a4|=|a10|,公差d<0,则(　　)
A.a7=0　　　　　 B.S13>0
C.Sn有最大值　　　　　D.Sn=S13-n(1≤n≤12,n∈N*)
6.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围是　　　　　　.
7.(2023河南信阳潢川一中期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=45,S3=63.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当n为何值时,Sn最大 最大值为多少
题组二　等差数列前n项和的实际应用
8.(2023山东聊城一中期末)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,卷中记载:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈”,其意思为:“现有一善于织布的女子,从第二天开始,每天比前一天多织相同量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(30天)共织390尺布”,假如该女子1号开始织布,则这个月中旬(第11天到第20天)的织布量(尺)为(　　)
A.26　　　B.130　　　C.　　　D.156
9.(2023江苏连云港期末)风雨桥是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成,其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.下图是某风雨桥亭的大致俯视图,其中正六边形的边长的计算方法如下:A1B1=A0B0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,……,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,其中B3B4=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N*.已知该风雨桥亭共5层,若A0B0=8m,B0B1=0.5m,则图中的五个正六边形的周长总和为(　　)
A.120m　　　B.210m　　　C.130m　　　D.310m
10.湖北新冶钢有限公司(简称为“新冶钢”)是中国现存最早的钢铁企业之一,素有中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产,每年可以给公司带来69万元的收入,但该台机器每年需要进行维护,第一年需要维护费用12万元,从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元,求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值.
题组三　与等差数列有关的数列求和
11.(2023天津和平耀华中学期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S7=28,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.2
12.(2023河南驻马店高级中学模拟)已知函数f(x)=x+3sin,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2022)=(　　)
A.2022　　　B.2023　　　C.4044　　　D.4046
13.(2023陕西榆林期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,Sn+1+Sn=(n+1)an+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
能力提升练
题组一　等差数列前n项和的最大(小)值
1.(2023吉林长春实验中学期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,公差为d,a8+a9>0,a9<0,则下列结论不正确的是(　　)
A.d<0 B.当n=8时,Sn取得最大值
C.a4+a5+a18<0 D.使得Sn>0成立的最大正整数n是15
2.(2023广东深圳南山期末)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10>0,S11<0,则下列结论正确的是(　　)
A.{an}为递增数列 B.为等差数列
C.当Sn取得最大值时,n=6 D.当a2=1时,d的取值范围为
3.已知数列{an}是等差数列,a5=6a12>0,数列{bn}满足bn=an+1an+2an+3,n∈N*,设Sn为{bn}的前n项和,则当Sn取得最大值时,n=(　　)
A.9　　　　　B.10　　　C.11　　　　　D.12
4.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=+2an-3,则的最小值为(　　)
A.1　　　　　B.　　　C.3　　　　　D.4
题组二　等差数列前n项和的综合应用
5.已知数列{an}满足a1=1,a2=,n∈N*,则数列{anan+1}的前10项和S10=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.(2022吉林长春二实验中学期中)已知一组双曲线En:x2-y2=(n∈N*且n≤2019),设直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则下列说法错误的是(　　)
A.双曲线的渐近线方程为y=±x
B.an=
C.数列{an}为等差数列
D.a1+a2+…+a2019=
7.(2023江苏南通期中)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.则(　　)
A.驽马第七日行九十四里
B.第七日良马先至齐
C.第八日两马相逢
D.两马相逢时良马行一千三百九十五里
8.(2023山东威海期末)已知各项均为正数的递增等差数列{an},其前n项和为Sn,公差为d,若数列{}也是等差数列,则a1+的最小值为　　　　.
9.(2023江苏苏州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,若{an}与{}均为等差数列且公差不为0,则的值为　　　　.
10.(2023福建三明一中月考)已知函数f(x)=x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数g(x)=,令bn=g(n∈N*),求数列{bn}的前2020项和T2020.
11.(2022山东胶州期末)在①an+1>an(n∈N*),a2a9=51,a4+a7=20;②其前n项和为Sn,S5=25a1,a2=3;③其前n项和为Sn,且Sn=n2三个条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答.
已知数列{an}为等差数列,　　　　.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
答案与分层梯度式解析
第四章　数列
4.2　等差数列
4.2.2　等差数列的前n项和公式
第2课时　等差数列前n项和的综合应用
基础过关练
1.C 2.AC 3.A 4.BC 5.ACD 8.B 9.B 11.B
12.A
1.C　设{an}的公差为d,则3×6+3d=12,解得d=-2,故Sn=6n+×(-2)=7n-n2,
结合二次函数的性质可知,当n=3或n=4时,Sn取最大值,为12.
故选C.
2.AC　设{an}的公差为d,
由得,
可得an0,
由<-1得a16<0,a17>0,
所以{Sn}中S16最小,无最大项,故选AC.
3.A　设等差数列{an}的公差为d,则a2+3a8=4a1+22d=2(a6+a7)<0,
∵a6·a7<0,且{an}的前n项和有最大值,
∴{an}是递减数列,∴a6>0,a7<0,
∴S11==11a6>0,
S12==6(a6+a7)<0,
故Sn取得最小正值时n的值为11.故选A.
4.BC　对于A,因为S5>S9,
所以a6+a7+a8+a9<0,
即2(a7+a8)=2(a1+a14)<0,
所以a1+a14<0,
又S14=,
所以S14<0,故A错误;
对于B,由S5=S9,得5a1+10d=9a1+36d,得d=-a1,
因为a1>0,a7=a1+6d=<0,
所以S7是{Sn}中最大的项,故B正确;
对于C,因为S6>S7,所以S7-S6=a7<0,
又a1>0,所以d<0,所以a8S8,故C正确;
对于D,因为S6>S7,所以S7-S6=a7<0,但不能确定a6是不是负值,因此不一定有S5>S6,故D错误.
故选BC.
方法技巧　等差数列{an}的前n项和Sn有如下性质:
(1)点(n,Sn)在二次函数Sn=n(d为等差数列{an}的公差,d≠0)的图象上,可以利用二次函数的性质求得Sn的最值;
(2)Sn=Sn-1+an(n≥2),可由an的正负确定Sn与Sn-1的大小;
(3)Sn=,因此可由a1+an的正负确定Sn的正负.
5.ACD　由|a4|=|a10|,d<0,得a4>0,a10<0,且a4+a10=0,所以a4+a10=2a7=0,即a7=0,故A正确;
S13=(a1+a13)=13a7=0,故B错误;
由d<0,a4>0,a10<0,得{an}是首项为正数的递减数列,又a7=0,所以当n=6或n=7时Sn有最大值,C正确;
由以上分析易知Sn=S13-n(1≤n≤12,n∈N*),D正确.故选ACD.
6.答案　
解析　解法一:由题意得,a8>0且a9<0,
于是解得-1故d的取值范围为.
解法二:Sn=na1+n,
其图象的对称轴方程为n=,
∵当且仅当n=8时Sn取得最大值,
∴解得-1∴d的取值范围是.
7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得解得
∴an=a1+(n-1)d=24+(n-1)×(-3)=27-3n.
(2)由(1)可得an=27-3n,
则a8=27-3×8=3,a9=27-3×9=0,a10=27-3×10=-3<0,
又∵d=-3<0,
∴当n=8或n=9时,Sn取得最大值,最大值为=108.
8.B　设这个月中的第n天织布的尺数为an,
由题意可知{an}为等差数列,
且解得
故a11+a12+…+a20==130.
故选B.
9.B　由已知得AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn(n≤4且n∈N*),B3B4=B2B3=B1B2=B0B1=0.5m,
易知题图中五个正六边形的边长(单位:m)构成等差数列,设为{ak},且a1=8,公差d=-0.5,k∈N*,1≤k≤5,
则数列{ak}(k∈N*,1≤k≤5)的前5项和S5=5a1+×5×4×0.5=35,
所以题图中的五个正六边形的周长总和为6S5=6×35=210m.故选B.
10.解析　由题意可知各年的维护费用(单位:万元)构成以12为首项,6为公差的等差数列,
设购买该台机器n年后的盈利为S万元,则S=69n-192-=-3n2+60n-192.
令S>0,则n2-20n+64<0,解得4设购买该台机器n年后的年平均利润为y万元,则y=+60≤-3×2+60=12,当且仅当n=8时取“=”,
因此,购买该台机器8年后的年平均利润最大,最大年平均利润是12万元.
11.B　设等差数列{an}的公差为d,
则解得
∴Sn=na1+,
∴,
∴
=2×.故选B.
12.A　由已知得f(1-x)=1-x+3sin,
∴f(x)+f(1-x)=2.
∵an+a2023-n==1,
∴f(an)+f(a2023-n)=2.
令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2022),
则S=f(a2022)+f(a2021)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2022,∴S=2022.故选A.
13.解析　(1)当n=1时,S2+S1=2a2,解得a2=2a1=6.
当n≥2时,由Sn+1+Sn=(n+1)an+1,得Sn+Sn-1=nan,
两式相减得an+1+an=(n+1)an+1-nan,即,
利用累乘法可得···…·×…×,即=n,因为a1=3,所以an=3n,
所以{an}的通项公式为an=3n.
(2)由(1)可知,bn=,
则Tn=.
能力提升练
1.D 2.BD 3.D 4.B 5.C 6.B 7.AD
1.D　因为a8+a9>0,a9<0,
所以a8>0,故d=a9-a8<0,A中结论正确;
当n=8时,Sn取得最大值,B中结论正确;
a4+a5+a18=3a1+24d=3(a1+8d)=3a9<0,C中结论正确;
S16==8(a1+a16)=8(a8+a9)>0,
S17==17a9<0,
故使得Sn>0成立的最大正整数n=16,D中结论错误.故选D.
2.BD　公差为d的等差数列{an}中,S10=<0,
所以a1+a10=a5+a6>0,a1+a11=2a6<0,
所以a5>0,a6<0,
故d<0,即数列{an}为递减数列,A错误;
n,故是等差数列,B正确;
由于a5>0,a6<0,故当n=5时,Sn取得最大值,C错误;
当a2=1时,a5+a6=a2+3d+a2+4d>0,a6=a2+4d<0,即解得-,D正确.故选BD.
3.D　设等差数列{an}的公差为d,
因为a5=6a12,
所以a1+4d=6(a1+11d),即a1=-d,
所以an=a1+(n-1)d=d,
因为a5=d>0,所以d<0,
易得当1≤n≤13时,an>0,当n≥14时,an<0,
所以b1>b2>…>b10>0>b13>b14>…,b11<0又因为b11+b12=a13a14(a12+a15)=a13a14>0,所以当n=12时,Sn取得最大值,故选D.
4.B　因为4Sn=+2an-3,所以当n≥2时,4Sn-1=+2an-1-3,两式相减得4an=+2an-2an-1,整理得2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1),
因为数列{an}为正项数列,所以an+an-1>0,则an-an-1=2,故数列{an}为等差数列,公差为2.
当n=1时,4S1=4a1=+2a1-3,解得a1=3或a1=-1(舍去),所以an=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n,
则,
令n+1=t,t≥2,则,易知函数y=在[2,+∞)上单调递增,
所以当t=2,即n=1时,取得最小值,最小值为.故选B.
5.C　因为,所以数列是以=1为首项,=1为公差的等差数列,
所以=1+1×(n-1)=n,所以an=,
所以anan+1=,
所以数列{anan+1}的前10项和S10=a1a2+a2a3+…+a10a11=1-+…+.故选C.
6.B　双曲线的渐近线方程为y=±x,设点An(2,yn),则4-(n∈N*且n≤2019),记An(2,yn)到渐近线y=-x,y=x的距离分别为d1,d2,则d1=,易知∠BnAnCn=90°,故△AnBnCn是直角三角形,
则,故an=,
因此{an}为等差数列,故a1+a2+…+a2019=×2019+.故选B.
7.AD　由题意可知,两马日行里数都成等差数列,
记数列{an}为良马的日行里数,其前n项和为Sn,a1=103,公差d1=13,所以an=13n+90,n∈N*.
记数列{bn}为驽马的日行里数,b1=97,公差d2=-0.5,所以bn=-0.5n+97.5,n∈N*.
驽马第七日所行里数为b7=-0.5×7+97.5=94,A正确;
前七日良马所行里数为S7=(a1+a7)=994,因为994<1125,所以第七日良马未至齐,B错误;
设第m日两马相逢,由题意可知两马所行的里数之和是齐和长安之间距离的两倍,
即103m+×0.5=2×1125,解得m=9或m=-40(舍),即第九日两马相逢,C错误;
由C可知,第九日两马相逢,此时良马所行里数为S9=(a1+a9)=1395,D正确.故选AD.
8.答案　3
解析　设等差数列{an}的公差为d(d>0),
则Sn=na1+n,
则有,
若数列{}也是等差数列,则必有a1=,
则a1+-1≥2×-1=4-1=3,当且仅当d=2时,等号成立,故a1+的最小值为3.
9.答案　2
解析　设数列{an}的公差为d(d≠0),则an=a1+(n-1)d,,
因为数列{}是等差数列,
所以2,
即2,
化简整理得-2a1d+d2=0,
解得a1=d,易知d>0,此时an=nd,,显然{an}与{}均为等差数列,满足题意,
则=2.
10.解析　(1)∵点(n,Sn)在函数f(x)的图象上,
∴Sn=n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n;
当n=1时,a1=S1=1,适合上式,∴an=n.
(2)∵g(x)=,∴g(x)+g(1-x)=1.
又由(1)知an=n,∴bn=g.
∴T2020=b1+b2+…+b2020=g+…+g,
又T2020=b2020+b2019+…+b1=g+…+g,
∴2T2020=2020=2020,
∴T2020=1010.
11.解析　选择①.
(1)易知a4+a7=a2+a9=20,联立
结合an+1>an,解得
设{an}的公差为d,则解得
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由(1)知an=2n-1,则bn=,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=×1-+…+=.
选择②.
(1)设{an}的公差为d,由S5=25a1,得5a3=25a1,即a3=5a1,
则解得
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)下同①.
选择③.
(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)下同①.
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