2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.1.2　导数的概念及其几何意义

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.2　导数的概念及其几何意义
基础过关练
题组一　平均变化率的求解
1.(2023黑龙江大庆实验中学期末)在曲线y=x2+6上取一点(1,7)及邻近一点(1+Δx,7+Δy),则=(　　)
A.2+Δx　　　B.Δx--2 C.Δx++2　　D.2+Δx-
2.(2023河南郑州期中)函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下面结论正确的是(　　)
A.m1=m2=m3　　　　　B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3　　　　　D.m13.函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=　　　　.
4.(2022河南郑州线上测试)函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为　　;在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　.
题组二　导数的概念及其应用
5.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为(　　)
A.f'(x0)= B.f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) D.f'(x0)=
6.(2023湖北武汉部分重点中学期末)已知函数f(x)可导,且满足=2,则函数y=f(x)在x=3处的导数为(　　)
A.2　　　B.1　　　C.-1　　　D.-2
7.(2023湖北襄阳四中期末)若函数y=f(x)在x=x0处的导数为1,则=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.-2　　　D.-3
8.(2022江西南昌四校联考)设函数f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,则a=　　　　.
9.求函数y=在x=0处的导数.
题组三　导数的几何意义及其应用
10.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+2y-3=0垂直,则f'(2)=(　　)
A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.-1
11.(2023山西太原师范学院附属中学月考)已知=2,f(3)=3,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线方程为(　　)
A.2x+y+9=0　　　　　B.2x+y-9=0
C.2x-y-9=0　　　　　D.2x-y+9=0
12.(2023江苏南京师范大学附属中学期末)如图,已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2))处的切线为l,则f(2)+f'(2)=(　　)
A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.1
13.(2023江苏淮安六校联考)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在[a,b]上的平均变化率大于g(x)在[a,b]上的平均变化率
B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率
C.对于任意x0∈(a,b),f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a,b),使得f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于g(x)在x=x0处的瞬时变化率
14.(2023四川内江六中开学考试)已知点P在曲线f(x)=x3-x+上移动,且曲线f(x)在点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是(　　)
A.　　　　　B.
C.　　　　　D.∪
15.(2022重庆青木关中学校月考)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x0+4)·(x-x0),那么下列结论正确的有(　　)
A.f'(1)=-5
B.函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴
C.切线斜率的最小值为1
D.曲线f(x)在x=4处的切线与直线x+16y-1=0垂直
16.(2022山东师大附中月考)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是(　　)
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f
D.f
17.(2023河北衡水重点中学联考)已知函数g(x)与f(x)=x2(x∈[0,+∞))的图象关于直线y=x对称,将g(x)的图象先向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到h(x)的图象,若P,Q分别为函数f(x),h(x)图象上的两个动点,则这两点间距离的最小值为　　　　.
18.已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
19.(2023河南郑州中学阶段性检测)已知曲线f(x)=x3.
(1)求曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程;
(2)求过点(-1,-1)且与曲线f(x)相切的直线方程.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
5.1.2　导数的概念及其几何意义
基础过关练
1.A 2.A 5.A 6.D 7.D 10.A 11.B 12.D
13.D 14.D 15.ABD 16.AD
1.A　由题意可知=2+Δx.故选A.
2.A　m1==1-0=1,
m2==12-0=1,
m3==13-0=1,
故m1=m2=m3,故选A.
3.答案　5
解析　函数f(x)=x2-x在[-2,t]上的平均变化率为=2,即t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去).
4.答案　
解析　由题图可得f(x)=
所以f(x)在[-1,1]上的平均变化率为;在[0,2]上的平均变化率为.
5.A　
6.D　由题意得=-f'(3)=2,所以f'(3)=-2.故选D.
7.D　由导数的定义可知=f'(x0)=1,即-=1,
所以=-3.故选D.
易错警示　导数的定义有多种等价形式,其本质结构都是f'(x0)=,应用时注意Δx与Δy的取值要对应.
8.答案　1
解析　f(-1+Δx)-f(-1)=a(-1+Δx)3+2-(-1)3a-2=a(Δx)3-3a(Δx)2+3aΔx,
∴=a(Δx)2-3aΔx+3a,
当Δx→0时,a(Δx)2-3aΔx+3a→3a,
∴f'(-1)=3a=3,∴a=1.
9.解析　Δy=
=,
∴,
∴y'x=0==0.
10.A　直线x+2y-3=0的斜率为-,则曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率为2,即f'(2)=2,故选A.
11.B　令Δx=x-2,则=-f'(3)=2,∴f'(3)=-2,
∴曲线f(x)在(3,f(3))处的切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.故选B.
12.D　由题图可得切线l过点(0,4)和(4,0),故切线斜率为=-1,切线方程为=1,所以f'(2)=-1,切点坐标为(2,2),则f(2)=2,所以f(2)+f'(2)=2-1=1.故选D.
13.D　f(x)在[a,b]上的平均变化率是,
g(x)在[a,b]上的平均变化率是,
由题图可知f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴,故A,B错误;
易知f(x)在x=x0处的瞬时变化率是f(x)在x=x0处的导数,即曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率,
同理,g(x)在x=x0处的瞬时变化率是曲线g(x)在x=x0处的切线的斜率,
由题图知 x0∈(a,b),使得曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率小于曲线g(x)在x=x0处的切线的斜率,故C错误,D正确.故选D.
14.D　设点P的横坐标为x0,
则f'(x0)=-1≥-1,
∴tanα∈[-1,+∞),又α∈[0,π),
∴α∈∪.
15.ABD　由题意可得f'(x)=(x-2)(x+4).
对于A,f'(1)=(1-2)×(1+4)=-5,故A正确;
对于B,f'(2)=0,故函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴,故B正确;
对于C,f'(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切线斜率的最小值为-9,故C错误;
对于D,f'(4)=(4-2)×(4+4)=16,直线x+16y-1=0的斜率为-=-1,故D正确.
故选ABD.
16.AD　由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,且随着x的增大,|f'(x)|越来越小,因此函数f(x)图象上任一点处的切线的斜率为负,并且随着x的增大,切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.
A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率为负,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率为正,故B不正确;f表示x=对应的函数值,即图中点B的纵坐标,表示x=x1和x=x2所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f,故C不正确,D正确.故选AD.
17.答案　
解析　由已知得将直线y=x先向右平移1个单位,再向下平移1个单位可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴,即直线y=x-1-1,即y=x-2,
所以P,Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的最小值的2倍,易知当点P到直线y=x-2的距离最小时,f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y=x-2,设P(x0,y0),
则=Δx+2x0,当Δx→0时,→2x0,故函数f(x)=x2的图象在P点处的切线斜率为2x0,故2x0=1,解得x0=,则y0=,
所以点P到直线y=x-2距离的最小值为,
所以P,Q两点之间距离的最小值为2×.
方法技巧　曲线上的点到直线距离的最小值即为曲线上与该直线平行的切线的切点到该直线的距离.
18.解析　设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
易得
=
=
=3+3x0Δx+(Δx)2-4x0-2Δx,
当Δx→0时,→3-4x0,
所以由导数的几何意义知3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,所以切点的坐标为或(2,3).
当切点为时,有+a,解得a=;
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,解得a=-5.
综上,当a=时,切点坐标为;当a=-5时,切点坐标为(2,3).
19.解析　(1)f'(x0)=.
当x0=1时,f'(1)=3,所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)设切点坐标为(x0,),
由(1)知切线的斜率为f'(x0)=3,故切线方程为y-(x-x0).
因为切线过点(-1,-1),所以-1-(-1-x0),即(x0+1)2(2x0-1)=0,所以x0=-1或x0=,
故过点(-1,-1)且与曲线f(x)相切的直线有两条,其方程分别是y+1=3(x+1)和y-,即3x-y+2=0和3x-4y-1=0.
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