2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--4.3.1　等比数列的概念

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第四章　数列
4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
基础过关练
题组一　等比数列的概念及其应用
1.(2022江西将军中学期中)下列数列一定是等比数列的是(　　)
A.数列1,2,6,18,…
B.数列{an}中,=2
C.常数列a,a,…,a,…
D.数列{an}中,=q(q≠0)
2.(2023山东青岛第五十八中学期末)下列说法中正确的是(　　)
A.等比数列中的某一项可以为0
B.常数列既是等差数列,也是等比数列
C.若{an}是等比数列,则{an+an+1}不一定是等比数列
D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
3.(2023上海师大附中期中)若数列{an}对任意n≥2,n∈N*都有(an-an-1-1)·(an-2an-1)=0,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}可以是等差数列
B.{an}可以是等比数列
C.{an}可以既是等差数列又是等比数列
D.{an}可以既不是等差数列又不是等比数列
4.已知等比数列{an}中,a1=3,公比q=-3,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{3an+an+1}是等比数列
B.数列{an+1-an}不是等比数列
C.数列{}是等比数列
D.数列{log3}是单调递减数列
5.(2023江苏南京金陵中学段考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,nan+1=(n+2)Sn.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求Sn与an.
题组二　等比中项
6.(2023山东临沂三中期末)在等比数列{an}中,a2=4,a10=16,则a2和a10的等比中项为(　　)
A.10　　　B.8　　　C.±8　　　D.±10
7.(2023广东广州从化中学期末)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17项依次成等比数列,则这个等比数列的公比是(　　)
A.3　　　B.　　　C.2　　　D.4
8.(2023黑龙江齐齐哈尔八中期末)若数列{an}为等比数列,且a2、a6是方程x2+3x+1=0的两根,则a4的值等于(　　)
A.-2　　　B.1　　　C.-1　　　D.±1
题组三　等比数列的通项公式及其应用
9.(2023陕西西安期末)在等比数列{an}中,a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,则a10+a11+a12=(　　)
A.16　　　B.32　　　C.12　　　D.18
10.(2023福建龙岩一中期末)在等比数列{an}中,a1+a2=4,若a1,a2+2,a3成等差数列,则{an}的公比为(　　)
A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
11.(2022湖南长沙一中期中)在等比数列{an}中,a1=1,a2a3=8,则=(　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
12.(2023山西临汾月考)已知数列{an},{bn}满足a1=10,an+1=,bn=lgan.
(1)证明{bn}是等比数列,并求{bn}的通项公式;
(2)设cn=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3bn+log3bn+1,证明:+…+<2.
题组四　等比数列的性质及综合应用
13.(2023北京大学附属中学月考)已知{an}是公比为q的等比数列,则“q>0”是“{an}为递增数列”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2023天津河西期中)已知正项等比数列{an}满足a5·a2n-5=e2n(n≥3),则当n≥1时,lna1+lna2+…+lna2n-1=(　　)
A.n(2n-1)　　　　　B.(n+1)2
C.n2　　　　　D.(n-1)2
15.(2023湖北襄阳四中期末)已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2·a8=8,则的值为(　　)
A.20　　　B.10　　　C.5　　　D.
16.(2023江苏南京金陵中学河西分校检测)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a7+a9=,且b2b6b10=8,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
17.在等比数列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1·a2·a3·…·an=64,则数列{an}有　　　　项.
18.(2023山东烟台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-5,a3,a4-1,a5+1成等比数列,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+2=2bn(n∈N*).
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)记[x]表示不超过x的最大整数,例如[-2.1]=-3,[1.2]=1,设cn=,求数列{bncn}的前7项和.
能力提升练
题组一　等比数列的概念、通项公式及其应用
1.(2023江苏南京外国语学校期末)在等比数列{an}中,已知a1>0,则“a1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
2.(2023陕西渭南瑞泉中学月考)已知等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为(　　)
A.32　　　　　B.16　　　C.128　　　　　D.64
3.(2023河北邢台一中月考)设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是(　　)
A.若a1=1,a5=4,则a3=2 B.若a1+a3>0,则a2+a4>0
C.若a2>a1,则a3>a2 D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2
4.(2023吉林辽源第五中学月考)已知数列{an}满足a1=1,a2=,则a5=(　　)
A.2-12　　　　　B.2-10　　　C.2-9　　　　　D.2-8
5.(2021湖南长沙长郡中学开学考试)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.下列定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为(　　)
A.f(x)=x2　　　B.f(x)=2x C.f(x)=　　　　　D.f(x)=ln|x|
6.(2023福建莆田八中期中)“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理,已知该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米.
(1)求an与an-1(n≥2)的关系;
(2)判断是不是等比数列,并说明理由;
(3)至少经过几年,绿洲面积可超过60% (lg2≈0.301)
题组二　等比数列的性质及综合应用
7.(2023江苏南京师大附中阶段性检测)已知数列{an}是等比数列,(a4+ma7)·a8=(a6-a9)2,且公比q∈(1,2),则实数m的取值范围为(　　)
A.(1,9)　　　B.(2,10)　　　C.(1,8)　　　D.(-1,6)
8.已知数列{an}满足a1=an(n∈N*).设bn=,n∈N*,若数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　　　　B.
C.　　　　　D.(-1,2)
9.(2023湖南师大附中期末)设{an}是各项均为正数的等比数列,其公比为q,前n项积为Tn,且T6T9,则下列结论正确的是(　　)
A.q>1
B.a8=1
C.T10>T6
D.T7与T8均为{Tn}的最大项
10.(2023湖北鄂东南省级示范高中期中)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且满足条件a1>1,a2022·a2023>1,(a2022-1)(a2023-1)<0,则下列选项正确的是(　　)
A.0B.S2022+1C.T2022是数列{Tn}中的最大项
D.T4043>1
11.(2023江苏南京第一中学期末)已知{an}是公比为q的等比数列,且a1=1,曲线Cn:=1,n∈N*,则下列说法中正确的是　(　　)
A.若q>0且q≠1,则Cn是椭圆
B.若存在n∈N*,使得Cn表示离心率为的椭圆,则q=
C.若存在n∈N*,使得Cn表示渐近线方程为x±2y=0的双曲线,则q=-
D.若q=-2,bn表示双曲线Cn的实轴长,则b1+b2+…+b10=186
12.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2=27,且a5+6a4=a2a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2log3an,Sn是数列{bn}的前n项和,求使得Sn≥270成立的正整数n的最小值.
13.(2023江苏南京外国语学校期中)设同时满足条件:①≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常数)的无穷数列{bn}叫做P数列,已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值,并证明数列为P数列.
答案与分层梯度式解析
第四章　数列
4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
基础过关练
1.D 2.C 3.ABD 4.C 6.C 7.A 8.C 9.A
10.C 11.A 13.B 14.A 15.D 16.D
1.D　对于A,=3≠2,故不是等比数列;
对于B,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不一定是等比数列;
对于C,当a=0时,不是等比数列;
对于D,该数列符合等比数列的定义,一定是等比数列.
故选D.
2.C　对于A,等比数列中任意一项都不为0,A不正确;
对于B,若常数列的各项均为0,则该数列不是等比数列,B不正确;
对于C,设an=(-1)n,则an+an+1=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n+(-1)·(-1)n=(-1)n-(-1)n=0,所以{an+an+1}不是等比数列,C正确;
对于D,设a=0,b=0,c≠0,满足b2=ac,但是a,b,c不成等比数列,D不正确.故选C.
3.ABD　∵数列{an}对任意n≥2(n∈N*)都有(an-an-1-1)(an-2an-1)=0,∴an-an-1=1或an=2an-1,若an-an-1=1,则数列{an}是等差数列,若an=2an-1,且an≠0,则数列{an}是等比数列,故A,B正确;由(an-an-1-1)(an-2an-1)=0,得不出数列{an}是非零常数列,故{an}不可以既是等差数列又是等比数列,故C错误;当数列{an}的各项依次为0,1,2,4,8,16,32,…时,满足条件,但数列{an}既不是等差数列也不是等比数列,故D正确.
4.C　数列{an}的通项公式为an=3×(-3)n-1=-(-3)n.
对于A,3an+an+1=-3×(-3)n-(-3)n+1=(-3)n+1-(-3)n+1=0,
所以数列{3an+an+1}不是等比数列,故A错误;
对于B,an+1-an=-(-3)n+1+(-3)n=4×(-3)n=-12×(-3)n-1,故数列{an+1-an}是首项为-12,公比为-3的等比数列,故B错误;
对于C,=3n+1,
故数列{}是首项为9,公比为3的等比数列,故C正确;
对于D,log3=log3[-(-3)n]2=log332n=2n,所以数列{log3}是单调递增数列,故D错误.故选C.
5.解析　(1)证明:∵nan+1=(n+2)Sn,
∴an+1=Sn,
∴Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=Sn,故,
又a1=1,∴=1,
∴数列是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)可得=2n-1,即Sn=n·2n-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n·2n-1-(n-1)·2n-2=(n+1)·2n-2,当n=1时,a1=1符合an=(n+1)·2n-2,
所以an=(n+1)·2n-2.
6.C　a2和a10的等比中项为±=±8.故选C.
7.A　由题意得a5=a1+4d,a17=a1+16d,
∵{an}的第1、5、17项依次成等比数列,
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d),∴a1=2d,
则这个等比数列的公比为=3.故选A.
8.C　设等比数列{an}的公比为q.
因为a2、a6是方程x2+3x+1=0的两根,
所以a2a6=1,a2+a6=-3,所以a2<0,a6<0,
故a4=a2q2<0,∵数列{an}为等比数列,
∴a4=-=-1.故选C.
9.A　设等比数列{an}的公比为q,
由a4+a5+a6=(a1+a2+a3)·q3,
得4=2q3,解得q3=2,
所以a10+a11+a12=(a1+a2+a3)·q9=2×23=16.
故选A.
10.C　设等比数列{an}的公比为q,
则
即∴a1q2-3a1q=0,
∴a1q(q-3)=0,又a1q=a2≠0,∴q-3=0,∴q=3.故选C.
11.A　设等比数列{an}的公比为q.
由题意知a2a3=q3=8,∵a1=1,∴q=2,
∴=q3=8,故选A.
12.解析　(1)因为an+1=,a1=10>0,
所以lgan+1=lg,即lgan+1=3lgan,即bn+1=3bn,
又因为b1=lga1=1,所以{bn}是首项为1,公比为3的等比数列,所以bn=3n-1.
(2)证明:由(1)得bn=3n-1,所以cn=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3bn+log3bn+1=log330+log331+log332+…+log33n-1+log33n=0+1+2+…+(n-1)+n=,
所以,
所以+…+=2×1-+…+=2<2.
13.B　当q>0时,数列{an}不一定为递增数列,如数列-1,-2,-4,-8,…,公比q=2>0,而此数列为递减数列.
当{an}为递增数列时,an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1·(q-1)>0,则或则q>0成立.
所以“q>0”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件,故选B.
14.A　由等比数列的性质得=a5·a2n-5=e2n,所以an=en,
则当n≥1时,lna1+lna2+…+lna2n-1=lne1+lne2+…+lne2n-1=1+2+…+2n-1==n(2n-1).故选A.
15.D　由等比数列的性质可得a4·a6=a2·a8=8,
所以
=.故选D.
16.D　因为数列{an}是等差数列,所以a7+a9=2a8=,所以a8=,所以a3+a8+a13=3a8=2π,
因为数列{bn}是等比数列,所以b2b6b10==8,
所以b6=2,所以b4b8-1=-1=4-1=3,
所以.故选D.
17.答案　12
解析　由题意及等比数列的性质得a1a2a3an-2an-1·an=(a1an)3=8,即a1an=2,则a1·a2·a3·…·an=64=26=(a1an)6,故数列{an}有12项.
18.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a3,a4-1,a5+1成等比数列,
所以(a4-1)2=a3(a5+1),
即(3d-6)2=(2d-5)(4d-4),
整理可得d2-8d+16=0,所以d=4,
故an=a1+(n-1)d=-5+4(n-1)=4n-9.
由已知得Tn=2bn-2①,当n≥2时,Tn-1=2bn-1-2②,
①-②可得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1(n≥2),
当n=1时,b1+2=2b1,所以b1=2,
所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,故bn=2·2n-1=2n.
(2)由(1)知an=4n-9,则cn=,
易得c1=c2=-1,c3=c4=0,c5=c6=c7=1,
则数列{bncn}的前7项和为-1×(21+22)+0×(23+24)+1×(25+26+27)=218.
能力提升练
1.A 2.D 3.AD 4.D 5.AC 7.D 8.C 9.BD
10.ACD 11.ACD
1.A　记等比数列{an}的公比为q,若a11,因为a1>0,q>1,所以数列{an}单调递增,故a1是数列{an}的最小项,故充分性成立;当a1是数列{an}的最小项时,{an}单调递增或为常数列,当{an}为常数列时,a1=a2=a4,故a12.D　设等比数列{an}的公比为q.
由题意得,
从而a1+a3=a1+a1q2=a1=10,解得a1=8,故an=a1qn-1=24-n,则数列{an}是单调递减数列,
令an≥1,得n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23×22×21×20=23+2+1+0=64.故选D.
3.AD　由等比数列的性质得=a1a5=4,则a3=2或a3=-2(舍去),A正确;
设等比数列{an}的公比为q,则a2+a4=(a1+a3)q,若a1+a3>0,则a2+a4的正负与q的正负有关,B错误;
当a1=-1,q=-2时,等比数列{an}为-1,2,-4,…,满足a2>a1,但a3若a2>a1>0,则a1>0,q>1,a1+a3-2a2=a1(1+q2-2q)=a1(q-1)2>0,D正确.故选AD.
4.D　由题意得数列是首项为,公比为4的等比数列,∴,
当n≥2时,an=··…··a1=4n-4×4n-5×…×4-2×1=,
∵n=1时,21-8+7=1=a1,∴an=,故a5=225-40+7=2-8.故选D.
一题多解　本题还可以将a1,a2直接代入递推公式中,依次求出a3=2-8,a4=2-9,a5=2-8,这种方法计算量相对大些,但思维量较小.
5.AC　设等比数列{an}的公比为q.
对于A,=q2,是常数,故A符合条件;
对于B,,不一定是常数,故B不符合条件;
对于C,,是常数,故C符合条件;
对于D,,不一定是常数,故D不符合条件.
故选AC.
6.信息提取　①现有绿洲面积=原有绿洲面积+原有沙漠改造为绿洲的面积-原有绿洲被侵蚀为沙漠的面积;②原有沙漠面积=1-原有绿洲面积;③改造率为16%,沙漠侵蚀率为4%.
数学建模　以治理沙漠为背景,建立递推关系,结合等比数列的判定与其通项公式的求解,利用对数进行近似计算,从而解决实际问题.
解析　(1)由题意得an=(1-4%)an-1+(1-an-1)×16%=0.96an-1+0.16-0.16an-1=0.8an-1+0.16=,
∴an=(n≥2).
(2)数列是等比数列.理由如下:
由(1)得an=(n≥2),
∴an-(n≥2),
∴是等比数列.
(3)由(2)可知an-(n≥2),
又a1=,
∴an-,即an=-.
令an=-,得,
两边取常用对数,得(n-1)lg∴n-1>≈≈4.1,
∴n>5.1,∴至少经过6年,绿洲面积可超过60%.
7.D　原式可变形为a4·a8+ma7·a8=-2a6·a9+,
由等比数列的性质可得(m+2)a6·a9=,
易知a9≠0,所以m+2==q3.因为q∈(1,2),所以q3∈(1,8),则m∈(-1,6).故选D.
8.C　由an+1=an(n∈N*)可知数列{an}是公比为的等比数列,又a1=,所以an=,
因此bn==(n-2λ)2n,
∵数列{bn}是单调递增数列,
∴bn+1>bn对于任意的n∈N*恒成立,
即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n,
整理得λ<对于任意的n∈N*恒成立,
∴λ<,故选C.
9.BD　由T7=T8可得a8==1,故B正确;
由T61,则q=∈(0,1),故A错误;
由{an}是各项均为正数的等比数列,q∈(0,1),得a1>a2>…>a7>a8=1>a9>a10>…,<1,则有T10T9>T10>…,则T7与T8均为{Tn}的最大项,故D正确.故选BD.
10.ACD　∵a2022·a2023>1,∴·q>1,∴q>0,又a1>1,∴数列{an}的各项均为正值,
∵a1>1,a2022·a2023>1,(a2022-1)·(a2023-1)<0,
∴a2022>1,0∵0S2022+a2023=S2023,故B错误;
易知数列{an}的前2022项均大于1,从第2023项开始都大于0且小于1,∴T2022是数列{Tn}中的最大项,故C正确;
由等比数列的性质可得a1a4043=a2a4042=…=a2021·a2023=,∴T4043=a1·a2·…·a4043=>1,故D正确.故选ACD.
11.ACD　对于A,因为q>0且q≠1,所以an>0,an+1>0,an+1≠an,所以Cn是椭圆,A正确.
对于B,当Cn是椭圆时,由A选项知q>0且q≠1,若q>1,则an+1>an,e=,得q=;
若0对于C,当Cn表示双曲线时,显然q<0,故双曲线Cn的一条渐近线方程为y=x,令,得q=-,C正确.
对于D,当n为偶数时,an<0,an+1>0,双曲线Cn的焦点在y轴上,则bn=2,当n为奇数时,an>0,an+1<0,双曲线Cn的焦点在x轴上,则bn=2,所以b1+b2+…+b10=2=2+4×(2+22+23+24)+2×25=2+4×30+64=186,D正确.故选ACD.
易错警示　本题中若等比数列的公比q=1,则有an+1=an,此时曲线Cn表示圆.
12.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意得an>0,则q>0.
由a2=27,且a5+6a4=a2a3,得a2q3+6a2q2=q,即q2+6q-27=0,
解得q=-9(舍去)或q=3.
所以数列{an}的通项公式为an=27×3n-2=3n+1(n∈N*).
(2)由(1)得bn=2log3an=2log33n+1=2(n+1),则bn+1-bn=2(n+2)-2(n+1)=2.
由等差数列的定义知,数列{bn}是首项为b1=2×2=4,公差为2的等差数列,则Sn==n2+3n,
由Sn≥270,得n2+3n-270≥0,
解得n≤-18(舍去)或n≥15(n∈N*).
故使得Sn≥270成立的正整数n的最小值为15.
规律总结　正项等比数列中,各项的对数构成等差数列,等差数列中,各项的指数幂构成等比数列,利用此关系可以实现等比数列与等差数列的转化.解题时要注意等比数列必须各项为正才可以取对数.
13.解析　(1)当n=1时,a1=S1=(a1-1),∴a1=a.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),整理得=a,
即数列{an}是以a为首项,a为公比的等比数列,
∴an=a·an-1=an.
(2)由(1)知,bn=+1
=,(*)
由数列{bn}是等比数列,得=b1b3,
故,
即,解得a=,
再将a=代入(*)式,得bn=3n.
所以,满足条件①,
又由于≤,所以存在M≥满足条件②.
故数列为P数列.
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