2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--4.4　数学归纳法

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第四章　数列
4.4*　数学归纳法
基础过关练
题组一　用数学归纳法证明等式
1.(2022河南信阳高级中学月考)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,n∈N*,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(　　)
A.k2+1
B.(k+1)2
C.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
D.
2.用数学归纳法证明1-+…++…+(n∈N*)时,第一步应验证的等式是　　　　　　.
3.(2022河南郑州期末)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).
题组二　用数学归纳法证明不等式
4.(2023山西大学附属中学月考)用数学归纳法证明1++…+1)时,第一步应验证不等式(　　)
A.1+<2　　　　　B.1+<2
C.1+<3　　　　　D.1+<3
5.(2022河南郑州巩义、中牟等六县期末)用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N*)都成立,则k的最小值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
6.已知f(n)=1++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=　　　(k∈N*).
7.(2022辽宁沈阳东北育才中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明:··…·(n∈N*).
题组三　用数学归纳法解决整除问题
8.(2023上海浦东新区进才中学月考)用数学归纳法证明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除时,从n=k(k∈N*)到n=k+1添加的项数为(　　)
A.7　　　B.6　　　C.5　　　D.3
9.用数学归纳法证明:n3+5n(n∈N*)能被6整除.
题组四　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题
10.(2023河南南阳开学考试)观察下列式子:1+,……,则可归纳出1++…+(n∈N*)小于(　　)
A.　　　　　B. C.　　　　　D.
11.观察下列不等式:1>+…++…++…+,……,由此猜测第n(n∈N*)个不等式为　　　　　　　　　.
12.(2023浙江杭州第二中学期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1+anan+1-an=0(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)试猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
13.(2023山西晋城一中期末)已知数列{an}满足a1=-(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法给出证明.
答案与分层梯度式解析
第四章　数列
4.4*　数学归纳法
基础过关练
1.C 4.B 5.C 8.C 10.C
1.C　当n=k时,等式左端为1+2+3+…+k2,
当n=k+1时,等式左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
∴左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选C.
2.答案　1-
解析　由于n∈N*,因此第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故答案为1-.
3.证明　①当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,左边=右边,∴等式成立,
②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1),
则当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)
=(k+1)(k+2)·…·(k+k)·
=2k×1×3×…×(2k-1)·
=2k×1×3×…×(2k-1)·2·(2k+1)
=2k+1×1×3×…×[2(k+1)-1]=右边,
∴当n=k+1时,等式成立,
由①②知, n∈N*,等式成立.
4.B　∵n∈N*,n>1,∴n所取的第一个正整数为2,
又22-1=3,∴第一步应验证1+<2.故选B.
5.C　当n=1时,左边=,右边=,此时左边<右边,不等式不成立;
当n=2时,左边=,右边=,此时左边<右边,不等式不成立;
当n=3时,左边=,右边=,
此时左边>右边,不等式成立;
易得n≥3时,不等式恒成立,
∴用数学归纳法证明对任意n≥k(n,k∈N*)都成立时,k的最小值为3.
故选C.
6.答案　+…+
解析　因为当n=k时,f(2k)=1++…+,当n=k+1时,f(2k+1)=1++…++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-1++…+=+…+.
7.解析　(1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,上式也成立,所以an=2n-1.
(2)证明:当n=1时,,所以成立;
假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即··…·,
则当n=k+1时,
··…···
=··,因为>2k+3,
所以·,
所以··…··,
即当n=k+1时,不等式也成立.
综上所述,··…·(n∈N*).
8.C　设f(n)=1+2+22+…+25n-1,
则f(k+1)-f(k)=1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,
所以从n=k到n=k+1添加的项数为5.故选C.
9.证明　①当n=1时,13+5=6,显然能被6整除;
②假设n=k(k∈N*)时,n3+5n(n∈N*)能被6整除,即k3+5k能被6整除,
则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6,
因为k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除,
又k3+5k能被6整除,所以当n=k+1时,n3+5n能被6整除.
由①②可知,n3+5n(n∈N*)能被6整除.
10.C　由已知式子可知所猜测的分式的分母为n+1,分子为分母的2倍再减1,即2n+1,
∴可归纳得1++…+.
故选C.
11.答案　1++…+
解析　由1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,可猜测第n个不等式的左边为1++…+;由,可猜测第n个不等式的右边为.
因此猜测第n个不等式为1++…+.
12.解析　(1)由an+1+anan+1-an=0可得an+1=,
当n=1时,a2=;
当n=2时,a3=;
当n=3时,a4=.
(2)猜想数列{an}的通项公式为an=.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,a1=1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=,
则当n=k+1时,有ak+1=,
即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对任意n∈N*,an=.
13.解析　(1)a2=-.
(2)猜想数列{an}的通项公式为an=-,证明如下:
当n=1时,a1=-,所以an=-成立;
假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=-,
则当n=k+1时,ak+1=-,∴n=k+1时,猜想也成立.
综上,an=-(n∈N*).
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