2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.1.1　变化率问题

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
基础过关练
题组一　平均速度与瞬时速度
1.某质点的运动规律为s(t)=t2+3,则在时间段(3,3+Δt)内,质点的位移增量Δs等于(　　)
A.6Δt+(Δt)2　　B.6+Δt+ C.3Δt+(Δt)2　　D.9+Δt
2.(2023重庆永川北山中学期末)一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt,且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s,则实数m的值为(　　)
A.2　　　B.1　　　C.-1　　　D.6
3.(2023福建南平期末)如果某质点运动的位移s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的函数关系为s(t)=,那么该质点在t=3秒时的瞬时速度为(　　)
A.米/秒　　B.-米/秒 C.米/秒　　D.-米/秒
4.(2023广东佛山月考)已知某质点的运动方程为s(t)=3t2+2t+1(位移s的单位为m,时间t的单位为s).
(1)求该质点在2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度;
(2)在(1)中,若Δt=0.1,则平均速度是多少
(3)求该质点在t=2s时的瞬时速度.
题组二　抛物线的割线、切线的斜率
5.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB、BC、CD的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)
A.k16.(2022河北保定二中月考)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(　　)
A.a=1,b=1　　　B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1　　　D.a=-1,b=-1
7.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是　　　　;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是　　　　.
8.已知点P在曲线f(x)=x2+1上,且曲线f(x)在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,则点P的坐标为　　　　.
9.已知函数f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).
(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围;
(2)求曲线f(x)在点A(2,f(2))处的切线方程.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.1　变化率问题
基础过关练
1.A 2.B 3.D 5.A 6.A
1.A　位移增量Δs=s(3+Δt)-s(3)=(3+Δt)2+3-(32+3)=6Δt+(Δt)2.故选A.
2.B　Δs=5×32+3m-(5×22+2m)=25+m,Δt=3-2=1,
∵物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s,
∴=25+m=26,解得m=1.故选B.
3.D　,
所以.
故选D.
4.解析　(1)质点在2≤t≤2+Δt这段时间里的平均速度为=(3Δt+14)m/s.
(2)当Δt=0.1时,所求平均速度为3×0.1+14=14.3m/s.
(3)∵(3Δt+14)=14,
∴该质点在t=2s时的瞬时速度为14m/s.
5.A　k1==16-9=7,∴k16.A　由题意可知曲线在点(0,b)处的切线的斜率k==(Δx+a)=a,
又曲线在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,所以a=1,
由点(0,b)在切线上,可得0-b+1=0,即b=1.故选A.
7.答案　5;4.1
解析　由已知得割线AB的斜率为=Δx+4,
当Δx=1时,割线AB的斜率为1+4=5;
当Δx=0.1时,割线AB的斜率为0.1+4=4.1.
8.答案　或
解析　设P(x0,y0),则y0=+1,
易得曲线f(x)=x2+1在点P处的切线的斜率为=2x0,
所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y-(+1)=2x0(x-x0),即y=2x0x+1-,
又因为该直线与曲线y=-2x2-1相切,
所以该直线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点,
由得2x2+2x0x+2-=0,
则Δ=4)=0,
解得x0=±,则y0=,
所以点P的坐标为或.
9.解析　(1)由题意得,割线AB的斜率为=-3-Δx,
由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,
又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).
(2)由(1)可得函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处的切线的斜率为(-3-Δx)=-3,
又f(2)=-22+2=-2,所以所求切线方程为y-(-2)=-3(x-2),即3x+y-4=0.
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