2024人教版高中数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）--5.2.1　基本初等函数的导数

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2024人教版高中数学选择性必修第二册同步
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
基础过关练
题组一　利用导数公式求函数的导数
1.已知函数f(x)=,则f'(3)=(　　)
A.　　　B.0　　　C.　　　D.
2.(2022北京通州期末)已知函数f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于(　　)
A.4　　　B.-4　　　C.5　　　D.-5
3.下列结论正确的是(　　)
A.若y=ln2,则y'=
B.若f(x)=,则f'(3)=-
C.若y=2x,则y'=x·2x-1
D.若y=log2x,则y'=,x>0
4.设f0(x)=sinx,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),……,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2023(x)=　(　　)
A.sinx　　　B.-sinx　　　C.cosx　　　D.-cosx
5.(2022河北保定二中月考)已知f(x)=x2,g(x)=lnx,若f'(x)+2xg'(x)=3,则x=　　　　.
6.求下列函数的导数:
(1)f(x)=;(2)f(x)=lgx;(3)f(x)=5x;
(4)f(x)=-2sin1-2cos2.
题组二　导数公式的应用
7.(2023江苏连云港期末)设b为实数,则直线y=2x+b能作为下列函数的图象的切线的有(　　)
A.f(x)=　　　　　B.f(x)=x4
C.f(x)=ex　　　　　D.f(x)=sinx
8.若直线y=x+b-1是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为(　　)
A.1-ln2　　　B.ln2　　　C.ln2　　　D.2
9.(2023陕西咸阳期末)已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列函数中没有“巧值点”的是(　　)
A.f(x)=x　　　　　B.f(x)=ex
C.f(x)=cosx　　　　　D.f(x)=
10.已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1)　　　B.(1,2)　　　C.(2,3)　　　D.(3,4)
11.(2023陕西咸阳武功期末)以正弦曲线y=sinx上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是　　　　.
12.(2023江苏南京燕子矶中学期末)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,则a1+a2+a3+…+a2022=　　　　.
13.(2023山西临汾期末)设A(t,0),P是曲线y=ex上的动点,且|PA|≥2,则t的取值范围是　　　　.
答案与分层梯度式解析
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
基础过关练
1.A 2.A 3.B 4.D 7.BC 8.C 9.D 10.B
1.A　f'(x)=,∴f'(3)=.故选A.
2.A　∵f(x)=xa,∴f'(x)=axa-1,∴f'(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.
3.B　对于A,由y=ln2得y'=0,故A错误;
对于B,f'(x)=-,故f'(3)=-,故B正确;
对于C,y'=2xln2,故C错误;
对于D,y'=,x>0,故D错误.故选B.
4.D　依题意,f0(x)=sinx,f1(x)=f'0(x)=(sinx)'=cosx,f2(x)=f'1(x)=(cosx)'=-sinx,f3(x)=f'2(x)=(-sinx)'=-cosx,f4(x)=f'3(x)=(-cosx)'=sinx,所以sinx,cosx,-sinx,-cosx以4为周期重复出现,
故f2023(x)=f3(x)=-cosx.故选D.
5.答案　
解析　由导数公式可知f'(x)=2x,g'(x)=,x>0,
由f'(x)+2xg'(x)=3得2x+2x·=3,即2x=1,解得x=.
6.解析　(1)因为f(x)=,
所以f'(x)=.
(2)因为f(x)=lgx,所以f'(x)=,x>0.
(3)因为f(x)=5x,所以f'(x)=5xln5.
(4)因为f(x)=-2sin·=sinx,
所以f'(x)=(sinx)'=cosx.
易错警示　熟练掌握常见函数的导数公式是解决导数问题的基础,本题(3)是指数函数,不要混淆指数函数与幂函数的求导公式,(1)(4)要先化简再求导.
7.BC　若直线y=2x+b为f(x)图象的切线,则f'(x)=2有解.
对于A,f'(x)=-<0,f'(x)不可能等于2,不符合题意;
对于B,f'(x)=4x3,令f'(x)=4x3=2,解得x=,符合题意;
对于C,f'(x)=ex,令ex=2,解得x=ln2,符合题意;
对于D,f'(x)=cosx∈[-1,1],故f'(x)不可能等于2,不符合题意.
故选BC.
8.C　由y=lnx,可得y'=,x>0,
设切点为(x0,y0),则y',解得x0=2,故切点为(2,ln2),将该点坐标代入直线方程得ln2=×2+b-1,解得b=ln2.故选C.
9.D　对于A,f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)=x有“巧值点”;
对于B,f'(x)=ex,令f(x)=f'(x),则x∈R,故f(x)=ex有“巧值点”;
对于C,f'(x)=-sinx,令cosx=-sinx,
则sinx+cosx=0,即=0,
所以x+=kπ(k∈Z),解得x=kπ-,k∈Z,
故函数f(x)=cosx有“巧值点”;
对于D,f(x)的定义域为{x|x>0},则f'(x)=-<0,而f(x)>0,所以f(x)=f'(x)无解,故f(x)=没有“巧值点”.故选D.
10.B　由f(x)=lnx,得f'(x)=,x>0,
则g(x)=f(x)-f'(x)=lnx-.
易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=ln1-1=-1<0,g(2)=ln2-=ln2-ln>0,所以函数g(x)有唯一零点,且零点在区间(1,2)上.
11.答案　∪
解析　由y=sinx可得y'=cosx,
∵-1≤cosx≤1,
∴切线的斜率的取值范围为[-1,1],
∴倾斜角的范围是∪.
12.答案　lg2023
解析　因为y=xn+1,所以y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线的斜率为n+1,
则切线的方程为y-1=(n+1)(x-1).
令y=0,得x=,即xn=,
因此an=lg=lg(n+1)-lgn,
所以a1+a2+a3+…+a2022=(lg2-lg1)+(lg3-lg2)+(lg4-lg3)+…+(lg2023-lg2022)=lg2023-lg1=lg2023.
13.答案　
解析　∵y=ex,∴y'=ex,设点P(m,em),则曲线y=ex在点P处的切线斜率为em,∵|PA|≥2,
∴当且仅当直线PA垂直于曲线y=ex在点P处的切线时,|PA|取得最小值2,
又∵kPA=×em=-1,即e2m=t-m,①
易求得|PA|=≥2,即(m-t)2+e2m≥12,②
由①②得(m-t)2-(m-t)-12≥0,解得m-t≤-3或m-t≥4,
由①知m-t=-e2m<0,∴m-t≤-3,即e2m≥3,解得m≥,∴t≥m+3≥+3.
故t的取值范围为.
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